搜索： a022661-编号：a0226六十一
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1, -1, -4, -5, -3, 23, 44, 104, 70, -93, -465, -1155, -1882, -1904, 804, 6195, 18755, 33296, 47327, 35198, -28493, -176199, -453792, -805453, -1126396, -1028297, -18994, 2946491, 8248080, 16444480, 25436984, 30736635, 22263981, -16098311, -102681575
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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当n>0时，a（0）=1和a（n）=-（1/n）*和{k=1..n}（和{d|k}d^（2+k/d））*a（n-k）-满山圣一2017年11月2日
广义欧拉变换。
假设给定两个序列f（n）和g（n），n>0，我们定义了一个新的序列a（n），n>=0，通过乘积_｛n>0｝（1-g（n）*x^n）^（-f（n））=a（0）+a（1）*x+a（2）*x^2+。。。
由于Product_{n>0}（1-g（n）*x^n）^（-f（n））=exp●●●●。
示例：
1.如果我们设置g（n）=1，我们得到通常的Euler变换。
2.如果我们设置f（n）=-h（n）和g（n）=-1，我们得到weighout变换（参见。A026007号).
3.如果我们设置f（n）=-n和g（n）=n，我们得到这个序列。
（结束）
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MAPLE公司
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seq（系数（级数（mul（（1-k*x^k）^k，k=1..n），x，n+1），x、n），n=0。。35）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月31日
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数学
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nmax=40；系数列表[系列[积[（1-k*x^k）^k，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
（*更高效的程序：*）nmax=40；s=1-x；Do[s*=和[二项式[k，j]*（-1）^j*k^j*x^（j*k），{j，0，nmax/k}]；s=展开[s]；s=取[s，Min[nmax+1，指数[s，x]+1，长度[s]]，{k，2，nmax}]；取[系数表[s，x]，nmax]
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黄体脂酮素
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（PARI）N=66；x='x+O（'x^N）；Vec（prod（k=1，N，（1-k*x^k）^k））\\满山圣一2017年11月18日
（红宝石）
定义s（f元，g元，n）
s=0
（1..n）.each{|i|s+=i*f_ary[i]*g_ary[i]**（n/i）如果n%i==0}
秒
结束
定义A（f元，g元，n）
ary=[1]
a=[0]+（1..n）.map{i|s（f元，g元，i）}
（1..n）.每个{i|ary<<（1..i）.注入（0）{s，j|s+a[j]*ary[-j]}/i}
ary系列
结束
A（（0..n）.map{|i|-i}，（0..n）.to_A，n）
结束
（岩浆）m:=50；R<q>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；系数（R！（（&*[（1-k*q^k）^k:k in[1..m]]））//G.C.格鲁贝尔2018年10月30日
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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经核准的
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A006906号
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| a（n）是n的所有分区中的项的乘积之和。
（原名M2575）
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1, 1, 3, 6, 14, 25, 56, 97, 198, 354, 672, 1170, 2207, 3762, 6786, 11675, 20524, 34636, 60258, 100580, 171894, 285820, 480497, 791316, 1321346, 2156830, 3557353, 5783660, 9452658, 15250216, 24771526, 39713788, 64011924, 102199026, 163583054, 259745051
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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a（0）=1，因为0的唯一分区是空分区。其项的乘积是空乘积，即1。
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参考文献
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G.标签、个人沟通。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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阿特里亚·查特吉，自然数模式产生的重力，arXiv:2006.01170[gr-qc]，2020年。
Robert Schneider和Andrew V.Sills，分区的部分或“范数”的乘积，#A13 INTEGERS 20A（2020），定理7，p.4。
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配方奶粉
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a（n+3）/a（n）的极限为3。然而，a（n+1）/a（n）的极限并不存在。事实上，序列{a（n+1）/a（n）}有三个极限点，分别是1.4422447、1.4422491和1.4422549。（请参见链接条目。）-迪安·希克森2007年8月19日
a（n）~c（n mod 3）3^（n/3），其中c（0）=97923.26765718877…，c（1）=9792 2.93936857030…和c（2）=979 22.90546334208-迪安·希克森2007年8月19日
G.f.：1/产品{k>=1}（1-k*x^k）。
通用公式：1+Sum_{n>=1}n*x^n/产品{k=1..n}-约尔格·阿恩特2011年3月23日
O.g.f.：exp（Sum_｛n>=1｝Sum_｛k>=1｝k^n*x^（n*k）/n）-保罗·D·汉纳2017年9月18日
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例子
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0的分区是{（）}，其乘积是{1}，和是1。
1的分区是{（1）}，其乘积是{1}，和是1。
2的分区是{（2），（1,1）}，其乘积是{2,1}，和是3。
3的分区是3=>{（3），（2,1），（1,1,1）}，其乘积是{3,2,1}，和是6。
4的分区是{（4），（3,1），（2,2），（2，1,1），（1,1,1）}，其乘积是{4,3,4,2,1}，总和是14。
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MAPLE公司
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选项记忆；
如果n=0，则
1;
其他的
结束条件：；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
b（n，i-1）+加（b（n-i*j，i-1
结束时间：
a： =n->b（n，n）：
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数学
