组

A组是有限或无限元素集与一个二进制运算（称为分组操作)一起满足四个人闭包的基本属性、结合性、恒等性和逆特性。定义组的操作通常是称为“group operation”，集合称为“under”组此操作。元素,,, ... 二进制运算介于和表示组成一个组，如果

1.关闭：如果和中有两个元素，然后是产品也在.

2.关联性：定义的乘法是关联的，即对所有乘法,.

3.身份：有一个身份元素 （又名1，，或)这样的话对于每个元素.

4.逆：每个元素必须有一个逆（也称为倒数）。因此，对于每个元素属于，集合包含一个元素这样的话.

一个组是一个幺半群其元素都是可逆的。

一个组必须包含至少一个元素，并且只有唯一的（同构的）单个元素称为平凡群.

对群体的研究被称为群论。如果元素数量有限，则该组称为有限的，有限的组元素的数量称为组秩序组的。组的子集关闭在群运算和逆运算下称为子组.子组也是组，并且许多是常见的群实际上是一些更一般的更大群的特殊子群。

一个基本示例有限群是对称群 ，它是排列（或“排列中”）物体。最简单的无限群是整数在通常情况下附加对于连续组，可以考虑实数或可逆的矩阵.这些最后两个是李群.

一种非常常见的组类型是循环群该组与整数组同构（模)，表示为,,或、和是为每个整数定义的。它是关闭在加法下，结合，并具有唯一的逆。从0到的数字表示其元素，使用身份元素由0表示，反之亦然属于由表示.

保留标识和组操作的两个组之间的映射称为同态如果同态具有逆同态，则称为同构这两个群被称为同构。两个同构的群当被视为抽象组时，其他组被视为“相同”。对于例如，如下图所示，正方形的旋转组是循环的，循环的组 .

一般来说集体行动是指组对集进行操作，排列其元素，以便从组映射到置换组集合的是同态。例如，正方形的旋转为一子组的排列它的角落。一个重要的集体行动对于任何组是它对自身的操作共轭.这些只是一些可能的群自同构.另一种重要的集体行动是一个组表示，其中组对矢量空间通过可逆线性映射.何时这个领域的向量空间是复数，有时表示形式称为CG公司 模块.

小组行动，尤其是表示法，在应用中非常重要，不仅对群论，而且对物理学和化学。由于一个群体可以被认为是一个抽象的数学对象，同一组可能出现在不同的上下文中。因此，考虑一下将群体表示为群体的一个特定化身，这可能也有其他表示。一个不可约的表示组的表示不存在单一的转型它将转换表示矩阵成块对角形式。不可约表示有许多显著的属性，如组正交性定理.