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勾股直角三角形

具有整数边的直角三角形吸引了数学家早在公元前300年，毕达哥拉斯就写下了他著名的“定理”。世界上最古老的数学文件，一小块粘土，可以放在你手里，可以看到这样的三角形列表。那么，他们有什么吸引人的地方呢？本页从头开始有很多事实和数字，有几个在线计算器可以帮助你自己计算调查。
本页内容
这个要做的事情图标表示有一个要做的事情开始你自己的调查。这个计算器计算器图标表示该部分中有一个实时交互式计算器。

直角三角形与勾股定理

毕达哥拉斯和毕达哥拉定理

毕达哥拉斯是一位数学家，大约公元前570年出生于希腊。他对数学、科学和哲学。大多数人都认识他，因为这个毕达哥拉斯定理这是所有人的财产直角三角形（90°角）：支腿a、b；hyp=小时如果三角形有一个直角（即90°）那么它三个边的长度之间有一种特殊的关系：
如果最长边（称为斜边）是小时以及其他两侧（紧挨着直角）称为一和b条，然后：
一2+b条2=小时2    毕达哥拉斯定理
或者，
最长边的平方等于其他两方。
小时2=a2+b条2 仅适用于直角三角形。
注意，在任何三角形中，最长的边小时不能长于其他两边的总和。所以h<a+b.
如果它等于另外两个的和，那么三角形就是一条长度线a+b=小时!

例如，如果直角的三角形是2厘米和3厘米，什么是最长边的长度？
如果最长的边是小时然后，根据毕达哥拉斯定理，我们得到：
小时2=22+ 32= 13
小时=√13 = 3·60555

在本页上，是一个直角三角形（因此毕达哥拉斯定理适用）
和其边长为整数
称为勾股三角形

毕达哥拉斯定理的一些直观证明

4x三角形+a^2+b^2=4 x三角形+c^2 动画校样我最喜欢的证据观望品种在右边。


这两张图的边长都相同a+b.
两个正方形包含相同的四个相同的白色直角三角形（所以它是白色的:-))带侧面a、 b、c. 左边的方块也有两个蓝色方块带有区域一2和b条2而右手边的一个则用一个面积的红色正方形代替它们c（c）2.
这不取决于长度a、 b、c; 只是它们是直角三角形的边。
所以这两个蓝色方块面积等于红色正方形直角三角形:一2+b条2=c2
这通过将方块从左侧的位置推到它们显示在右侧。不要转动或翻转它们，只需移动它们即可到它们各自的角落。
用于说明毕达哥拉斯定理的装置

有一个很好的例子一种阐释毕达哥拉斯定理的装置这是一个数学演示。单击此处右侧的图像在新窗口中查看动画或下载可用于免费Mathematica播放器的活动控件版本。
比尔·理查森有一个漂亮的巴斯卡拉证明的动画

这个3-4-5三角形

在上面的示例中，我们选择了两个完整编号的边，并找到了最长的边边，这不是一个整数。

也许令人惊讶的是，有一些直角三角形三个边都是整数打电话勾股三角形.三个整数边长称为毕达哥拉斯三元组或三人一组.
3-4-5三角形一个例子是a=3，b=4和h=5，称为“3-4-5三角形”。我们可以如下检查：
三2+4个2= 9 + 16 = 25 = 52所以一2+b条2=小时2.

巴比伦人（生活在今天的伊拉克和伊朗地区）知道这三个国家甚至早在5000年前！也许他们用它做了一个直角三角形，这样他们就可以建造建筑物时，要做成真正的直角&我们还不确定。

使用等距结很容易获得直角在两个朋友的帮助下，在一根绳子上。如果你把绳子的两端连在一起，一个朋友打第四个结另一个是第七个结，然后你们都用力把绳子拉成三角形，你会得到3-4-5三角形它有一个真正的直角。
绳子可以随意长这样你就可以精确地画出任意大小的直角。

三角形的边之和称为周长.
我们还可以轻松绘制3 4 5三角形如下：
  5. 这个是一个3 4 5三角形

图表纸上的3 4 5但所有毕达哥拉斯三角形都更容易在方格纸上绘制，因为它们的所有边都是整数长度。
测量长度两个较小的边（直角周围的边）的长度沿着和向上的从同一点出发，然后将二者结合起来端点在一起。
所以毕达哥拉斯三角形也告诉我们哪些点对具有整数坐标是整数距离不在水平或垂直方向。

测试一个三角形——它是毕达哥拉斯的吗？

支腿a、b和hyp h这里有一个小计算器二直角三角形的边将计算第三个，或者你可以把这三个方面都检查一下。它将检查它是否是直角的，如果是，它是否是毕达哥拉斯式的（所有边都是整数）。
在这里一和b条是二腿、围绕直角的侧面，以及小时是最长的边，这个斜边:

PT？：这是毕达哥拉斯语吗？计算器

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一: b条: 小时:

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计算器: 葡萄牙？ 一/b条c（c）/d日=2 m、 n个 斐波那契 UAD树 面积/周长 概述 给定的角度 2/n单位
分数		 海波
边缘		 平方和

更多毕达哥拉斯三元组

是3-4-5唯一的毕达哥拉斯三巨头？
不，因为我们可以将3-4-5三角形还有一个直角三角形：
它的侧面将是6-8-10我们可以检查一下102= 62+ 82.

通过增加三倍继续此过程3-4-5和翻两番依此类推，我们有无穷多个毕达哥拉斯三元组：

三45
6810
121620
152025
182430
。。。
或者我们可以取倍数1、11、111、1111等的序列，得到一个模式：
三45
334455
333444555
333344445555
。。。
所有这些都将具有相同的形状（角度相同）但在以下方面有所不同大小-数学术语是它们都是类似的三角形。如果它们大小相同但位置不同或方向，三角形称为同余的.

还有其他形状不同的直角三角形吗有多少边？
对；一个是5, 12, 13另一个是7, 24, 25.
我们可以使用毕达哥拉斯定理来检查它们是否有直角，即两个较小边的平方和等于平方最长边的。例如
52+122= 25 + 144 = 169 =132
72+242=49+576=625=252

勾股三角形数的图

斜边达到给定极限的勾股三角形的数量随着极限的增加而显著一致如图所示：

勾股三角形数的图
低血压<H：
H（H）仅限
基本体		全部基本体+全部
100
300
1000
5000
PT数量图
H（H）
稍后我们将更仔细地研究这些图表，发现有一个令人惊讶的数字与之相关用这些直线。

但现在，我们如何找到这些毕达哥拉斯三角形？有系统的方法吗？

勾股三角形的生成方法

求所有勾股三元组的最简单方法

理查德·杜克罗·德容（Richard du Croo de Jong）于2019年7月写信给我，指出生成所有毕达哥拉斯三角形的最简单方法！
该方法在中提到Kraitchik的数学娱乐第97页：参见以下参考.
如果一2+b条2=小时2然后
一2=小时2-b条2哪些因素：
一2=（h+b）（h-b）
因此，找出以下两个因素一2，说吧P（P）和问和P> 问.然后
P=h+b，Q=h-b也就是说
h=（P+Q）/2，b=（P-Q）/2.
为了使P和Q是整数，P和Q必须是奇数或偶数，并且P>Q（或者b是0或负数）。
让我们用a=12:
一2=144可能的P和Q是：
P=144，Q=1但一是偶数，一是奇数（给出b和h的分数）
P=72，Q=2而且两者都是平等的
（P+Q）/2=h=37；（P-Q）/2=b=35：三元组是a=12，b=35，h=37
P=48，Q=3但一是偶数，一是奇数（给出b和h的分数）
P=36，Q=4而且两者都是平等的
（P+Q）/2=h=20；（P-Q）/2=b=16：三元组是a=12，b=16，h=20
P=24，Q=6而且两者都是平等的
（P+Q）/2=h=15；（P-Q）/2=b=9：三元组是a=12，b=9，h=15
P=18，Q=8而且两者都是平等的
（P+Q）/2=h=13；（P-Q）/2=b=5：三元组是a=12，b=5，h=13
P=16，Q=9但一是偶数，一是奇数（给出b和h的分数）
所以只有4个边为12的毕达哥拉斯三角形。
涉及因素的类似方法是Hypotenuse-Leg差分法参见下文.

生成PT的一种简单的两单位分馏方法

这是生成毕达哥拉斯三角形的一种非常简单的方法。它基于形成连续奇数或连续偶数的两个单位分数。
奇数
A类		下一个
B=A+2		1/A类+1/B类海普
1三4/35
三58/1517
5712/3537
7916/6365
。。。

连续两次古怪的单位分数

取两个相差2的奇数，如3和5。
把它们变成单位分数：1/三和1/5
并添加它们：1/三+1/5=8/15
总和中的两个数字总是原始毕达哥拉斯三角形的两边！
这里是毕达哥拉斯三角形8, 15, 17.
即使
A类		下一个
B=A+2		1/A类+1/B类海普
243/45
465/1213
687/2425
8109/4041
。。。

连续两次即使单位分数

取两个相差2的偶数，如2和4。
把它们变成单位分数：1/2和1/4
并添加它们：1/2+1/4=三/4
约化和中的两个数字总是原始毕达哥拉斯三角形的两个边！
这就是3、4、5三角形。

然而，既不使用两个赔率，也不使用两种平局生成所有基本勾股三角形，但有一种方法使用两个分数做.

