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方形三角形拾取

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方形三角形拾取

正方形三角形拾取是选择三个点（对应于三角形)随机放置在广场.n个可以在单位正方形在里面这个Wolfram语言使用函数随机点[矩形[]中，{n个,三}].

给定在内部随机选择的三个点单位正方形，平均值地区的三角形由这些点决定的结果由多重积分解析地给出

一个^_=（整数_0^1整数_0^ 1整数_0 ^1整数_0^1整数_ 0^1积分_0^1增量|dx_1dx_2dx_3dy_1dy_2dy_3）/
（1）
=int_0^1int_0^1 int_0^ 1int_0 ^1 int_0 ^ 1int _0 ^1int _0^1增量|dx_1dx_2dx_3dy_1dy_2dy_3。
(2)

在这里，（x i，y i）代表多边形顶点三角形的对于i=1,2、3和（签名）地区给出了这些三角形的由行列式

三角洲=1/（2！）|x_1 y_1 1；x_2 y_2 1；x3 y3 1个|
(3)
=1/2（-x_2y_1+x_3y_1+x_1y_2-x_3y_2-x_1y_3+x_2y_3）。
(4)

Woolhouse（1867）首先给出了解决方案。由于试图用蛮力进行积分会产生难以处理的被积函数，因此最好的方法是使用计算机代数是使用柱面代数分解这样三角洲不改变，直接在每个区域进行积分，然后合并结果（Trott 1998）。取决于集成的顺序对变量进行排序，得到32到4168个区域。合并的结果这些碎片提供了平均三角形面积

A^_=（11）/（144）
(5)

（Ambartzumian 1987，Pfiefer 1989，Trott 1998；Trott 2006，第303-304页）。

一次A类^_已知，通过首先计算未经加工的瞬间 mu_2^'=<A^2>,

<A^2>=int_0^1int_0^1 int_0^ 1int_0 ^1 int_0 ^1 int_ 0 ^1 int_0 ^ 1int _0 ^1int _0^1三角洲^2dx_1dx_2dx_3dy_1dy_2dy_3
(6)
=1/(96),
(7)

给

var（A^_）=<A^2>-A^_^2
(8)
=(95)/(20746)
(9)
=0.004581....
(10)
方形三角形拣选分布

这个分布函数面积为内接在正方形中的随机三角形精确地表示为

P（A）=4[12（ln（2A）-5）ln（1A）A^2+24（A+1）Li_2（2A
(11)

（M.Trott，pers.comm.，2005年1月27日；Trott 2006，第306页）。相应的分布函数由下式给出

D（A）=-（16）/3[17-3ln（2A）]A^3+16（2A+3）[Li_2（2A）-1/6pi^2]+4/3（1-17A）A+2/3（1-2A）（1-16A-68A^2）ln（1-1A）
(12)

（菲利普）。

P（甲）满足美丽的四阶普通的微分方程

A^3（1-2A）P^（“”）（A）+A^2P^-8P（A）-96（2A-1）=0
（13）

（M.Trott，pers.comm.，2005年1月27日；Trott 2006，第307页）。

这为原始时刻提供了美丽的公式mu_n^’作为

mu_n^'=（3·2^（3-n）[（n+2）H_（n+1）+1]）/（（n+1，
(14)

哪里H_n（H_n）是一个谐波数，因此n=1,2, ... 是11/144、1/96、137/9000、1/2400、363/109760。。。（组织环境信息系统A093158号和A093159号).

对于n个第个中心力矩 多个（_n），但前几个n=1, 2, ... 是0、95/20736、75979/186624000、1752451/17915904000、，…（OEIS）A103281号和A103282号;Trott 2006，第307页）。

方形三角形拾取点分布

给定点的概率的闭合形式（x，y）也可以获得随机选取的三角形中的位置作为

P_0（x，y）=（f（x，y）（x-1）^2）/（2x（y-1）y）-3/2（6xy^2-4y^2-6xy+4y+2x-1）ln（1/x-1）×（x-1）^2，
(15)

哪里

f（x，y）=12x^2y^4-30xy^4+3y^4-24x^2y^3+60xy^3-6y^3+25x^2y^2-43xy^2+4y^2-13x^2y+13xy-y+x^2-x
(16)

（M.Trott，pers.comm.，2005年1月31日；Trott 2006年，第310页）。此表达式对有效1/2<=x<1和1/2<=y<=x，表达式覆盖整个单位平方对称性表示为

P（x，y）={P_0，y）对于0<x<=1/2，x<=1-y<=1/2；P_0（y，1-x）对于0<x<=1/2，0<1-y<=x；P_0（y，x）对于1/2<=x<1，0<1-y<=1-x。
(17)

正如预期的那样，此表达式满足

整数_0^1整数_0^1P（x，y）dxdy=（11）/（144）。
(18)

在单位正方形中随机选取三个点，并表示这三个点形成钝角三角形通过圆周率（2）Langford（1969）证明了

圆周率（2）=（97）/（150）+1/（40）π
(19)
=0.725206483...
(20)

（组织环境信息系统A093072号).

另请参见

立方体四面体拾取,海尔布隆三角问题,六角形三角形拾取,钝角三角形,多边形三角形拾取,方形线条拾取,西尔维斯特的四点问题,三角三角拣选,单位方形

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工具书类

阿拉加，V.S。“关于随机三角形的分布。”J.应用。探针。 14, 284-297, 1977.Ambartzumian，R.V.公司。（编辑）。随机的和积分几何。荷兰多德雷赫特：雷德尔，1987年。布赫塔，C.“在Eibereichen，你会遇到Hülle von Zufallspunken。”元素。数学。 38，153-1561983年。Buchta，C.“Zufallspolygone在Konveven Vielecken。"J.reine angew。数学。 347, 212-220, 1984.芬奇，S.R.公司。《几何概率常数》§8.1数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第479-484页，2003Henze，N.“凸区域中的随机三角形”J。申请。探针。 20, 111-125, 1983.Klee，V.“什么是顶点从给定凸中随机选择的单纯形的期望体积车身。"阿默尔。数学。每月 76, 286-288, 1969.朗福德，E.“随机三角形为钝角的概率。”生物特征 56,689-690, 1969.普菲弗，R.E。“J·J。西尔维斯特的四点问题。"数学。美格。 62,309-317, 1989.Philip，J.“随机凸多边形的面积”技术报告TRITA MAT 04 MA 07。未注明日期。网址：http://www.math.kth.se/~johanph/area12.pdf.桑塔洛，洛杉矶。完整的几何和几何概率。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1976年。塞多夫，Z.F.公司。“字母：随机三角形。”数学杂志。 7,414, 2000.塞多夫，Z.F。2000http://axchiv.org/abs/math.GM/002134/.斯隆，新泽西州。答：。序列A093072号,A093158号,A093159号,A103281号,和A103282号在线百科全书整数序列的。"Trott，M.“随机三角形的面积”数学杂志。 7, 189-198, 1998.http://library.wolfram.com/infocenter/文章/3413/.特洛特，M.“方形中随机三角形的面积”§1.10.1这个符号学数学指南。纽约：施普林格出版社，第298-311页，2006http://www.mathematicaguidebooks.org/.伍尔豪斯，西南亚。B。“问题2471。”数学问题及其答案解决方案，摘自《教育时报》第8卷。伦敦：F.Hodgson和儿子，第100-1051867页。

参考Wolfram | Alpha

方形三角形拾取

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“方形三角形拾取。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SquareTrianglePicking.html

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