搜索: a079611-编号:a079611-
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1、4、7、16、18、27、36、42、55、63、70、79、87、95、103、112、120、129、138、146
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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1996年,这些值被列为A079611号Eric Weisttein以前的网页www.gps.caltech.edu/~eww/math/wnode21.html。
仅因历史原因纳入。
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交叉参考
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关键词
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死去的
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作者
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经核准的
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A002804号
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| 沃林问题的(假定)解决方案:g(n)=2^n+楼层((3/2)^n)-2。 (原名M3361 N1353)
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1、4、9、19、37、73、143、279、548、1079、2132、4223、8384、16673、33203、66190、132055、263619、5260502、1051899、2102137、4201783、8399828、16794048、33579681、67146738、134274541、268520676、536998744、1073933573、21477771272、4295398733、8590581749
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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g(n)是最小的数s,使得每个自然数最多是自然数的s次幂之和。
众所周知(Kubina和Wunderlich,1990),g(n)=2^n+floor((3/2)^n)-2代表所有n<=471600000。推测此公式对所有n都是正确的(参见A174420号).
马勒表明,只有有限多的n是这个公式失败的-山田友弘2017年9月23日
这个序列(对应于Waring的原始猜想)比A079611号对于几乎所有(=足够大的)整数,寻找最小s=G(n)的问题。请参阅维基百科(Wikipedia),以获得一个单行证明,即J.a.Euler在1772年猜测的g(n)的值确实是一个下限;已知2^n*frac((3/2)^n)+floor((3/2)^ n)<=2^n是紧的,且此不等式没有反例-M.F.哈斯勒2014年6月29日
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参考文献
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卡尔文·C·克劳森(Calvin C.Clawson),《数学的奥秘:数字的美丽和魔力》(1996年基础图书)252-257。
G.H.Hardy,《论文集》。卷。1-,牛津大学出版社,1966-;见第一卷,第668页。
哈代和赖特,《数论导论》。第三版,牛津大学出版社,1954年,第337页。
S.Pillai,《关于Waring问题》,《印度数学杂志》。《社会学杂志》,第2期(1936年),第16-44页
J.Roberts,《整数的诱惑》,数学。美国协会,1992年,第138页。
P.Ribenboim,《素数记录簿》。Springer-Verlag,纽约州,第二版,1989年,第239页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
R.C.Vaughan和T.D.Wooley,《Waring的问题:一项调查》,第285-324页,《数论调查》(Urbana,2000年5月21日),编辑M.a.Bennett等人,彼得斯,2003年。
爱德华·沃林(Edward Waring),《代数冥想师》(Meditationes algebraicae),坎塔布里亚:典型的学院(Academicis excudebat J.Archdeacon),1770年。
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链接
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Brennan Benfield和Oliver Lippard,不是正幂和的整数,arXiv:2404.08193[math.NT],2024。
A.V.Kumchev和D.I.Tolev,加法数论邀请函,arXiv:math/0412220[math.NT],2004年。
拉明·塔克鲁-比哈什,几何呢?,《毕达哥拉斯数论导论》,《数学本科生教材》,查姆斯普林格,2018,165-185。
米歇尔·沃尔德施米特,开放性丢番图问题,arXiv:math/0312440[math.NT],2003-2004。
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MAPLE公司
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数学
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a[n_]:=2^n+楼层[(3/2)^n]-2;阵列[a,31](*罗伯特·威尔逊v2013年10月29日*)
x[n]:=-(1/2)+(3/2)^n+ArcTan[Cot[(3/2,^n Pi]]/Pi;a[n]:=2^n+x[n]-2;数组[a,31](*弗雷德·丹尼尔·克莱恩,2018年1月11日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[2^n+楼层((3/2)^n)-2:n in[1..40]]//文森佐·利班迪2015年8月15日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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47, 62, 63, 77, 78, 79, 127, 142, 143, 157, 158, 159, 207, 222, 223, 237, 238, 239, 287, 302, 303, 317, 318, 319, 367, 382, 383, 397, 398, 399, 447, 462, 463, 477, 478, 479, 527, 542, 543, 557, 558, 559, 607, 622, 623, 687, 702, 703, 752, 767, 782, 783
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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序列中有96个成员,最大的是13792个,见Deshouillers等人的参考文献。
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链接
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J.-M.Deshouillers、K.Kawada和T.D.Wooley,关于十六个双平方和,梅姆。社会数学。法国巴黎,2005年。
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示例
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62是17个4次方的总和,不少于17个,所以62是一个成员。
63是18个第四权力的总和,不少于18个,所以63是一个成员,尽管它不是A046048号.