这个两个分数生成勾股三元组的方法

下面是一种生成任意数量毕达哥拉斯三角形的简单方法：
方法：   示例1：   示例2：
取任意两个分数（或整数）产品为2
请注意分数没有
处于最低状态:		 1/36第4页，共2页第2页，共2页
每个分数加2：7/388/26/2
交叉相乘以将两者转换为整数 7241612
这是毕达哥拉斯三角形的两面： 7241612
要找到第三个数字，请将这两个数字的平方相加：    72+242
= 49 + 576
= 625		    162+122
= 256 + 144
= 400
…然后取平方根找到斜边： √625 =25 √400 =20
得到毕达哥拉斯三角形： 7 24 25 16 12 20

这适用于以下任意两个分数产品是2并始终生成毕达哥拉斯三角形：

从开始得到：
123 4 5
第2页，共2页
1		2
第4页，共2页		6 8 10
1/2
2/4		8/2
4		5 12 13
3/3
1		2
6/3		9 12 15
2/3三8 15 17
4/4
2/2
1		2
第4页，共2页
8/4		12 16 20
1/367 24 25
第3页，共2页4/320 21 29
1/489 40 41
事实上，所有原始的勾股三元组由两个最低形式的分数生成全部的非原始的当至少一个分数不在它的最低形式。(请参阅本页后面的内容).

这是一个用于实验的计算器，下面还有一些要研究的问题。

使用两个分数计算器生成PT

信用证
给出两个分数产品是2:
它们不必是最低形式
和
包含分数灵魂/千字节,2亿/一带有k=和
一个= 高达
b条=高达
分解非原始三元组：  使用2亿/一最低形式：
生成毕达哥拉斯三元组
可选择的

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分数		 低能
周缘		 平方和

/你做数学。。。

  1. 查找产生倍数的起始分数3 4 5:6 8 10,9 12 15,12 16,20。。。
    用这种方法不可能产生一些倍数吗？
  2. 哪个倍数5 12 13你能从两个分数生成吗？10 24 26,15 36 39,20 48 52, ...?
  3. 用代数证明两个分式方法总是从任意两个等式中产生毕达哥拉斯三角形初始编号如下，从开始
    一和c（c）2个b
    b条一
    哪里a、 b条和c（c）是整数。提示：展开（a）2+2ab+2 b2)2
    a/b+2=（a+2b）/b
    （2b）/a+2=2（a+b）/a交叉乘法：
    （a+2b）a，2（a+b）b；将每个平方并相加得到：
    （a）2+2ab+2 b2)2
  4. 找到一个需要两个分数（不是分数和整数）才能生成的三元组。
    3/2和4/3给20 21 29
  5. 生成多少对数字6 8 10?
    4 1
    2

    2 2
    2
我没有这个方法的参考，所以如果有人能帮忙，请给我发电子邮件（我的名字是链接上的详细信息本页的底部）。谢谢！

但与其说是一种方法。。。。

……有吗公式生成毕达哥拉斯三元组？

这个m、 n个生成勾股三元组的公式

200万 米2+n个2
米2–n个2
是的-我们可以通过提供两个不同的正整数m和n的值在这个图表中。你可以将这些项相乘并检查
（米2–n个2)2+（2百万牛顿）2=（米2+n个2)2
一旦我们找到了一个三元组，我们就可以通过按相同的比例放大所有边。
不是另一个的倍数的毕达哥拉斯三元组称为原始毕达哥拉斯三元组.

所以3,4,5和5,12,13是原始的毕达哥拉斯三元数组
但是6,8,10和333,444,555和2013年5月5日不是。

毕达哥拉斯的所有三元组都是由m、 n个?

坏消息是答案是“不”，但好消息是那个所有原始毕达哥拉斯三元组是由一些m、 n个值在上面的公式中！
公式使用m、 n个不会给所有三元组，因为它忽略了一些非本原的，例如9,12,15。这是一个毕达哥拉斯的三重，因为作为一个三角形，它只是3,4,5三角形（我们的意思是我们只是将3,4,5三角形乘以3，我们已经知道是直角的）。

但是9, 12, 15我们错过了m、 n个公式是因为：

我们的公式说米和n个是正整数毕达哥拉斯三连冠
米2–n个2，2毫米，米2+n个2
并且，由于我们希望三元组中的（正）整数值，那么m>n（否则三元组中的第一个数字为负数）。
这个200万value是其中一条边，也是唯一的偶数边9, 12, 15是12，所以12 = 2百万牛顿.
因此 百万牛顿=6.但是m>n，因此我们只能有两种情况：
  1. m=6具有n=1或
  2. m=3和n=2
第一个案例给出了三个35, 12, 37和第二个案例给予5、12、13，两者都不是这个9, 12, 15三倍的。
那里是生成的两个值9, 12, 15他们是m=2√2，n=√2.

事实上总是有m、 n个的值全部的个人电话但它们并不总是整数：
如果m、 n个生成a、 b、h然后g×a，g×b，g×h由生成√克m、 √（√）克n个.

米2–n个2，2毫米，米2+n个2
所有的原始的勾股三角形每个生成一次（当且仅当）m，n对中的一个是奇数，另一个是偶数。
这通常被描述为米和n个具有相反的奇偶校验.
由于三角形的所有边都是正的，所以我们还需要m> n个.

有关这一点和证明的更多信息，请参阅《数字理论导论》中的Hardy和Wright一书工具书类在这一页的底部.

下面是一张毕达哥拉斯三角形表，其较小的边最多为40：

三倍的原始的？m、 n个
3, 4, 5原始的2,1
5, 12, 13原始的3,2
6, 8, 102×3, 4, 53,1
7, 24, 25原始的4,3
8, 15, 17原始的4,1
9、12、153倍3, 4, 5–
9, 40, 41原始的5,4
10, 24, 262×5, 12, 135,1
11, 60, 61原始的6,5
12, 16, 204×3, 4, 54,2
12, 35, 37原始的6,1
13, 84, 85原始的7,6
14, 48, 502×7, 24, 257,1
15, 20, 255×3, 4, 5–
15, 36, 393×5, 12, 13–
15, 112, 113原始的8,7
16, 30, 342×8、15、175,3
16, 63, 65原始的8,1
17, 144, 145原始的9,8
18, 24, 306×3, 4, 5–
18, 80, 822×9, 40, 419,1
19, 180, 181原始的10、9
20、48、524×5, 12, 136,4
20, 99, 101原始的10,1
20, 21, 29原始的5,2
三倍的原始的？m、 n个
21, 28, 357×3, 4, 5–
21, 72, 753×7, 24, 25–
21, 220, 221原始的11,10
22, 120, 1222×11, 60, 6111,1
23, 264, 265原始的12,11
24, 32, 408×3, 4, 56,2
24, 45, 513×8, 15, 17–
24、70、742×12, 35, 377,5
24, 143, 145原始的12,1
25, 60, 655×5, 12, 13–
25, 312, 313原始的13,12
26, 168, 1702×13、84、8513,1
27、36、459×3, 4, 56,3
27, 120, 1233×9, 40, 41–
27, 364, 365原始的14,13
28, 96, 1004×7, 24, 258,6
28, 45, 53原始的7,2
28, 195, 197原始的14,1
29, 420, 421原始的15,14
30, 40, 5010×3, 4, 5–
30, 72, 786×5, 12, 13–
30, 224, 2262×15, 112, 11315，1
31, 480, 481原始的16,15
32, 60, 684×8, 15, 178,2
32, 126, 1302×16, 63, 659,7
32, 255, 257原始的16,1
三倍的原始的？m、 n个
33、44、5511×3, 4, 5–
33, 180, 1833×11, 60, 61–
33, 544, 545原始的17,16
33, 56, 65原始的7,4
34, 288, 2902×17, 144, 14517,1
35, 84, 917×5, 12, 13–
35, 120, 1255×7, 24, 25–
35, 612, 613原始的18,17
36, 48, 6012×3, 4, 5–
36, 160, 1644×9, 40, 4110,8
36、105、1113×12, 35, 37–
36, 323, 325原始的18,1
36, 77, 85原始的9,2
37, 684, 685原始的19,18
38, 360, 3622×19, 180, 18119，1
39、52、6513×3, 4, 5–
39, 252, 2553×13, 84, 85–
39, 760, 761原始的20,19
39, 80, 89原始的8,5
40, 96, 1048×5, 12, 1310,2
40, 75, 855×8, 15, 17–
40, 198, 2022×20, 99, 10111,9
40, 399, 401原始的20,1
40, 42, 582×20, 21, 297,3

使用生成PTm、 n个公式计算器

200万 米2+n个2
米2–n个2
这里有一个计算器，可以使用上面的公式计算三角形的边-只需键入在的值中米和n个. 记住，公式会找到所有基本三元组，但它会不找到所有的非犯罪分子。计算器会告诉您米和n个生成基本体原语的三元组或倍数。
或者，你可以给它一个米值或范围米值，它将向您显示它可以生成的所有三角形。
最后，给它一个毕达哥拉斯三角形，它就会测试是否有发电机米和n个或者没有。

m、 n个信用证
具有米= n个=
三角形米= 高达米=
对于答：b：小时：
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计算器: 葡萄牙？ 一/b条c（c）/d日=2 m、 n个 斐波那契 UAD树 面积/周长 概述 给定的角度 2/n单位
分数		 低能
周缘		 平方和

二分法和m，n生成元法

现在我们可以显示我们看到的两个分数方法页面前面通过识别n个具有b条和米具有a+b以找到两个起始分数。
这相当于选择一个=m–n个和b条=n个对于分数
一和2亿
b条一
以获得原始的三倍于m、 n个发电机。
如果三角形是非本原的，就说是k个乘以一个基本三角形，然后上面的替换给出了原始三角形，我们只需要乘以分数依据k个在顶部和在底部得到非原始的。

斐波那契方法

这个斐波那契数从1和2开始生成，然后使用该方法添加最新的两个以获得下一个。我们在这里使用此方法生成PT。
取任意2个数字开始斐波那契数列，例如1和三.以类似斐波那契的方式，将它们相加以生成下一个：1, 3, 4并通过以下方式再次扩展您的系列同样的规则：1, 3, 4, 7.现在可以按如下方式创建毕达哥拉斯三元组：
使用由4个数字组成的斐波那契型序列：1, 3, 4, 7:
第一段：
将中间的两个数字相乘，结果加倍：
在这里三次4是12我们加倍购买
24：毕达哥拉斯三角的第一面
第二段：
将两个外部数字相乘：
在这里1次7给予
7：毕达哥拉斯三角形的第二条边
低血压：
  1. 将中间两个数字的平方相加：
    在这里三2+4个2= 25
  2. 或来自最后两个的乘积减去前两者的乘积：
    在这里4×7 – 1×3 = 25
两者都给予
25：毕达哥拉斯三角形的斜边
所以我们找到了原始毕达哥拉斯三角形7, 24, 25.