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（*a[n，k]=n分块的乘积之和<=k*）a[0，0]=1；a[n，0]：=0；a[n_，k_]：=如果[k>n，a[n，n]，a[n，k]=a[n、k-1]+k a[n-k，k]]；a[n]：=a[n，n](*迪安·希克森2007年8月19日*）
表[Total[Times@@@IntegerPartitions[n]]，{n，0，35}](*哈维·P·戴尔2013年1月14日*）
nmax=40；系数列表[系列[乘积[1/（1-k*x^k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年12月15日*）
nmax=40；系数列表[Series[Exp[Sum[PolyLog[-j，x^j]/j，{j，1，nmax}]]，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年12月15日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a006906 n=p 1 n 1，其中
p _ 0 s=s
p k m s | m<k=0 |否则=p k（m-k）（k*s）+p（k+1）m s
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000041号,A007870号,A022629号,A022661美元,A022693美元,A077335号,A163318号,A265758型,A302830型,A318127型,A322364型,A322365型。
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 5, 7, 15, 25, 43, 64, 120, 186, 288, 463, 695, 1105, 1728, 2525, 3741, 5775, 8244, 12447, 18302, 26424, 37827, 54729, 78330, 111184, 159538, 225624, 315415, 444708, 618666, 858165, 1199701, 1646076, 2288961, 3150951, 4303995, 5870539, 8032571, 10881794, 14749051, 19992626
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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当有j类部件j.a（4）=7:4，4'，4''，4''，31，3'1，3''1时，将n划分为不同部件的数量-阿洛伊斯·海因茨，2015年8月24日
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链接
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配方奶粉
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猜想：log（a（n））~sqrt（n/2）*（log（2*n）-2）-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月8日
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例子
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将6分成不同部分的分区是6、1+5、2+4、1+2+3，相应的乘积是6、5、8、6，它们的和是a（6）=25。
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆；局部f，g；
如果n=0，则[1，1]elif i<1，则[0，0]
否则f:=b（n，i-1）；g： =`if`（i>n，[0,0]，b（n-i，i-1））；
[f[1]+g[1]，f[2]+g[2]*i]
fi（菲涅耳）
结束时间：
a： =n->b（n，n）[2]：
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（i*（i+1）/2<n，0，
`如果`（n=0，1，b（n，i-1）+`如果`（i>n，0，i*b（n-i，i-1
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
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数学
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nn=20；系数列表[系列[积[1+i x ^i，{i，1，nn}]，{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克里策2012年11月2日*）
nmax=50；系数列表[Series[Exp[Sum[（-1）^（j+1）*PolyLog[-j，x^j]/j，{j，1，nmax}]]，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月28日*）
（*更有效率的课程：10000学期，4分钟，100000学期，6小时*）nmax=40；poly=常量数组[0，nmax+1]；poly〔〔1〕〕＝1；poly[2]]=1；Do[Do[poly[[j+1]]+=k*poly[[j-k+1]]，{j，nmax，k，-1}]，{k，2，nmax}]；聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年1月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）N=66；q='q+O（'q^N）；Vec（prod（n=1，n，（1+n*q^n））\\约尔格·阿恩特2012年10月6日
（岩浆）系数（&*[（1+m*x^m）：m in[1..40]]）[1..40]，其中x是多项式环（整数（））.1//G.C.格鲁贝尔2018年2月16日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A078308
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| a（n）=Sum_{d除以n}d^（n/d+1）。 |
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31
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1、5、10、25、26、80、50、161、163、290、122、988、170、796、1580、2305、290、5561、362、10670、9404、5912、530、58436、16251、19258、66340、118640、842、381740、962、431105、547172、268214、509500、3534037、1370、1056880、4813052、8616326、1682
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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配方奶粉
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通用公式：和{n>0}n^2*x^n/（1-n*x^n）。
L.g.f.：-log（产品{k>0}（1-k*x^k））=和{n>=0}，（a（n）/n）*x^n-本尼迪克特·欧文2016年7月4日
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MAPLE公司
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加法（d^（n/d+1），d=numtheory[除数]（n））；
结束进程：
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数学
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表[系数列表[Series[-Log[Product[（1-k x ^k），{k，1，60}]]，{x，0，60}]，x][[n+1]]（n），{n，1，60}](*本尼迪克特·欧文2016年7月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=汇总（n，d，d^（n/d+1））\\米歇尔·马库斯2016年7月4日
（PARI）N=66；x='x+O（'x^N）；Vec（x*导数（-log（prod（k=1，N，1-k*x^k）））\\满山圣一2019年6月2日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A297323型
