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草皮圆圈

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给定三个非共线点，构造三个相切圆使得一个以每个点为中心，并且这些圆是成对的彼此相切。那么正好存在两个不相交的圈子那是切线所有三个圈子.这些被称为内部的和外面的肮脏的圈子，它们的中心被称为内部的 S公司和外面的草皮中心 S^’,分别是。

弗雷德里克·索迪（1936）公式找到半径Soddy圈子里(第4段)鉴于半径 理化指数(i=1,2、3）。这种关系是

2（epsilon_1^2+epsilon_2^2+epsilon_3^2+εsilon_4^2）=（epsilen_1+epsilen_2+εSilon_3+ε4）^2，
（1）

哪里ε_i=+/-κ_i=+/-1/ri是所谓的弯管，定义为已签名曲率的圈子。如果触点都是外部的，则标志都被视为积极的，而如果一个圆围绕其他三个圆圈，这个圆圈的符号被视为消极的（科克塞特1969）。使用二次公式解决ε_4,用半径而不是曲率表示，并简化给出

r4^+/-=（r1r2r3）/（r1r/2+r1r3+r2r3+/-2sqrt（r1r-2r3（r1+r2+r3））。
（2）

这里消极的解决方案对应于外部Soddy圆和积极的一个到内部Soddy圆形。

通过任意四个相切圆的相对切点的三条直线重合，其中“相反”表示这两个圆确定一个切点与确定其他（Eppstein 2001）。这一事实导致第一和第二个Eppstein点.

这个公式被称为笛卡尔圆定理自从笛卡尔知道它。Soddy将结果扩展到相切球体Gosper进一步扩展了结果是n+2相切的n个-维度的超球体.

Bellew导出了适用于圆圈被…包围n个 圈子反过来又被另一个限制圆圈.这种关系是

[n（cn-1）^2+1]总和_（i=1）^（n+1）kappa_i^2+n（3nc_n^2-2n-6）cn^2（cn-1）^2=[（f（n））/（n（cn-1）+1）]^2，
(3)

哪里kappa（n+1）是中心圆的曲率，

f（n）=[n（cn-1）^2+1]sum（i=1）^（n+1）kappa_i+nc_n（cn-1）[nc_n^2+（3-n）cn-4]
(4)

和

cn=csc（pi/n）。
(5)

对于n=3,这简化为笛卡尔圆定理

2sum_（i=1）^4kappa_i^2=（sum_。
(6)

另请参阅

阿波罗垫圈,阿波罗纽斯圆,阿波罗纽斯问题,阿贝洛斯,弯曲,一碗整数,外接圆,笛卡尔圆定理,中心三角形,四枚硬币问题,哈特的定理,内部草皮中心,内部草皮圈,马尔法蒂圆圈,外部草皮中心,外部草皮圈,巴氏杆菌链条,草皮中心,草皮三角形,球形填料,斯坦纳链条,相切圆,切线球体

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参考Wolfram | Alpha

草皮圆圈

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Soddy Circles”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SoddyCircles.html

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