你可以以任意两个数字开头并使用斐波那契规则：加上最近的两个得到下一个再生成两个。这四个数字将始终生成毕达哥拉斯三角形。亲自尝试或使用下面是计算器！

斐波那契数列计算器中的PT

信用证
斐波那契起始值

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分数		 低能
周缘		 平方和

斐波那契方法和m、 n个公式法

关于斐波那契方法为什么有效的解释很简单，并且与m、 n个公式法在上面:
两个中间值是米和n个的值m、 n个生成勾股三元组的公式我们看到的本页前面:
m–n，n、 米，m+n
对于这个由4个数字组成的斐波那契型数列，使用上述方法，毕达哥拉斯三角形的边为：
  1. 两倍于中间两个的乘积：2百万牛顿
  2. 外部两个值的乘积：（m–n）（m+n）=米2–n个2
  3. 内部两个值的平方和：米2+n个2
我们看到了早期的并非所有毕达哥拉斯三元组都可以通过m-n方法生成。
我们刚刚证明了斐波那契方法与该方法等价，因此四项斐波那契方法也无法产生所有三元组。
它可以生成所有原始三元组，但不能生成所有复合三元组。
让我们用斐波那契数列来计算我们的四个数字a、 b、c、d以便a+b=c，b+c=d.
然后我们有：因此，在许多方面，毕达哥拉斯三角形中重要结构的长度是使用更容易、更自然地描述四个斐波那契数列值 a、b、c、d比带有m、 n个发电机。

低血压-低血压差异

哈桑·乌兰达内（Hassan Ouramdane）于2014年11月3日给我发了一封电子邮件，告知我这种生成PT的替代方法，即斜边和一侧。
对于PTa、 b、h假设差异在一侧之间，b条说吧，和斜边小时是d日那么我们有b+d=小时.
利用毕达哥拉斯定理，我们得到：
一2+b条2=小时2 我们可以替换小时通过b+d
一2+b条2=（b+d）2 现在展开括号：
一2+b条2=b2+2个月+天2 我们看到可以减去b条2 从双方：
一2=2天+天2 右手边现在将分解
一2=d（2 b+d）
这告诉我们
腿之间的差异b条和斜边小时必须是
另一条腿的平方因子一
这为我们提供了一种简单的生成此类三角形的方法，给定PT的一侧一和一个区别d日:
  1. 找出所有因素一2那是小于一
    因为另一个因素是（2个b+d）它比d日
  2. 所有这些因素都可以作为d日.
要找到PT，其中一方是一对的每个值执行以下操作d日.
自一2=d（2个b+d）
然后
一2–d=2b条
d日
:
  1. 将给定边除以平方(一2)由d日
  2. 从结果中减去d日
  3. 如果结果是即使，除以2找到第二条腿b条
    对于某些因子，我们不会得到偶数，因此这些因子不能作为d日.
  4. 如果值是一个整数，则添加d日找到斜边小时在PT中a、 b、b+d
例如，找到一侧为12的PT：
122=144=24三2
以下因素144那是小于12是：
1, 2, 3, 4, 6, 8和9这是差异的可能值h-b=d:
依次进行：
1?
144/1 - 1 = 143我们不能除以2
2?
144/2 - 2 = 72 - 2 = 70即使如此b条= 35:
12，35，37=35+2
三?
144/3-3=48-3=45这是不均匀的。
4?
144/4 - 4 = 36 - 4 = 32即使如此b条= 16:
12, 16, 20=16+4
6?
144/6 - 6 = 24 - 6 = 18即使如此b条= 9:
12, 9, 15=9+6
8?
144/8 - 8 = 18 - 8 = 10即使如此b条= 5:
12, 5, 13=5+8
9?
144/9 - 9 = 16 - 9 = 7它不能被2整除

写下一系列三元组的简单方法

看看下面的毕达哥拉斯三元组。很容易发现图案记住它。如果你把它写下来给你的朋友看，它会的看起来你有惊人的计算能力！
21220221
2012020020201
200120020002002001
20001200020000200020001
它使用n+1对于米在公式中，然后让我们n个是10的幂。这简化了三元组成为2n+1、2n（n+1）、2n2+2n+1.

有一个计算器下面可以用来生成还有很多像这样的简单模式。
你能找到另一个像上面那样总是产生勾股三角形的简单方法吗？

勾股三元组中的模式

我们把构成直角的三角形的两边称为腿并使用字母一和b条斜边是直角对面最长的边，我们经常使用小时因为它。
两条腿和斜边是三个边三角形的，三重或三重a、b、h.

不同的作者使用不同的书写方式，例如a-b-h，但我们将使用a、 b、h在本页上。

The series of lengths of the原始勾股三角形的斜边从5、13、17、25、29、37、41开始A020882号在斯隆家整数序列在线百科全书。它会的包含65个两倍-可以是多个原始毕达哥拉斯三角形斜边的最小数字。多个原始毕达哥拉斯三角形斜边的数字序列为65, 85, 145, 185, 205, 221, 265, 305,...A024409年

上面的毕达哥拉斯三元组列表中有很多模式。从这里开始你的调查少许。

最短边和最长边是连续的

三，4,5
5,12,13
7,24,25
9,40,41
11,60,61
第一个也是最简单的毕达哥拉斯三角形是3, 4, 5三角形。列表顶部附近还有5, 12, 13.在这两种情况下最长边和斜边是连续的整数.
这里的列表显示还有更多。
你能认出这个图案吗？
克里斯·埃文斯（Chris Evans）在迪斯高中（Diss High School）的一名学生发现以下模式时：
11
三		=4
三		→3 4 (5)
22
5		=12
5		→5 12 (13)
三三
7		=24
7		→7 24 (25)
44
9		=40
9		→9 40 (41)
。。。
其中分数给出两边，斜边是分子+1

我们能找到这些三元组的公式吗？
你会注意到最小边是奇数3、5、7、9，。。所以最小的边是这样的2i+1.
其他方面，作为一个系列是4、12、24、40、60……我们能在这里找到一个公式吗？
我们注意到它们都是4:4×1，4×3，4×6，4×10，4×15的倍数。倍数序列：1, 3, 6, 10, 15,... 是三角形数字使用公式i（i+1）/2.
所以我们的第二条边是这些边的4倍，或者简单地说，就是2i（i+1）。
第三面只比第二面多一个：2i（i+1）+1, 因此，我们的公式如下：
最短边=2i+1;最长边=2i（i+1）;斜边=1+2i（i+1）
现在检查两边的平方和是否与斜边的平方相同（毕达哥拉斯定理）。
我a： 2i+1b： 2i（i+1）h=b+1
1三2×1×2=45
252×2×3=1213
三72×3×4=2425
492×4×5=4041
5112×5×6=6061
6132×6×7=8485
7152×7×8=112113
Bill Batchelor指出，两个连续边的总和为4英寸2+4个i+1这只是最小边的平方。
这为我们提供了生成这些三元组的另一种方法：

或者，让我们看看m、 n个每个三元组的值。自从斜边比腿多一个，三边没有共同的因素，所以是原始的，因此他们都有m、 n个值：

三倍的米n个
3, 4, 521
5、12、13三2
7, 24, 254三
9, 40, 4154
11, 60, 6165
很容易看出这一点m=n+1.
这个m、 n个本例中的公式给出
一个=米2–n个2= (n个+1)2–n个2= 2n个+ 1
b=2百万牛顿=2(n个+1）n个= 2n个2+ 2n个
小时=米2+n个2= (n个+1)2+n个2= 2n个2+ 2n个+ 1
所以小时是b+1（b+1）模式总是正确的：
如果m=n+1在中m、 n个公式然后它生成一个斜边=1+最长边的（原始）三元组。
这些都是吗？也许还有其他m、 n个带有腿和斜边的连续数字的值。事实上，它们都是由上述公式给出的，因为：
三角形必须是原始的，所以我们知道它们有一个m、 n个形式。
小时=米2+n个2可以是一个以上任何一个米2–n个2或2百万牛顿:我们唯一能拥有的条件是m–n=1，这是m=n+1.除了连续生成的三角形外，没有其他三角形的斜边比一条腿多一个n+1，n作为中的值m、 n个公式。

有关这些系列的更多信息：

系列4、12、24、40、60，。。。最长腿的长度[由公式给出的数字2个n（n+1）]
和5、13、25、41、61。。。[表格编号2个n（n+1）+1]也是通过这种不同寻常的平方和模式连接起来：
三2+42= 52
102+ 112+122= 132+ 142
212+ 222+ 232+242=252+ 262+ 272
362+ 372+ 382+ 392+402= 412+ 422+ 432+ 442
。。。

