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三角形


三角形是三边的多边形有时(但不太常见)称为三角。每个三角形都有三条边和三个角可能是相同的。三角形的边在一个案例直角三角形,侧面相反这个直角被称为斜边而另两侧被称为.所有三角形凸面的双中心的由三角形包围的平面部分称为三角形内部,其余部分为外观。

对三角形的研究有时被称为三角形几何,是一个充满美丽结果和意想不到的丰富的几何领域连接。1816年,在研究Brocard点数对于三角形,克雷尔惊叹道:“这么简单的图形真是太棒了因为三角形在性质上是无穷无尽的。有多少未知属性可能没有其他数字?”(威尔斯1991年,第21页)。

三角形

通常将三角形的顶点按逆时针顺序标记为A类,B类,C(或A_1类,A_2类,A_3类).这个顶点角度然后被赋予相同的符号作为顶点本身。符号阿尔法,贝塔,伽马射线(或字母_1,α_2,α_3)有时也会用到(例如,Johnson 1929),但约定导致与通用符号不必要的混淆三线性的协调 阿尔法:贝塔:伽马,因此不推荐使用。角度相对的侧面A类,B类,C(或A_1类,A_2类,A_3类)然后贴上标签一,b条,c(c)(或a_1,a_2型,a_3型),这些符号也表示这个长度(正如顶点处的符号表示顶点本身以及顶点角度(取决于上下文)。

三角形

据说三角形是严重的如果它的三个角度都是严重的,一个三角形钝角被称为钝的三角形和一个三角形直角打电话正确的.所有边都相等的三角形是打电话等边的,一个两边的三角形称为equal等腰的,和一个三角形所有边的长度不同称为不等边的三角形可以同时为直角和等腰,在这种情况下称为一个等腰直角三角形

这个半周长 秒三角形的定义为一半它的周长,

秒=1/2便士
(1)
=1/2(a+b+c)。
(2)

三角形的面积可以由赫伦公式

 增量=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。
(3)

还有许多其他公式对于三角形地区

定义半周长导致定义

(SA)=1/2(b+c-a)
(4)
=s-a公司
(5)
=rcot(1/2A)
(6)
s _ b=1/2(c+a-b)
(7)
=s-b型
(8)
=rcot(1/2B)
(9)
s抄送=1/2(a+b-c)
(10)
=s-c公司
(11)
=rcot(1/2C),
(12)

哪里对入侵的类似的关系适用于康威三角形表示法 S公司,S_A(_A),S_B(_B)、和S_C(_C)

三角形角度

以下各项的总和在三角形中是180度=π弧度(至少在欧几里得的几何学; 这句话真的等待非欧几里得的几何学). 这可以按如下方式确定。DAE‖BC公司(DAE(DAE)平行不列颠哥伦比亚省)在上图中,然后是角度阿尔法贝塔满足α=∠DAB=∠ABCβ=∠EAC=∠ACB,如图所示。正在添加伽马射线,因此

 α+β+γ=180度,
(13)

因为线段的角度之和必须等于2直角因此,三角形中的角度之和也为180度

三角形平行线

如果一条线平行于三角形的一侧绘制,使其与其他两侧相交,则它会按比例将它们分开,即:。,

 (AX)/(XC)=(BY)/(YC)
(14)

(尤根森1963年,第251页)。换句话说,一条与三角形的一条边平行的线与另两条边相交,就形成了一个三角形类似的到第一个。

允许的边长一,b条、和c(c)三角形由不等式组给出a> 0个,b> 0个,c> 0个、和a+b>c,b+c>a,a+c>b,一个封装在所谓三角形不等式.的角度和侧面三角形也满足了其他美丽的数组三角形不等式

指定两个 A类B类和一个侧面一唯一确定三角形地区

三角洲=(a^2sinBsinC)/(2sinA)
(15)
=(a^2sinBsin(pi-a-B))/(2sinA)
(16)

(该AAS定理). 指定 A类,一个侧面c(c)、和 B类唯一指定三角形地区

 增量=(c^2)/(2(cotA+cotB))
(17)

(该ASA定理). 给定一个两边的三角形,一较小的和c(c)较大的,已知的 A类,严重的和相反一,如果新浪<账户,有两个可能的三角形。如果sinA=账户,有一个可能的三角形。如果sinA>a/c,没有可能的三角形。这是ASS定理.让一是基准长度和小时就是高度。然后

三角洲=1/2小时
(18)
=1/2英寸B
(19)

(该SAS定理). 最后,如果指定了所有三条边,则使用地区鉴于通过赫伦公式或通过

 增量=(abc)/(4R),
(20)

哪里R(右)外半径这是SSS定理

三线坐标

三角形几何,通常很方便使用相对于以下距离定义的三重坐标给定所谓的参考三角形这种坐标的一种形式称为三线性的协调 阿尔法:贝塔:伽马,所有坐标都具有与三角形内部,一个坐标零点对应于一侧的一个点,两个坐标零对应于顶点,坐标有不同的符号对应到三角形外部。

