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极坐标


极坐标

极坐标第页(径向坐标)和θ(角坐标,通常称为极地的)定义为笛卡尔协调通过

x个=罗卡斯塔
(1)
年=rsintheta、,
(2)

哪里第页是与起源、和θ是从x个-轴依据x个年,

第页=平方(x^2+y^2)
(3)
θ=tan(-1)(y/x)。
(4)

(这里,tan(-1)(年/月)应该解释为两个参数反向切线它有以下迹象x个年考虑以确定象限 θ谎言。)紧接着极坐标并不是天生唯一的;特别地,(r,θ+2npi)将与(r,θ)对于任何整数n个。此外,通常允许以下项的负值第页假设(-r,θ)绘制方式与相同(r,θ+/-π)

极坐标图形纸

点作为有序对的表达式(r,θ)被称为极坐标符号,即曲线方程用极坐标表示称为极地的方程式,极坐标下的曲线图称为极地的情节

以几乎相同的方式笛卡尔曲线可以在直线上绘制,极地的绘图可以在径向上绘制如图所示如上图所示。

这个弧长极曲线的r=r(θ)

 s=int_(theta_1)^(theta_2)sqrt(r^2+((dr)/(dtheta))^2)dtheta。
(5)

这个线条元素由提供

 ds^2=dr^2+r^2数据集^2,
(6)

地区元素依据

 dA=rdθ。
(7)

这个地区由极曲线包围r=r(θ)

 A=1/2int_(theta_1)^(theta_2)r^2数据eta。
(8)

这个斜坡极性函数的r=r(θ)在这一点上(r,θ)由提供

 m=(r+tantheta(dr)/(dtheta))/(-rtantheta+(dr。
(9)

这个在点的切线和径向线之间(r,θ)

 psi=tan^(-1)(r/(dr)/(dtheta)))。
(10)

极曲线与x个-轴线如果更换θ通过-θ在其方程中产生一个等效方程,该方程与-轴如果更换θ通过pi-theta公司在它的方程中产生一个等价的方程,并且关于原点对称更换第页通过-第页在它的方程中产生了一个等价的方程。

笛卡尔坐标,的半径向量 第页

 r=sqrt(x^2+y^2)r^^,
(11)

给出导数

 r ^=r^^^.sqrt(x^2+y^2)+r^^(x^2+y^ 2)^(-1/2)(xx^.+yy^.)。
(12)

单位向量

 r^^=(xx^^+yy^^)/(平方码(x^2+y^2)),
(13)

给出导数

 r^^^=(((xy^.-yx^.)(xy^^-yx*^))/((x^2+y^2)^(3/2))。
(14)

在极坐标中半径向量已给出通过

 r=[rcostheta;rsintheta],
(15)

给出导数

参考号:。=[-rinthetatheta^.+costhetar^.;rcosthetatheta^.+sinthetar^.]
(16)
=rtheta^.theta^^+r^.r^^
(17)
r ^。。=(r^..-rtheta^.^2)r^^+(2r^.theta^.+rtheta^..)θ^^
(18)
=(r^..-rtheta^.^2)r^^+1/rd/(dt)(r^2theta^.)θ^^。
(19)

这个单位向量

第页^^=((dr)/(dr
(20)
θ^^=((dr)/(dtheta))/(|(dr)/(dtheta)|)=[-sintheta;costheta],
(21)

给出导数

r^^^。=[-sinthetheatheta^.;costhethetatheta^.]=θθ^^
(22)
θ^^^。=[-costhetatheta^.;-sinthetatheta^.]=-θ^.r^^。
(23)

顺便说一下欧拉公式,的图形表示复数 z=x+iy就其而言复杂的模数,模量 |z(z)|及其复杂论点 θ与极坐标密切相关。事实上阿尔冈图这样的z(单位:C)很容易看出与通常情况类似极地的情节


另请参见

Argand图,心形的,圆形,西索群岛,贝壳类,复杂的自变量,综合体模量,复数,曲线协调,圆柱坐标,欧拉公式,柠檬酸盐,利马松,对数螺旋形的,极轴角度,极地的曲线,极坐标图,极地的矢量,玫瑰曲线 在数学世界课堂上探索这个主题

本条目的部分内容由克里斯托弗斯托弗

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引用如下:

克里斯托弗·斯托弗埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“极坐标”。来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html

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