两条腿是连续的

也在3, 4, 5三重，三角形的两条腿一和b条是连续的，b=a+1还有这样的吗？
对！20, 21, 29.
尽管上面的列表不再包含更多内容，但还有更大的示例：
3, 4, 5     20, 21, 29     119, 120, 169     696, 697, 985
因为这两条腿是连续的数字，所以它们没有共同的因子，所以所有这些都是基本的。因此，我们可以为米和n个在中m、 n个上述公式。以下是与他们相同的列表m、 n个值：
米n个一=米2-n个2 b条=a+1=200万 小时=米2+n个2
21三45
52212029
125119120169
2912697696985
这已经表明我们可以使用发电机米和n个为一个三人组找到下一个的发电机。
看看你能不能找到这个三元组模式的方法和公式。

13岁的凯恩·约翰斯顿（Kayne Johnston）也发现了不使用这个米和n个生成器，每行仅根据前面的两行进行计算：
表中的下一行有一个最小边那就是


例如，在前两行之后，其中最小的边是三和20,下一个是620–三+ 2 = 120 –3 + 2 =119.
另一边只比最小的多一个，所以在这里120.
如果n个第个三重是秒（n）然后是公式s（n）是：
s（1）=3
s（2）=20
如果n>2，s（n）=6 s（n-1）-s（n-2）+2

你能找到一个类似的方法来计算斜边但没有在双方？

这里的系列包括：

递归公式通常根据项的索引数（n）写得更精确，因此如果我们调用系列一，通用术语为a（n）或一n个和因此，系列中的上一个术语是a（n-1）或一n-1个.
公式下学期为6×上学期–倒数第二学期+2可以写入一n个=6安n-1个–an-2个+ 2.
我们还有：贝勒（参见本页底部的参考)给出了这些三元组的公式因此第页第个三重输入这个列表是直接根据第页.

丹·西科尔斯基（Dan Sikorski）指出，连续斜边的比例趋向于3 + 2 √2.
这也得到了连分数对于该值，即[5;1,4]= 5.82842712474619它的收敛点是
5,  6,  29,  35,  169,  204,  985,  ...
11562935169

这个m、 n个连续线段三角形的值

米n个一=米2-n个2 b条=a+1=200万 小时=米2+n个2
21三45
52212029
125119120169
2912697696985
在上一节中，我们在连续腿部三角形的最小边序列中发现了递归模式。现在让我们再看看这些三角形，但要集中精力m、 n个值如下表所示：
这个m、 n个值是单个序列的连续项：1, 2, 5, 12, 29, ....
你能猜出这个系列的下一个数字吗？
这是一种与最小边类似的级数，只需要前两个数字即可计算下一个数字。这次的规则是
2次前一个加之前的那个
例如，在1, 2下一个是2×2+1 = 5.
以及之后1、2、5下一个是2×5+2 = 12,等等。将系列扩展到29我们有1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, ....

这一系列数字称为弹丸数量(A000129号).
用作m、 n个值生成所有毕达哥拉斯三角形，有连续的边，只有这些三角形。

/你做数学题。。。

  1. 对于斐波那契数，一个斐波那奇数与前一个斐波那契数之比离菲越来越近。此比率对Pell Numbers的取值是多少：1, 2, 5, 12, 29, ...?
    √2 + 1
  2. 如果你看过连分式简介然后使用CF计算器在新窗口中要回答这个问题：
    Pell数与收敛点的关系如何√2 = 1.414213562373095..?
    它们是收敛的分母：
    1/1 = 1
    3/2=1.5
    7/5 = 1.4
    17/12 = 1.4166666666666667
    41/29 = 1.4137931034482758
    99/70 = 1.4142857142857144
    239/169 = 1.4142011834319526
    。。。
    请参见A000129号

另一个侧面差异-超额

我们也可以根据PTs两条腿的不同来分类：b-a；
或者说一条腿和低腰肌的区别：h-a和h-b。
还有一个更大的区别，它有一些很好的属性：过量的.

在每个三角形中，我们必须使每对边的总和大于第三条边。
如果没有，这对边就不会相遇形成三角形，因为第三条边太大了。
在毕达哥拉斯三角形中，两条腿必须一起超过斜边，区别是称为过量的=h-（a+b）。

这个过量的告诉我们如果我们沿着直角三角形（a+b）与沿斜边A到B（h）的直接路线相反。
过量=a+b−h
我们还可以从几何上说明过量a+b−h：
  1. 沿h测量b侧（从点A开始）给我看看
  2. 取h：（h-b）的剩余部分，远离a侧给我看看
  3. a侧左边是多余部分：a-（h-b）=a+b-h=OP给我看看
从a侧开始，我们也可以这样做：
  1. 沿h测量a侧（从点B开始）给我看看
  2. 取h：（h-a）的剩余部分，远离b侧给我看看
  3. a边的左边是多余部分：b-（h-a）=a+b-h=OQ给我看看
  4. 这个多余部分是inCircle的直径给我看看
重新开始
超出部分是内圆的直径，内圆是三角形内与三条边接触的最大圆。
这是因为
图中平行于OB的直径与OA线相交，距离a为h-a+（a+b-h）/2=（h+b-a）/2
图中平行于OA的直径与OB线相交，距离b为h-b+（a+b-h）/2=（h-b+a）/2
由于这两个距离之和为h，因此它们在AB上定义了一个唯一点，即（h+b-a）/2距离a，（h-b+a）/2离b。

更多图案

毕达哥拉斯三元组中还有更多的模式！
例如有最长边和斜边的原始三角形相差2，例如8, 15, 17和12, 35, 37还有更多。这些三元组中的数学模式是什么？

另一个想法是采用公式并找到特殊情况，记住公式是这样的不生成全部的毕达哥拉斯三元组。
例如，让n=1。然后我们有三胞胎米2-1,2m，m2+1，尽管我们有使限制m> 1个斜边为正数：

n个米米2–1200万米2+1
12三45
1三8610
1415817
15241026
16351237
请注意并非所有这些都是原始的还有其他三元组的边比斜边小不在此列表中。

在毕达哥拉斯三角中，任何数字都可以是边吗？

注意，这里我们使用了术语腿、侧边、斜边如下：有两个腿和a斜边制作3个边每个的毕达哥拉斯三角。

边为n的勾股三角形数

这些序列是计数n=1、2、3，。。。在6个类别中的每一个类别中：
以便0，0，1，1，2，。。方法0n=1的三角形，0对于n=2，1对于n=3，1对于n=4，2对于n=5等。
基本体全部
作为一条腿A024361号
0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1,..		 A046079美元
0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 3,...
作为斜边 A024362美元
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0,...		 A046080型
0，0，0，0，1，0，0，0，1，0，1，0，1，0，。。。
全部的 A024363美元
0, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 2, 1,...		 A046081号
0, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 3,...
它看起来像是2后面的每四个数字，即6、10、14、18，。。。不能是基本三角形的边。
此外，你可能会猜到，数字列表中没有空格，可以是至少一个三元组的边。
这些都是真的。
那么我们问题的答案在毕达哥拉斯三角中，任何数字都可以是边吗？是是-除了数字1和2。
从上表中，我们可以列出数字本身的有序列表，这些数字可以在每个类别中显示为边。

如果我们寻找边是2的幂的三元组，我们会发现：

勾股三角形的可能边

这里列出了实际的侧面。如果给定边有多个可能的毕达哥拉斯三角形，则在这些序列中重复该边。可能边长的顺序没有重复括号中给出。
基本体全部
腿 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 13, 15, 15, 16,...
A024355号(A042965号)
这些是除那些以外的所有数字
表单的4n+2=2、6、10、14。。。		 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 14,...
A009041号
它包含每个大于2的整数
低血压 5、13、17、25、29、37、41、53、61、65、65、，。。。
A020882号(A008846号=A002144号)
这些是具有全部的他们的主要因素
表单的4n+1 		5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 25, 26,...
A009000型(A009003号)
这些是具有至少一个基本因子
表单的4n+1
塞兹 3, 4, 5, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 13, 13,...
A024357号(A042965号)
这是除了表格中的数字之外的所有数字
4n+2=2，6，10，14。。。 		3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13,...
A009070号
这个序列包括每个大于2的整数
很容易证明素数是一个独特的原始毕达哥拉斯三角形的边（感谢Alf Gunnarsson向我指出这一点）。
所有奇数都是两个平方的差，因为（n+1）2-n个2=2n+1。
2之后的所有素数都是奇数，因此它们也是两个平方的差，但这是只有一种可能，因为
米2−n个2=（m+n）（m−n）。
由于素数只有两个因子，即1和数字本身，那么m−n必须为1，并且此解决方案是唯一的。所以m=n+1，m+n是2n+1，素数。
所有原始毕达哥拉斯三角形都符合模式m2-n个2，2毫米，米2+n个2
除2以外的所有素数都是奇数，因此不能是边2mn，因此是两个正方形的差，我们刚刚展示了，这只有一种可能。
m和n生成PPT的条件是它们应该具有相反的奇偶性正如我们前面看到的带有素数支路的PPT的m，n对的形式为n+1，n。其中一个必须是奇数，另一个必须是偶数，所以m，n对n+1，n，其中2n+1是素数。
素数=
2n+1个		n个米=
素数n		幻灯片演示文件
三123,4,5
52三5,12,13
7三47,24,25
115611,60,61
136713,84,85
178917,144,145
自n+1，n生成这些PPT，第二个分支是2mn=2（n+1）n总是大于（n+1）2−n个2=2n+1对于n≥0，则素数边是最小的，第二条腿和斜边是连续的数字。
如果m=n+1且2n+1是质数，则m，n生成PPT2n+1=素数，2（n+1）n，2n2+2n+1

还有一些非素数也是一个PPT的侧面：4英寸3, 4, 5和8英寸8, 15, 17.
还有更多关于求任意数之和的平方本页稍后.