三角形构造

这个直尺罗盘三角形的构造可以如下完成。在上图中,OP_0(操作_0)作为一个半径然后画OB_|_OP_0然后平分产科医生并构造P_2P_1‖OP_0延伸BO公司定位第3页然后给出等边三角形 增量P_1P_2P_3.另一项施工进展通过绘制圆圈所需的半径 对以某点为中心O(运行).选择一个点B类在圆圈上圆周再画一张圆圈半径的对居中于B类.两个圆圈相交在两点上,第1页第2页、和第3页是线条的第二个点B_O(_O) 相交第一个圆圈

内圆外圆

元素,Euclid演示了如何铭文圆圈(该内圆)通过定位插入器 我作为…的交点平分线在提案IV.5中,他展示了如何限定圆圈(该外接圆)通过定位圆心 O(运行)作为垂直平分线不同于将军多边形具有n> =4边,三角形总是同时有外接圆和一个内圆这样的多边形称为双中心的多边形

有边的三角形一,b条、和c(c)可以通过选择顶点(0,0)来构造,(c,0)、和(x,y),然后求解

x^2+y^2=b^2号
(21)
(x-c)^2+y ^2=a^2
(22)

同时获得

x个=(-a^2+b^2+c^2)/(2c)
(23)
=bcosA公司
(24)
年=+/-(平方码((-a+b+c)(a-b+c
(25)
=+/-(2三角洲)/c。
(26)

这个三角形满足法律余弦的

 cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc),
(27)

以及

 cotA=(b^2+c^2-a^2)/(4Delta)
(28)

哪里三角洲地区(约翰逊1929年,第11页,添加了缺失的方形符号)。后者提供了漂亮的身份

 cotA+cotB+cotC=(a^2+b^2+c^2)/(4Delta)。
(29)

此外,

 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
(30)

(F.J.n.d.,第206页;Borchart和Perrott,1930年)和

 cotBcotC+cotCcotA+cotAcotB=1
(31)
 tanAcotBcotC+tanBcotCcotA+tanCcotAcotB=tanA+tanB+tanC+2(cotA+cotB+cotC)
(32)

(西顿和休斯,1929年),以及

 胶辊(1/2A)+胶辊(1/2 B)+胶管(1/2 C)=胶辊(1/2A)胶辊(1/2 B)胶辊。
(33)

其他公式包括

 cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosCosC=1,
(34)

cos(毫安)=cos[n(B+C)]
(35)
cos(nB)=cos[n(A+C)]
(36)
cos(立方厘米)=cos[n(A+B)]
(37)

即使如此n个(Weisstein,2003年1月31日和2004年3月3日)。

三角函数半角的在三角形中,可以用三角形边表示为

cos(1/2安)=平方码(s(s-a)/(bc))
(38)
正弦(1/2A)=sqrt(((s-b)(s-c))/(bc))
(39)
棕褐色(1/2A)=sqrt(((s-b)(s-c))/(s(s-a))),
(40)

哪里秒半周长

S公司代表三角形边A类一个角度,让一组S公司s和A类连接起来,使相邻的字母对应于相邻的边和角在三角形中。三角形是通过指定三条边唯一确定的(安全系统定理),两个角度和一个侧面(AAS定理),或具有相邻角度的两侧(SAS定理).在每种情况下,未知的三个量(有三个边和三个角度总和)可以唯一确定。其他侧面和角度组合不要唯一地确定三角形:三个角度指定仅三角形的模刻度大小(AAA定理),一个角度和两个不包含它的边可以指定一个、两个或不指定三角形(屁股定理).

侧面平行线

以恒定比率分割三角形的边r<1/2然后画平行于相邻边的线通过这些点中的每一个都会得到线段横断相互之间和三个地方的一个中位数。如果r> 第1/2页,则边的延伸平行横断中间带的延伸。

中线将三角形的面积平分,边与比率平行1+平方米(2).线的包络线将区域一分为二三角形形成三条双曲线弧。信封有点然而,对于将三角形的面积划分为常数的直线来说更为复杂但比率不相等(Dunn and Petty 1972,Ball 1980,Wells 1991)。

有四个圈子与三角形的边相切,一个内部(内圆)还有其他的外部(外圆). 他们的中心是点的交叉点角平分线三角形的。

任何三角形的位置都可以使其阴影位于正交投影下等边的


另请参阅

锐角三角形,等边三角形,等腰三角形,钝器三角形,五角大楼,多边形,直角三角形,不等边的三角形,方形,方形三角形拾取,三角形区域,三角形几何图形,三角三角拣选,三线性坐标 在MathWorld课堂上探讨这个主题

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“三角形。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Triangle.html

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