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黎曼张量

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黎曼张量（Schutz 1985）R^alpha_（betagammadelta）也叫Riemann-Christoffel曲率张量（Weinberg 1972，第133页；Arfken 1985，第123页）或Riemann曲率张量（Misner等。1973年，第218页），是一个四指数张量这在广义相对论中很有用。其他重要的广义相对论张量这样Ricci曲率张量和标量曲率可以定义为R^alpha_（betagammadelta）.

在某种意义上，黎曼张量是唯一可以由这个度量张量及其第一和第二衍生物，

R^alpha_（βgammadelta）=伽马_（βδ，γ）^alpha-Gamma（βγ，δ）^alpha+Gamma_（βδ）^muGamma_（muGamma）^alpha-Gamma（βγ）^muGamma_（mudelta）^alpha，
（1）

哪里伽马_（α-β）^伽马是第一个的克里斯托弗符号友善的和A_（，k）是一个逗号导数（Schmutzer 1968年，第108页；温伯格1972）。在一个维度中，R_（1111）=0。在四个维度中，有256个组件。制作对称关系的使用，

R_（iklm）=-R_（ikml）=-R（kilm），
(2)

独立分量的数量减少到36个。使用条件

R_（iklm）=R_（lmik），
(3)

坐标数减少到21。最后，使用

R_（iklm）+R_（ilmk）+R_（imkl）=0，
(4)

剩下20个独立部件（Misner等。1973年，第220-221页；Arfken 1985，第123-124页）。

一般来说n个尺寸由下式给出

C_n=1/（12）n^2（n^2-1），
(5)

“四维金字塔数”，其前几个值为0、1、6、20、50、105、196、336、540、825。。。（组织环境信息系统A002415号).的数量标量可以从中构造R_（lambdamunukappa）和g（穆努）是

S_n={1表示n=2；1/（12）n（n-1）（n-2）（n+3）表示n=1，n>2
(6)

（温伯格1972）。前几个值是0、1、3、14、40、90、175、308、504、，780, ... （组织环境信息系统A050297号).

就雅可比张量 J^mu_（每年一次）,

R^mu_（alphanubeta）=2/3（J_（nualphabeta）^mu-J_（betaalphanu）^mu）。
(7)

让

D^~_s=部分/（partialx^s）-sum_（l）{su；l}，
(8)

其中｛s u；l｝是一个克里斯托费尔第二类符号.然后

R_（pqrs）=D^~_q{pr；s}-D^~_R{rq；s}。
(9)

分解为最简单的分解N个尺寸，

R_（lambdamunukappa）=1/（N-2）（g_（lampdanu）R_（mukappa。
(10)

在这里，R_（穆努）是Ricci曲率张量,R（右）是标量曲率,和C_（lambdamunukappa）是Weyl张量.

另请参见

Bianchi标识,第一类Christoffel符号,克里斯托弗尔第二类符号,换位系数,高斯曲率,雅各比张索尔,Petrov符号,里奇曲率张量,黎曼几何,黎曼度量,标量曲率,Weyl Tensor公司

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参考文献

阿夫肯，G。物理学家数学方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，1985年。米斯纳，C.W。；Thorne，K.S。；和J.A.Wheeler。“测地偏差和黎曼曲率张量。“§8.7英寸引力。旧金山：W.H。弗里曼，第218-2241973页。帕克，L.和克里斯滕森，S.M。“黎曼曲率张量”§2.7在里面数学张量：用计算机进行张量分析的系统。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第28-32页，1994年。B.F.舒茨。“黎曼张量”和《黎曼张量的几何解释》第6.8节A类广义相对论第一课程。英国剑桥：剑桥大学出版社，第210-214页，1985年。施穆泽，E。相对论者Physik（克拉西理论）。德国莱比锡：Akademische Verlagsgesellschaft，1968新泽西州斯隆。答：。序列A002415号/M4135型和A050297号在线百科全书整数序列。"Weinberg，S.“曲率的定义张量”和“曲率张量的唯一性”。“§6.1和6.2在里面引力宇宙学：广义相对论的原理和应用。纽约：Wiley，第131-135页，1972年。

参考Wolfram | Alpha

黎曼张量

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“黎曼张量”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RiemannTensor.html

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