勾股三角形中的数列

其他感兴趣的系列包括：

本原三元组的图

 

我们可以用自然的方式在图上绘制毕达哥拉斯三角形作为x-y轴协调如果我们用两条腿作为坐标。
斜边就是点到原点的距离。

绘制所有勾股三角形

图表 

如果我们画出所有的毕达哥拉斯三角形，其支路最大为100我们得到的图表如下所示：

因为每个三重一个b小时是与其“反射”相同的三元组b个小时，每个三元组绘制两次，黑点的反射为红色。
突出的直线是较小勾股三角形的倍数3 4 5黑色和4 3 5红色。

如果绘制更多的三元组，则原点有更多的直线：
对于较小（原始）毕达哥拉斯三元组的倍数，点的线最密集，所以接下来我们将看到5 12 13依此类推：


绘制原始勾股三角形

图表如果我们只绘制原始毕达哥拉斯三角形，直线就会消失，其他有趣的东西就会出现。曲线更加清晰


原始勾股三角形的UAD树

UAD树
向右生长！
3 4 5U型5 12 13U型7 24 25
A类55 48 73
D类45 28 53
A类21 20 29U型39 80 89
A类119 120 169
D类77 36 85
D类15 8 17U型33 56 65
A类65 72 97
D类35 12 37
我们可以组织所有原始的三角形成为一种系谱树3 4 5.“树”向右生长，树中的每个节点正好有3个子节点，称为Up、Along和Down，或者简称为U、A和D。

每个“后代”三元组都是由“父”三元组一个b小时在它的左边如下：
例如：3 4 5
从开始a、 b、h 去向上收件人：a–2b+2h，2a–b+2h， 2a–2b+3小时 5 12 13
去沿着收件人：a+2b+2h，2a+b+2h，2a+2b+3h 21 20 29
去向下收件人：–a+2b+2h，–2a+b+2h，–2a+2b+3h 15 8 17

霍尔的文章（见本节末尾）证明了每一个基本三元组位于该树中，并且该树包含只有基本三元组。
4 3 5U型8 15 17
A类20 21 29
D类12 5 13
如果我们交换一和b条在任意三元组中然后U、A和D三个变换仍然产生相同的三个三元组但上升和下降三连胜已经在所有三连胜中都取得了领先地位两条腿一和b条也换过地方。

UAD树中的m，n生成器

m，n值
2,1U型3,2U型4,3
A类8,3
D类7、2
A类5,2U型8,5
A类12,5
D类9,2
D类4，1U型7,4
A类9,4
D类6,1
霍尔发表关于UAD树的文章20年后，其他调查人员发现有一组更简单的转换生成与Hall相同的树，但对每个三元组使用m，n生成器如下：
从带发电机的三重起动m、 n个在左边我们有：
m、 n个 去向上到 2m–n，米
去沿到2m+n，米
去向下到 m+2n，n个


UAD树计算器

对于任何原始的三倍，这个计算器会
信用证

 一: b条: 小时:

R E S U L T S公司


 
计算器: 葡萄牙？ 一/b条c（c）/d日=2 m、 n个 斐波那契 UAD树 面积/周长 概述 给定角度 2/n单位
分数		 低能
周缘		 平方和

/你做数学题。。。

  1. 找到具有连续腿的三元组的路径：20 2129,119 120169。。。
  2. 什么样的路径将我们带到斜边大于一条腿的三元组：三4 5,52013年12月, 724 25。。。？
  3. 什么属性具有所有带路径的三元组D、 DD、DDD、DDDD。。。。?
  4. 从树上的任意三元组中，哪个分支上是另一个具有相同的差异
    1. 斜边h和边b？
    2. 斜边h和边a？
    3. a侧和b侧？

其他三角形属性

周长

3,4,5三角形如果我有一条长度为n的字符串，如果边的长度为整数，我可以从中生成多少直角三角形？此处的图表显示了绳索长度为3+4+5=12时的唯一配置。绳子的长度是三角形。

这个周长三角形的一个b小时是边的长度之和a+b+h.因为毕达哥拉斯三角形的边是整数，所以周长也是整数。

您可以使用计算器（在新窗口中打开）找到最长边达100的所有毕达哥拉斯三角形，以及周长P（P）及其面积A类:

所有毕达哥拉斯三连体，边长不超过100
按斜边（最长边）的顺序排列的：
具有P（P）埃里米（a+b+h）
三人一组原始？周长
3, 4, 5原始的12
6, 8, 102×3, 4, 524
5, 12, 13原始的30
9, 12, 153×3、4、536
8、15、17原始的40
12, 16, 204×3、4、548
15, 20, 255×3, 4, 560
7, 24, 25原始的56
10, 24, 262×5, 12, 1360
20, 21, 29原始的70
18, 24, 306×3, 4, 572
16, 30, 342×8, 15, 1780
21, 28, 357×3, 4, 584
12, 35, 37原始的84
15, 36, 393×5, 12, 1390
24, 32, 408×3, 4, 596
9, 40, 41原始的90
三人一组原始人？周长
27, 36, 459×3, 4, 5108
30, 40, 5010×3, 4, 5120
14, 48, 502×7, 24, 25112
24, 45, 513倍8、15、17120
20, 48, 524×5, 12, 13120
28, 45, 53原始的126
33, 44, 5511×3, 4, 5132
40, 42, 582×20, 21, 29140
36, 48, 6012×3, 4, 5144
11, 60, 61原始的132
39, 52, 6513×3, 4, 5156
25, 60, 655×5, 12, 13150
33, 56, 65原始的154
16, 63, 65原始的144
32, 60, 684×8, 15, 17160
42, 56, 7014倍3, 4, 5168
48, 55, 73原始的176
三人一组原始？周长
24, 70, 742×12, 35, 37168
45, 60, 7515×3, 4, 5180
21、72、753倍7, 24, 25168
30, 72, 786×5, 12, 13180
48, 64, 8016×3, 4, 5192
18, 80, 822×9, 40, 41180
51, 68, 8517×3, 4, 5204
40, 75, 855×8, 15, 17200
36, 77, 85原始的198
13, 84, 85原始的182
60, 63, 873×20, 21, 29210
39, 80, 89原始的208
54, 72, 9018×3, 4, 5216
35, 84, 917倍5, 12, 13210
57, 76, 9519×3, 4, 5228
65, 72, 97原始的234
60, 80, 10020×3, 4, 5240
28, 96, 1004×7、24、25224
等围勾股三角形

几乎所有与其他三角形共享一个周长的三角形都是非本原三角形。
对于本原勾股三角形我们得到了完全不同的结果。
第一个原始的具有相同周长的勾股三角形为195, 748, 773和364、627、725周长为1716. 下一个这样的周长是2652, 3876, 3960, ...A024408号我们必须到达14280在我们找到三个具有相同周长的原始三角形之前：119, 7080, 7081和168, 7055, 7057和3255, 5032, 5993.下一个周长是72930对于2992, 34905, 35033和7905, 32032, 32993和18480, 24089, 30361.另请参见

面积

这个地区毕达哥拉斯三角a、 b、h只是两条腿的一半（形成直角的边）ab公司/2.

由于我们将三角形两条腿的乘积减半，我们可以问：

毕达哥拉斯三角形的面积总是整数吗？
如果我们可以在毕达哥拉斯三角形中有两条奇怪的腿，那么答案是否定的。
真正的答案总是“是”，因为：
从m、 n个公式上面，一侧是200万if原语或者，如果不是原始的，那么它是多重的，所以总是有一个是偶数的。

在上表中3 4 5是唯一一个面积小于周长的三角形。

我们可以找到两个周长等于其面积的三元组：
6 8 10有P=24和A=24和5 12 13有P=30和A=30（原语）

面积为周长两倍的三角形为：
12 16 20有P=48和A=96
10 24 36有P=60和A=120
9 40 41有P=90和A=180（原语）

所有毕达哥拉斯三连体，边长不超过100
按斜边（最长边）的顺序排列：
具有A类雷阿ab公司/2
三人一组原始？面积
3, 4, 5原始的6
6, 8, 102×3, 4, 524
5, 12, 13原始的30
9, 12, 153倍3, 4, 554
8, 15, 17原始的60
12, 16, 204×3, 4, 596
15, 20, 255×3, 4, 5150
7, 24, 25原始的84
10, 24, 262×5、12、13120
20、21、29原始的210
18, 24, 306×3, 4, 5216
16、30、342×8, 15, 17240
21, 28, 357×3, 4, 5294
12, 35, 37原始的210
15, 36, 393×5, 12, 13270
24, 32, 408×3, 4, 5384
9, 40, 41原始的180
三人一组原始？面积
27, 36, 459×3, 4, 5486
30, 40, 5010×3, 4, 5600
14, 48, 502×7, 24, 25336
24, 45, 513倍8, 15, 17540
20, 48, 524×5, 12, 13480
28, 45, 53原始的630
33, 44, 5511×3, 4, 5726
40, 42, 582×20、21、29840
36、48、6012×3, 4, 5864
11, 60, 61原始的330
39, 52, 6513×3, 4, 51014
25, 60, 655×5, 12, 13750
33, 56, 65原始的924
16, 63, 65原始的504
32, 60, 684×8, 15, 17960
42, 56, 7014×3, 4, 51176
48, 55, 73原始的1320
三人一组原始？面积
24, 70, 742×12, 35, 37840
45, 60, 7515×3、4、51350
21, 72, 753×7, 24, 25756
30, 72, 786×5, 12, 131080
48, 64, 8016×3, 4, 51536
18, 80, 822×9、40、41720
51、68、8517×3, 4, 51734
40, 75, 855×8, 15, 171500
36, 77, 85原始的1386
13, 84, 85原始的546
60, 63, 873×20, 21, 291890
39, 80, 89原始的1560
54, 72, 9018×3, 4, 51944
35, 84, 917×5, 12, 131470
57, 76, 9519×3, 4, 52166
65, 72, 97原始的2340
60, 80, 10020×3、4、52400
28, 96, 1004×7, 24, 251344
可能的地区勾股三角形的6,24,30,54,60,84,96,...(A009112号)
Mohanty和Mohanty（见下一段中的参考）称之为毕达哥拉斯数.
基本三角形的面积为6,30,60,84,180,...(A024365美元)
他们称之为本原毕达哥拉斯数.
他们也证明了