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数学
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f[n_]:=f[n]=(k=0;While[k++;幂表示[n,k,4]=={}];k);选择[范围[800],f[#]>=17&](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2011年9月2日*)
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交叉参考
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关键词
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非n,完成,满的,美好的
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作者
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a(25)由368更改为367T.D.诺伊2006年9月7日
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状态
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经核准的
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A174406号
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| a(n)=最小的数字u,几乎每个数字都是正数的n次方之和。 |
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评论
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Waring问题的变体。
“几乎所有”意味着例外情况的密度为零。
序列中只有三个其他值已知:a(8)=32、a(16)=64和a(32)=128。Vaughan和Wooley引用的调查表明,G_1(8)=32、G_1。未评估G_1(5)数量,也未评估G_1(6)和G_(7)数量-大卫·科弗特2016年6月29日
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链接
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R.C.Vaughan和T.D.Wooley,Waring的问题:一项调查《千年数论》,第三卷(伊利诺伊州乌尔班纳,2000年),A K Peters,马萨诸塞州纳蒂克,2002年,第301-340页。
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交叉参考
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关键词
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非n,坚硬的,更多
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a(n)最多为4,因为任何数字都可以写成4个平方和(拉格朗日定理),但对于足够大的n,a(n。
a(n)<=a(i)+a(n-i),对于1<=i<=n-1。(为了便于计算,可以选择i的最大值作为楼层(n/2))。a(1991)=4。对于1992年<=k<=20000,没有k使得a(k)=4-大卫·A·科内斯,2016年6月24日[下一个k是25887,参见A113505型. -瓦茨拉夫·科特索维奇2016年6月25日]
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链接
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示例
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a(31)=2,因为31可以写成两个幂的和(31=3^3+2^2=27+4),但不少于两个完全幂。
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数学
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nn=72;t=选择[Range@nn,#==1||GCD@@FactorInteger[#][[All,2]]>1&];表[Min@Map[Length,Select[Integer Partitions@n,AllTrue[#,MemberQ[t,#]&]&]],{n,nn}](*迈克尔·德弗利格2016年6月23日之后蚂蚁王在A001597号*)
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黄体脂酮素
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(PARI)列表a(n)={my(v=向量(n));对于(i=2,sqrtint(n),对于(j=2,logint(n,i),v[i^j]=1);v[1]=1;v[2]=2;对于(i=3,#v,如果(v[i]=0,v[i]=vecmin(向量(i\2,k,v[k]+v[i-k])));v}\\大卫·A·科内斯2016年6月24日;已由更正彼得·肖恩2022年6月9日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A287286号
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| a(n)=最小整数s,使得任意t的整数环modt的每个元素都可以写成s的n次幂之和。 |
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1, 4, 4, 15, 5, 9, 4, 32, 13, 12, 11, 16, 6, 14, 15, 64, 6, 27, 4, 25, 24, 23, 23, 32, 10, 26, 40, 29, 29, 31, 5, 128, 33, 10, 35, 37, 9, 9, 39, 41, 41, 49, 12, 44, 15, 47, 10, 64, 13, 62, 51, 53, 53, 81, 60, 56, 14, 59, 5, 61, 11, 12, 63, 256, 65, 67, 12, 68, 69, 71, 6, 73, 16, 74, 75, 16, 14, 84
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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只需检查有限数量的值(取决于功率)。
有关精确的定量信息,请参阅参考文献中的Small论文。
a(2)<=4遵循拉格朗日四平方定理。
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参考文献
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G.H.Hardy和J.E.Littlewood,“数值分区”的一些问题(VIII):Waring问题中的数字Gamma(k),Proc London Math Soc.28(1928),518-542。[G.H.Hardy,《论文集》,第1-卷,牛津大学出版社,1966-;见第1卷,第406-530页。]
Wladyslaw Narkiewicz,《20世纪的有理数理论:从PNT到FLT》,施普林格科学与商业媒体,2011年,第154-155页。
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链接
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R.C.Vaughan和T.D.Wooley,Waring的问题:一项调查《千年数论》,第三卷(伊利诺伊州乌尔班纳,2000年),A K Peters,马萨诸塞州纳蒂克,2002年,第301-340页。
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示例
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a(3)<=4表示每个整数环modm的每个元素都可以写成4个(或更少)立方体的和。a(3)>=4,因为在Z/9Z中,立方体是{0,1,8},所以4不是Z/9Z任何三个立方体的和。因此a(3)=4。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A018886号
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| 沃林问题:当表示为正n次方的和时,最小正整数需要最大项数。 |