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| 正方形数组A（n，k），n>=0，k>=0由反对偶读取，其中k列是Product_{j>=1}（1-j*x^j）^k的展开式。 |
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14
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1, 1, 0, 1, -1, 0, 1, -2, -2, 0, 1, -3, -3, -1, 0, 1, -4, -3, 2, -1, 0, 1, -5, -2, 8, 4, 5, 0, 1, -6, 0, 16, 9, 16, 1, 0, 1, -7, 3, 25, 9, 18, -3, 13, 0, 1, -8, 7, 34, 0, 4, -35, 6, 4, 0, 1, -9, 12, 42, -21, -26, -90, -33, -31, 0, 0, 1, -10, 18, 48, -56, -66, -145, -56, -66, -72, 2, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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链接
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配方奶粉
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k列的G.f:产品{j>=1}（1-j*x^j）^k。
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例子
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k列的G.f:A_k（x）=1-k*x+（1/2）*k*（k-5）*x^2-（1/6）*kx（k^2-15*k+20。。。
方形数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, -1, -2, -3, -4, -5, ...
0, -2, -3, -3, -2, 0, ...
0, -1, 2, 8, 16, 25, ...
0, -1, 4, 9, 9, 0, ...
0, 5, 16, 18, 4, -26, ...
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数学
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表[函数[k，系列系数[乘积[（1-ix^i）^k，{i，1，n}]，{x，0，n}][j-n]，{j，0，11}，{n，0，j}]//展平
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黄体脂酮素
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（PARI）第一（n，k）=我的（res=矩阵（n，k））；对于（u=1，k，my（col=Vec（prod（j=1，n，（1-j*x^j）^（u-1））+O（x^n）））；对于（v=1，n，res[v，u]=col[v]））；资源\\伊恩·福克斯2017年12月28日
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交叉参考
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列k=0..32给出A000007号,A022661号,A022662号,A022663号,A022664号,A022665号,A022666美元,A022667号,A022668号,A022669号,A022670型,A022671号,A022672号,A022673号,A022674号,A022675号,A022676号,A022677号,A022678号,A022679号,A022680号,A022681号,A022682号,A022683号,A022684号,A022685号,A022686号,A022687美元,A022688号,A022689号,A022690号,A022691号,A022692号。
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, -1, -2, 2, -1, 4, -1, 18, -22, 12, -26, 67, -86, 42, -235, 432, -364, 506, -868, 1434, -2396, 2225, -3348, 10842, -11822, 8049, -24468, 36662, -40024, 69766, -96052, 171976, -278242, 251886, -419723, 885806, -998468, 1103660, -2381042, 4009539, -4478416, 6372514, -9913690
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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链接
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配方奶粉
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a（n）~（-1）^n*c*3^（n/3），其中
c=2.0319526534291644237634198503666896166412…如果mod（n，3）=0
c=1.8420902462379331740718256785549611496880…如果mod（n，3）=1
c=1.6677871810486313099783673373643842640151……如果mod（n，3）=2。
（结束）
猜想：a（n）=Sum_{i_1，i_2，i_3，…}[（-1）^（i_1+i_2+i_3+…）*Product_{n>0}n^i_n]，其中和覆盖所有正i_k的有效序列，使得i_1+2*i_2+3*i_3+4*i_4+…=n.（名词）。
示例：除非明确提及，否则设置i_k=0。
n=1，（i_1=1），a（1）=-1^1=-1。
n=2，（i_1=2）或（i_2=1），a（2）=1^2-2^1=-1。
n=3，（i_1=3）或（i_1=1，i_2=1）或（i _3=1），a（3）=-1^3+1^1*2^1-3^1=-2。
（结束）
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数学
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nmax=40；系数列表[系列[产品[1/（1+k*x^k），｛k，1，nmax｝]，｛x，0，nmax｝]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年12月15日*）
nmax=40；系数列表[Series[Exp[-Sum[（-1）^（j+1）*PolyLog[-j，x^j]/j，{j，1，nmax}]]，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年12月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）m=50；q='q+O（'q^m）；Vec（prod（n=1，m，1/（1+n*q^n））\\G.C.格鲁贝尔，2018年2月25日
（岩浆）系数（&*[1/（1+m*x^m）：m in[1..40]]）[1..40]，其中x是多项式环（整数（））.1//G.C.格鲁贝尔，2018年2月25日
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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A265758型
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| 乘积{k>=1}的展开（（1+k*x^k）/（1-k*x*k））。 |
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+10
9
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1, 2, 6, 16, 38, 88, 200, 428, 902, 1874, 3780, 7504, 14732, 28368, 54052, 101960, 189750, 349996, 640218, 1159624, 2084952, 3722008, 6593560, 11606268, 20308188, 35312170, 61065636, 105060200, 179795936, 306244136, 519291476, 876554860, 1473504846