/你做数学题。。。

这个本页后面的计算器（在新窗口中打开）对以下方面很有用。
  1. *对于哪个n，总是有一个面积为n乘以周长的毕达哥拉斯三角形？
  2. *其中n总是有一个原始的面积n乘以周长的毕达哥拉斯三角形？
  3. 找到两个面积相同的毕达哥拉斯三角形。[用检查您的答案A009127号.]
  4. 找出两个毕达哥拉斯三角形共有的前几个区域。
    [提示：中的数字A009127号将有助于解决此问题和接下来的两个问题。]
  5. 找到三个面积相同的毕达哥拉斯三角形。
  6. 四个怎么样？
  7. 2、3、4…的最小公共面积是多少。。。勾股三角形？
    [用检查您的答案A094805型]
  8. 3,4,5三环如果我有一条长度为12的字符串，我只能从中生成一个毕达哥拉斯三角形，即3,4,5.
    如果字符串长度为24，那么也只有一个毕达哥拉斯三角形。
    如果存在，那么从12、24开始的字符串长度序列如何继续是一个独特的那个周长的勾股三角？
  9. 一根长60的绳子给我两个周长为60的可能三角形。它们是什么？
  10. 我们刚刚看到，可以作为一个毕达哥拉斯三角形周长的字符串的最小长度是12。
    只有两个三角形的最小长度是多少？三个怎么样？还有四个？
    [用检查您的答案A098714号]
  11. 求面积为2×3×4，3×4×5，4×5×6。。。i（i+1）（i+2）, 使用本页后面的计算器。您可以输入区域，例如3*4*5。
    你注意到了什么m、 n个为每个值生成值？证明你的猜想在一般情况下是正确的。
*1和2的答案见：

面积与周长之比

在上表我们列出了一些毕达哥拉斯三角形及其周长和面积。
对于3, 4, 5如果我们把它扩大一个因子k个我们有
3公里、4公里、5公里，周长P=12 k和面积A=6千2所以那个A/P=k/2因此，我们可以找到一个任意整数（任意奇数的一半）为比率的三角形代付费.
看到这一点，情况就更容易解释了
在毕达哥拉斯三角中a、 b、h围挡a+b+h总是一个因素a b类.
Alfred和Dominic Vella在他们的在线文章中证明了这一点勾股三角形的更多性质.由于该区域a b/2号机组然后我们总是会找到整数和面积与周长之比的一半。

始终至少有一个勾股三角形具有任何给定的整数比。我们将在下面进行演示。

牛津大学（英国）的保罗·克利里（Paul Cleary）于2013年10月写信给我说，只有6个毕达哥拉斯三角形a给定质数作为比率代付费。似乎总有6个以上当比率为5或更多的复合数时。
例如，对于高达8的比率，我们只有以下PT：

a/P比为1到8的所有勾股三角形
PT=g×PPT克幻灯片演示文件m、 第n页，共页A类P（P）代付费
5, 12, 1315, 12, 133, 230301
6, 8, 1023, 4, 52, 12424
9, 40, 4119, 40, 415, 4180902
10、24、2625、12、133, 212060
12, 16, 2043, 4, 52, 19648
13, 84, 85113, 84, 857, 6546182三
14, 48, 5027, 24, 254, 3336112
15, 36, 39三5, 12, 133, 227090
16, 30, 3428, 15, 174, 124080
18, 24, 3063, 4, 52, 121672
20, 21, 29120, 21, 295, 221070
17, 144, 145117, 144, 1459, 812243064
18, 80, 8229, 40, 415, 4720180
20, 48, 5245, 12, 133, 2480120
24, 32, 4083, 4, 52, 138496
21, 220, 2211212022111、1023104625
22, 120, 122211, 60, 616, 51320264
24, 70, 74212, 35, 376, 1840168
25, 60, 6555, 12, 133, 2750150
28, 45, 53128, 45, 537, 2630126
30, 40, 50103, 4, 52, 1600120
25, 312, 313125, 312, 31313, 1239006506
26, 168, 170213, 84, 857, 62184364
27, 120, 123三9、40、415, 41620270
28, 96, 10047, 24, 254, 31344224
30, 72, 7865, 12, 133, 21080180
32, 60, 6848, 15, 174, 1960160
33、56、65133、56、657, 4924154
36, 48, 60123, 4, 52, 1864144
60, 32, 6848, 15, 174, 1960160
29, 420, 421129, 420, 42115, 1460908707
30, 224, 226215, 112, 1138, 73360480
32, 126, 130216, 63, 658, 12016288
35, 84, 9175, 12, 133, 21470210
36, 77, 85136, 77, 859, 21386198
42、56、70143, 4, 52, 11176168
33, 544, 545133, 544, 54517, 16897611228
34, 288, 290217, 144, 1459, 84896612
3616016449, 40, 415, 42880360
40, 96, 10485, 12, 133, 21920240
48, 64, 80163, 4, 52, 11536192
面积/周长比为k的PT数量的计数为：
2, 3, 6, 4, 6, 9, 6, 5, 10, 9, 6, ...A156688号

对于比率k=8只有5个PT，但对于所有较大的比率，都有至少6个PT。
一个小小的代数会告诉你以下6个勾股三角形都有一个比率A/P=k对于任何值k个如果k> 8个:

6个A/P=k的勾股三角形
PT公司周长克PT/g=PPTm、 PPT为n
6公里、8公里、10公里24公里2公里3,4,52, 1
5公里、12公里、13公里30公里k个5,12,133, 2
8+4k、4k+k2，8+4k+k216+12k+2k2 如果k=4K±1，则为1
如果k=4K+2，则为4
如果k=4K，则为8		 相同的
3+8K+4K24+4K、5+8K+4K2
1+2K、2K+2K2，1+2 K+2K2		 k+2、2
2K+1，1
K+1，K
4+4k、4k+2k2，4+4k+2k28+12k+4k2 如果k=2K，则为4
如果k=2K+1，则为2		 1+2K、2K+2K2，1+2K+2K2
3+8K+42K2，4+4K，5+8K+42K2		 K+1，K
k+1，1
2+4k、4k+4k2，2+4k+4k2 4+12k+8k2 2 1+2k、2k+2k2，1+2k+2k2 k–1，k
1+4k，4k+8 k2，1+4k+8k22+12k+16k2 1相同的2k+1，2k
这些数字还隐藏了另一种模式。如果我们允许A/P=k
我们看到了在上面那个将军PT为d日可以使用m、 n个公式从而：
一般PT是
一=d（米2–n个2),
b条=d 2 m n，
小时=d（米2+n个2)
面积=k= a b类=d日（m–n）n
周长2（a+b+h）2
一点代数就能证明（a-4k）（b-4k）=8k2
这导致了Paul Cleary发现了一个很好的算法用于计算给定比率的所有PTk个:例如，让我们找到那些具有k=5
因素对8千2= 8×25 = 200是 1,2002, 1004, 505, 408, 2510, 20
添加4k=20对于每个因素：
这是所有6名PTs的腿k=5		 21,22022,12024,7025,6028,4530,40
低血压22112274655350
现在我们可以看到，正如保罗·克利里发现的那样
当比率为k个是质数。
以下因素8千2则只有6对：1×8k2, 2×4k2, 4×2k2, 8×k2, k×8k2k×4k
如果k=1、2、4或8那么其中一些将是重复的。

的数量原始的A/P比为1的勾股三角形如下所示：
1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, .....A068068号

使用给定的面积/周长比计算器查找PT

C A L C U L A T O R公司

 具有面积/周长比的勾股线三元组 高达

R E S U L T S公司


 
计算器: 葡萄牙？ 一/b条c（c）/d日=2 m、 n个 斐波那契 UAD树 区域/周边 概述 给定角度 2/n单位
分数		 低能
周缘		 平方和

海拔和互反勾股定理！

abH公司在这个有边的直角三角形中a、 b、h, 我们从垂直于斜边，长度H（H）如果三角形的底是斜边，那么这就是它的高度所以三角形的面积是小时/2.
因此，两个较小的三角形与原始三角形相似（形状相同但大小不同）因为原图的三个角是两个较小三角形中相同的三个角度。
所以斜边与长边之比在所有这些三角形中也是相同的。

在最小的三角形中，这是a/H公司和在原始（最大）三角形小时/分钟所以我们有：
a/H=H/b
和，除以一我们有：
1/H=H/（a b）
平方我们有：
1/H（1/H）2=小时2/（a）2b条2)
但毕达哥拉斯定理告诉我们一2+b条2=小时2 所以我们有
1/H（1/H）2=（a）2+b2)/（a）2b条2)
或
1=1+1
H（H）2一2b条2
我们可以称之为互易勾股定理！
我们还表明
H（H）=2区域=ab公司
小时小时
H通常不是整数，但它将用于非本原毕达哥拉斯三角形h×（a，b，h）=（ha，hb，h）2)什么时候H=ab.