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1, 7, 23, 79, 223, 703, 2175, 6399, 19455, 58367, 176127, 528383, 1589247, 4767743, 14319615, 42991615, 129105919, 387186687, 1161822207, 3486515199, 10458497023, 31377588223, 94136958975, 282427654143, 847282962431, 2541815332863
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a(n)=(Q-1)*(2^n)+(2^n-1)*(1^n)是Q+2^n-2项的和,Q=截断(3^n/2^n)。
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参考文献
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G.H.Hardy和E.M.Wright,《数字理论导论》,第5版,牛津大学出版社,1979年,第393页。
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链接
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P.Pollack,解析和组合数论课程笔记,练习7.1.1。第277页。
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配方奶粉
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a(n)=2^n*楼层((3/2)^n)-1=2^n*A002379号(n) -1。
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示例
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a(3)=23=16+7=2*(2^3)+7*(1^3)是9个立方体的总和;
a(4)=79=64+15=4*(2^4)+15*(1^4)是19个二次方的和。
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MAPLE公司
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2^n*层((3/2)^n)-1
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数学
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a[n_]:=-1+2^n*楼层[(3/2)^n]
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黄体脂酮素
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(Python)
定义a(n):返回(3**n//2**n-1)*2**n+(2**n-l)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A040004号
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| a(n)=最小整数s,这样对于所有i,所有素数p和所有m都是同余(x_1)^n+…+(x_s)^n==m(mod p^i)有一个本原解。 |
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1, 4, 4, 16, 5, 9, 4, 32, 13, 12, 11, 16, 6, 14, 15, 64, 6, 27, 4, 25, 24, 23, 23, 32, 10, 26, 40, 29, 29, 31, 5, 128, 33, 10, 35, 37, 9, 9, 39, 41, 41, 49, 12, 44, 15, 47, 10, 64, 13, 62, 51, 53, 53, 81, 60, 56, 14, 59, 5, 61, 11, 12, 63, 256, 65, 67, 12, 68, 69
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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原解是一种解,其中并非所有x_i都是0(mod p)。
这个量通常用伽马(n)表示。
A287286号仅在n=4时不同:由于任何4次方等于0或1(mod 16)并且至少需要一个奇数4次方,因此由于0(mod 16)而需要16个奇数4次方,但如果允许所有偶数次方,则15就足够了。
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参考文献
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G.H.Hardy和J.E.Littlewood,“数值部分”的一些问题,第四卷,数学。宙特。,12 (1922), 161-168. [G.H.Hardy,《论文集》,第1-卷,牛津大学出版社,1966-;见第1卷,第466页。]
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链接
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配方奶粉
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对于k>2:
如果k=2^t,t>1,则a(k)=4*k=2^(t+2);
如果k=3*2^t,t>1,则a(k)=2^(t+2);
如果k=p^t*(p-1),其中p是奇素数且t>0,则a(k)=p^(t+1);
如果k=p^t*(p-1)/2,则a(k)=(p^(t+1)-1)/2,除非k=p=3;
否则,如果k=p-1,则a(k)=k+1=p;
否则,如果k=(p-1)/2,则a(k)=k=(p-1)/2;
在其他情况下,3<a(k)<=k。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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Sekigawa&Koyama论文中的更多术语和一(30)项由安德烈·扎博洛茨基2017年5月31日
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状态
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经核准的
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A356037型
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| 可以推测,a(n)是最小的数字m,因此每个自然数最多是m个n个单纯形数的和。 |
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1,2
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评论
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n-单纯形是{二项式(k,n);k>=n}。
这个问题是Waring问题的单纯形数模拟。
Kim给出了a(4)=8、a(5)=10、a(6)=13和a(7)=15(未证明)。
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链接
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Hyun Kwang Kim,关于正则多面体数,程序。阿默尔。数学。Soc.131(2003),第65-75页。
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示例
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2-单形数是{二项式(k,2);k>=2}={1,3,6,10,…},三角形数。3是最小的数字m,因此每个自然数最多是m个三角形数的和。所以a(2)=3。
3-单纯形数是{二项式(k,3);k>=3}={1,4,10,20,…},四面体数。假设5是最小的数字m,使得每个自然数最多是m个四面体数的和。所以a(3)=5。
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交叉参考
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关键词
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非n,坚硬的,更多
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作者
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状态
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经核准的
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