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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a（n）~c*3^（n/3），其中
c=28711548.45004804552683870974706458425598…如果mod（n，3）=0
c=28711547.74098394497470795294574937283075…如果mod（n，3）=1
c=28711547.58138731567204220029302329316039…如果mod（n，3）=2。
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数学
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nmax=40；系数列表[系列[乘积[（1+k*x^k）/（1-k*x*k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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292166元
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| 正方形数组A（n，k），n>=0，k>=0由反对偶读取，其中k列是Product_{j>=1}（1-j^k*x^j）的展开式。 |
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+10
7
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1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, -2, 0, 1, -1, -4, -1, 0, 1, -1, -8, -5, -1, 1, 1, -1, -16, -19, -7, 5, 0, 1, -1, -32, -65, -37, 27, 1, 1, 1, -1, -64, -211, -175, 155, 17, 13, 0, 1, -1, -128, -665, -781, 927, 205, 167, 4, 0, 1, -1, -256, -2059, -3367, 5675, 2129, 2089, 110, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,9
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链接
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配方奶粉
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当n>0时，A（0，k）=1和A（n，k）=-（1/n）*求和{j=1..n}（求和{d|j}d^（1+k*j/d））*A（n-j，k）-满山圣一2017年11月2日
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例子
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方形数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, ...
-1, -1, -1, -1, -1, ...
-1, -2, -4, -8, -16, ...
0, -1, -5, -19, -65, ...
0，-1，-7，-37，-175。。。
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数学
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A[n_，k_]：=A[n，k]=如果[n==0，1，-（1/n）*Sum[Sum[d^（1+k*j/d），{d，除数[j]}]*A[n-j，k]，{j，1，n}]]；
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A267005型
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| 产品的扩展{k>=1}（（1-k*x^k）/（1-x^k））。 |
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+10
6
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1, 0, -1, -2, -4, -2, -5, 6, 7, 18, 31, 50, 17, 34, 39, -122, -134, -296, -298, -556, -670, -692, 64, 26, 1119, 1054, 3953, 6804, 6645, 9250, 8644, 9702, 2817, 11386, -12415, -36382, -47757, -71782, -122506, -99540, -191083, -176382, -253722, -166706, -21024
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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链接
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数学
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nmax=50；系数列表[系列[乘积[（1-k*x^k）/（1-x^k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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1999年2月
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| 1/（1-x*Product_{k>=1}（1-k*x^k））的展开。 |
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+10
5
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1、1、0、-3、-6、-5、11、37、59、13、-155、-402、-415、2631981、3748、2289、-6643、22642、31322、-187、99040、229410、216823、-230029、-1223267、2097812、955237、4468902、13393758、16752461、-3891704、62382597、131974181、106680562、173622424、741553622、1163057561、329176545
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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链接
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配方奶粉
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G.f.：1/（1-x*产品{k>=1}（1-k*x^k））。
a（0）=1；a（n）=Sum_｛k=1..n｝A022661号（k-1）*a（n-k）。
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数学
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nmax=38；系数列表[系列[1/（1-x乘积[1-k x^k，{k，1，nmax}]），{x，0，nmax{]，x]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A022661号,A067687号,A299105型,A299106型,A299108型,A299162型,A299164型,A299166型,A299167型,A299208型,A299210型,A299211型,A299212型。
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关键词
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作者
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经核准的
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