三面产品

周长是三条边的总和a+b+h. 他们的产品怎么样a×b×h?
这个数字是就三角形而言，似乎没有任何几何或实际意义但从数学角度来看，这很有趣。

一些小毕达哥拉斯三角形三条边的乘积为：

副产品列表按以下顺序开始：
60, 480, 780, 1620, 2040, 3840, 4200, ...(A057096号).

在每一个毕达哥拉斯三角中，以下六个事实总是正确的：

  1. 一边是3的倍数
  2. 一边是4的倍数
  3. 所以两条腿的乘积总是12的倍数
  4. 因此面积总是6的倍数
  5. 一边是5的倍数
  6. 所以三个面的乘积总是3×4×5=60的倍数
因此，如果我们将边-积除以60，我们就得到了1,8,13,27,34,64,70,104,125,...(A057097号).
本系列包含所有多维数据集1三＝1时，2三=8, 3三=27, ...

如果我们限制自己只原始的三角形，副产品的有序列表为：
60, 780, 2040, 4200, 12180, 14760, 15540,...(A063011型)
作为60的倍数的级数是
1, 13, 34, 70, 203, 246, ...(A081752号)

这是一个“开放性问题”（我们不知道答案是“是”还是“否”）订购的系列产品全部的毕达哥拉斯三角形中有一个重复项或者如果所有产品都是独一无二的：-

内圆和内半径

首先我们找到三个简单的内半径公式，第页一个直角三角形。那么我们会的看看如何找到具有给定内径的毕达哥拉斯三角形，以及如何计算三角形的数量。

Inradius的三个公式

内圆三角形


我们可以画一个接触任何三角形所有三条边的圆，称为内圆半径为半径（inradius）通常表示为第页并将向心.
从圆的对称性来看，从圆的中心到三角形的每个顶点的一条直线将使三角形中的角度。

从中心到顶点的线（如所示（此处为灰色）将三角形分为三个较小的三角形，每个都相同高度，第页在整个三角形一侧的底面上。
三角形的面积是三角形底面的一半乘以其高度。因此，这三个单独的区域加起来就是整个区域：

面积=一第页+b条第页 +c（c）第页=ra+b+c
2222
三角形的边之和是它的长度周长和，因为我们在公式中把周长减半了我们经常用半周长来表示秒:
地区=半径（inradius）×半周长=第页秒
我们现在有一个简单的半径公式，第页，对于任何三角形：
第页 =  2地区============================================================地区
周长半周长

直角三角形内切圆在直角三角形中，面积仅为两条腿乘积的一半，a b类/2或2面积=a b所以公式第页更简单：
第页= a b类
a+b+h
由于所有基本直角勾股三角形都可以使用m、 n个那么，就米和n个我们有
第页 = （米2–n个2)200万 = （米2–n个2)200万 = （m–n）（m+n）2mn = （m–n）n
米2–n个2+2毫米+米2+n个2200万2+200万2米（米+牛）

第页=（m–n）n


所以我们在原始直角三角形中有内半径，第页因此是始终为整数因为米和n个是。
非有限三角形只是基本体的倍数，所以它们的内半径也是一个整数。因此：

在所有勾股三角形中半径（inradius）是一个整数

还有一个更简单的公式第页:
因为我们有一个直角三角形，我们可以把两条腿分开进入之内
a–第页和第页在a面和
b–第页和第页在b侧。
这些长度a–第页和b–第页在AB斜边的两个部分上重复，实际上一起构成了整个斜边所以我们有

h=（a–第页)+（b–第页)
我们可以重新安排以找到新的表达式第页:
第页=  a+b–h
2

这也表明过量的=（a+b）-h，其中我们早些时候见过，是2第页所以多余的（a+b）−h是内圆的直径.
现在检查一下第页=（m–n）n通过将值替换为a、 b、h来自m、 n个刚刚找到的公式中的生成器公式第页.

以下两个公式第页就侧面而言a、 b、h为中国数学家所知，刘辉（大约日期：220-280），他在263年的评论中写到了这些关于一个更古老的数学著作数学艺术九章甚至可以追溯到公元前1000年！

求给定Inradius的勾股三角形

下面是一些内半径较小的毕达哥拉斯三角形第页:
基本体
三倍的周长面积第页
3,4,51261
5,12,1330302
7,24,255684三
8,15,174060三
9、40、41901804
11、60、611323305
12,35,37842105
13,84,851825466
20,21,29702106
非限制性
三倍的的倍数周长面积第页
6,8,102×3,4,524242
9,12,153倍3,4,53654三
12,16,204×3,4,548964
10,24,262×5,12,13601204
15,20,255×3,4,5601505
18,24,306×3,4,5722166
15,36,393×5,12,13902706
14,48,502×7、24、251123366
16,30,342×15,8,17802406
从表中可以看出，毕达哥拉斯三角形的半径为r=1为1，对于r=2它是2，r=3有3个r=4和r=5但是r=6有6个三元组，依此类推。这一系列计数：1, 2, 3, 3, 3, 6, ... 是A078644号.
对于基本三角形，我们有计数1, 1, 2, 1, 2, 2, ... 整个系列是A068068号.

这个3 4 5三角形的半径为1如果我们扩大规模按系数计算第页, 它的半径将变成第页也。
我们刚刚展示了非原始的勾股三角形半径（inradius）第页对于所有整数r≥2.
不太明显的是原始的每个的勾股三角形半径（inradius）第页.
然而，如果你仔细看上表，你会发现本原勾股三角形具有特定图案对于每个半径r=1到6,这应该会给你提供你需要证明的线索有总是原始毕达哥拉斯三角形内径=k对于每个整数k。[提示：您已经已经看到了模式]

所以我们有了答案：

有一个原始的和非原始的毕达哥拉斯三角形，其中有inradius第页对于任何整数r≥2

另一个奇怪的事实是，实际上有两个原始的具有给定内径的勾股三角形首要的数量>2。
例如，这里包含了奇数以帮助指出模式。。。

r=37 24 25 8 15 17
r=511 60 6112 35 37
r=715 112 11316 63 65
r=919 180 18120 99 101
r=1123 264 26524 143 145
r=1327 364 36528 195 197
r=1531 480 48132 255 257 和2其他39 80 89和48 55 73
r=1735 612 61336 323 325
。。。。。。。。。

/你做数学题。。。

这个本页后面的计算器（在新窗口中打开）对以下方面很有用。
  1. 你能认出这两种模式吗？每列三元组的公式是什么？
    因此，你已经表明至少两个毕达哥拉斯三元组每个奇数第页.
  2. 查找m、 n个上表中两个基本三角形的生成器
  3. 你能把上面的两个三角形分别表示出来吗首要的 第页都是原始的吗？
  4. 找出半径为的奇数多于2个基本体三角形
  5. 对于哪个奇数第页上面是原始毕达哥拉斯三角形只有两个?
  6. 这两种模式都适用于即使半径（inradius）第页?
所有这些问题的完整答案将在下一节中给出数学的乐趣在于试图自己证明这些东西。

给定Inradius有多少个基本勾股三角形？

我们在上面的“谜题”部分中看到，对于以半径表示的奇数，总是至少有两个原始毕达哥拉斯三角形。

内径从1到100的原始毕达哥拉斯三角形的数量如下，其中奇数在中红色素数在蓝色:

1, 1,2, 1,2，2，2, 1,2, 2,2, 2,2, 2,4, 1,2, 2,2, 2,
4, 2,2, 2,2, 2,2，2，2，4，2, 1,4, 2,4，2，2, 2,4, 2,
2, 4,2, 2,4, 2,2, 2,2, 2,4, 2,2, 2,4, 2,4, 2,2, 4,
2, 2,4, 1,4, 4,2, 2,4, 4,2, 2,2, 2,4, 2,4, 4,2, 2,
2，2，2, 4,4, 2,4, 2,2, 4,4, 2,4, 2,4, 2,2, 2,4, 2,
我们看到了所有首要的inradii只有2个基本三角形可能性1之后至少有2个。
它们都是1、2还是4？进一步调查表明有8个半径为105和165，下一个新值为16。
内维尔·罗宾斯给出了精确的公式T（r）对于的数量原始毕达哥拉斯三角形带半径r≥2作为：
T型(第页) = 2（不同素因子的数量第页)，如果第页很奇怪
T型(第页) = 2（不同素因子的数量第页) – 1，如果第页是偶数

对于偶数，我们只需忽略因子2，只计算其他素因子。
例子：r=105
105 = 3 × 5 × 7三个不同的主要因素告诉我们2三=8个基本勾股三角形与inradius105.
例子：r=45
45 = 3 × 3 × 5所以它有2主要因素：三和5.
数字具有内半径的原始毕达哥拉斯三角形45是T型(45) = 22= 4.他们是91, 4140, 4141;140, 171, 221;92、2115、2117和115、252、277.
例子：r=32
32= 2 × 2 × 2 × 2 × 2, 所以32没有奇素因子T型(32) = 20 = 1.

/你做数学题。。。

这个本页后面的计算器（在新窗口中打开）对以下方面很有用。
  1. 16个原始毕达哥拉斯三角形的最小半径是多少？
  2. 唯一的数字第页哪里T型(第页) = 1（数字第页哪一个是inradii的一原始毕达哥拉斯三角形）是数字第页=2的幂。
    它们是哪些原始毕达哥拉斯三角形？

最小的第页发生在n个原始毕达哥拉斯三角形是1（1个三角形）、3（2个三角形）和15（3个三角形），整个序列从1、3、15、105、1155……开始。。。A070826号.
如果我们将这些数字因式分解，我们会得到1，3，3×5，3×5x7，3×5-7×11。。。在1之后，它只是第一个n–1个连续的奇数素数。

每当我们看到二次幂的事物计数时，我们通常会发现计数的事物是套其中每个项目可以独立在集合中，也可以不在集合中。

例如，有8个篮子（套）如果我们可以选择包括三片水果，我们可以做水果：一个苹果，一个桔子和一个梨。2三给出了8个可能的集合（篮子），其中也包括空集合：
{}
具有给定内半径的勾股三角形数第页取决于素数，这些素数是第页.

外圆

3个外圆除了内圆和外接圆任意三角形又定义了三个三角形。
这些是三角形外的圆圈当延伸为切线时，具有所有三条边，称为外圆.
如果这三个圆的半径被称为第页一，第个b条和第页b条如果内圆的半径是第页那么这四个都是由公式：
1+1+1=1
------------
第页一第页b条第页c（c）第页
我们也有这4个半径和面积之间的关系A类:
第页第页一第页b条第页c（c）=A类2
此外，如果三角形的边是整数，那么外圆半径（外半径）也是整数！
特别是，对于由m、 n个，这三个半径是：
n（m+n）、m（m–n）和m（m+n）
这证明它们是整数，因为米和n个是。


连接顶点的外接圆

外接圆内圆和三个外圆相接触所有三面但是这个外接圆触摸所有三个顶点.它中心与所有三个顶点等距，在直角三角形中，位于斜边的中点因为该点与斜边两端的距离相等，通过对称或几何参数，该点与另一个直角顶点的距离相同。
内圆的半径称为内半径，并用第页（如上所述）；
外接圆的半径称为外半径并表示R（右）.

因此，只有当斜边是偶数时，毕达哥拉斯三角形的外接圆才是整数

从中心线内圆将每个角分成两个角。
从中心线外接圆垂直于每一侧将这些侧分成两部分。


一个更通用的勾股三重计算器

这个计算器将为您找到毕达哥拉斯三元组，无论是基本的还是所有的具有固定值或在给定值范围内的任何边的组合。你可以找到真正的三元组，否则就数一数找到的号码。
如果给定一个值范围，则可以计算该范围内的总数(的总数).
如果您选择，则会为范围内的每个值提供一个单独的计数单独计数.
尺寸给出了范围内的这些值的列表请求的三角形类型（全部或基本）存在。值为相同大小的不同三元组重复。
例如全部的（原始和非原始）三角形斜边=20高达30:

由于存在无限多具有任意给定边差的PT-请参阅上面的低血压和最长腿是连续的和两条腿是连续的-这些选项用∞符号和将出现一个额外的输入框差异搜索以限制搜索达到给定的最大边长。
尺寸报告请求的侧面|周长|面积|半径的大小给定范围，因此如果在超过一个三元组，每个单独的三元组报告一次。
全部显示列出了找到的所有三元组，但如果只需要一个示例使用显示一个.
这个结果打印在“结果”框中，给出三元组及其面积，周长和半径。从该区域选择并复制以使用输出作为文本或在其他应用程序中。

通用毕达哥拉斯计算器

这是一个毕达哥拉斯所有事物的生成器，它可以搜索三角形边上的各种条件，并且有一些在某些情况下，计数算法非常快速。
信用证
腿是a和b，斜线是h





  勾股三角形
=
高达

R E S U L T S公司


 

计算器: 葡萄牙？ 一/b条c（c）/d日=2 m、 n个 斐波那契 UAD树 区域/周边 概述 给定的角度 2/n单位
分数		 低能
周缘		 平方和

毕达哥拉斯角

我们现在将注意力从侧面转向勾股三角形中的角.
我们可以称毕达哥拉斯三角形中的一个角（不是直角）毕达哥拉斯角.由于三角形有整数边，因此这些角有正弦、余弦和正切纯分数（“有理”）。
我们可以从任意分数开始，比如2/3，作为角度的切线α并使用它生成毕达哥拉斯三角形2α作为一个角度使用公式
tan 2α=  2 tanα
1–棕褐色2α
所以tanα=2/三给予tan 2α=5/12因此，生成的毕达哥拉斯三角形有五条腿、十二条腿和十三条斜边。
如果tanα=n个/米然后tan 2α=2mn/（m2–n个2).
tanα=n个/米当且仅当tan 2α=2mn/（m2–n个2).
此外，如果α和β毕达哥拉斯角也是α + β和α – β.
如果α和β是毕达哥拉斯角，然后让tan（α）=n个和tan（β）=N个
米M（M）
然后
tan（α+β）=n M+M n
m m–n n
tan（α-β）=n M–M n
m m+n n

求近似给定角度的勾股三角形

我们能找到一个给定角度的毕达哥拉斯三角形吗？有时，对于较小的数字，这可能是不可能的但我们总能找到一些带角的勾股三角形几乎等于你需要的任何角度。

这是一个计算器，可以找到一个与给定角度越来越接近的基本三角形。它只生成原始三角形，因为它的所有倍数都有相同的角度，但边更大。

你可以使用圆周率在输入框中，例如用于角度π/三（弧度）。
如果你想要毕达哥拉斯三角形具有特定的侧面比例，例如。1/三，然后使用函数求给定正弦、余弦或正切的角度.
这些被称为反三角函数反正弦、反余弦和反正切通常缩写为asin、acos和阿坦给定since，余弦或正切，将相关角度作为一个小正数。
除了最基本的计算器外，所有计算器上都有这些反函数的按钮：

三   5
4
例如，所有这些都描述了3 4 5三角形，但不要忘记它们都以弧度表示角度不是度:
记得正弦和余弦在范围-1到1所以asin（15/8）给出错误
以上所有内容都会发现3, 4, 5三倍于意愿asin（4/5）、acos（3/5）、atan（4/3）.如果使用弧度测量，计算会稍微准确一些。

事实证明，只有合理圈数的角度和这是毕达哥拉斯三角形中的角（即它们的正弦和余弦也是理性的）是在学校遇到的：
30°=1/10转弯和60°=1/5转动它们的正弦和余弦分别是sin（30°）=cos（60°）=1/2以及0°90°和180°。
所以所有合理的圈数都必须近似为毕达哥拉斯三角形中的一个角。下面的计算器将显示这些近似值。

使用给定的角度计算器查找勾股三角形

信用证
角度为
一: b条: 小时:

R E S U L T S公司


 
计算器: 葡萄牙？ 一/b条×c（c）/d日=2 m、 n个 斐波那契 UAD树 区域/周边 概述 给定角度 2/n单位
分数		 低能
边缘		 平方和

进一步的三重模式

这个上面的勾股三角角计算器还发现了一些有趣的数字模式。
例如，有没有45°角的毕达哥拉斯三角形（在“……角”框中键入45，确保度打开，然后单击查找按钮）如果我们要求计算器找出近似值它发现腿的序列与我们的不同在上面找到.
如果我们在系列例如0.1、0.01和0.001弧度的角度，我们发现了两个系列易于记忆和视觉冲击的图案如中所示写下三元组系列以上：
39940401 18019181
39999400400011980019919801
399999940004000001199800019991998001
3999999994000040000000119998000019999199980001
用0.2、0.02、0.002弧度试试，你会发现至少还有两个弧度这样的图案！
409419920101
4900994901999920010001
49900099949900199999920001000001
499900009999499900019999999920000100000001
这里也有更复杂的模式：
885011794090301 -
899850001179994009000300014469304008939801447019801
8999985000001179999940009000003000001449699300400089939980014497001998001
对于0.3、0.03和0.003，前四个近似值中有模式：
1251324725
21126521132244672245
221112665221113222444667222445
2221111266652221111322224444666722224445

532165557391120409
5543216655545739991120040009
55544321666555544573999991120004000009
555544432166665555544457399999991120000400000009

最后一个系列中的第一个三元组是模式其余部分建议的三元组。确实如此毕达哥拉斯三元组——用测试一个三角形——它是勾股吗？上面的计算器。

角度0.4、0.04、0.004和0.0004弧度系列产生：

12513241026
120049120124991002501
1245004991245012499991000250001
12495000499912495001249999991000025000001
0.5弧度序列给出：
-15817
760397611599801601
7960039979601159999800160001
79960003999799600115999999800016000001
以0.6弧度及其十分之一：
4三59160109
54433545999160010009
554443335544599999160001000009
5554444333355544459999999160000100000009

380261461
54368003266015446601
5544366800033266600155444666001
555444366680000333266660001555444466660001

0.7弧度似乎只给出了一个简单的图案：
351280449
39951280040049
3999951280004000049
399999951280000400000049
但0.8给出了两个结果：
-62450626
31000249310016249950062501
312250024993122501624999950006250001
3124750002499931247500162499999950000625000001
0.9给出几个：
4三5三45
220212212642326548344485
244202212442124864223248654928344449285
246642022212466421247086422232470865493728344444937285
246886420222212468864212469308642222324693086549381728344444493817285

202129485573319360481
224020122496148555617339919360040081
222440200122244961714855556171733999919360004000081
222244402000122224449617271485555561727173399999919360000400000081
222224444020000122222444496172827148555555617282717339999999919360000040000000081
0.010将再次给出上面对于0.1的第一个例子。
但是，一定要使用上面的计算器并重复实验。这次你可能至少会注意到还有两个图案系列可添加到您的系列中！0.11、0.011、0.0011……怎么样。。。
然后0.12、0.012、0.0012。。。
等等？
也可以尝试2/3、2/30、2/300等（计算器将表达式作为输入处理）也可以输入为0.6666、0.06666、0.006666等。它有一个特别简单的模式。
您也可以使用任何其他（小）数字序列生成十进制。记住，最大角度是90°，即1.57079632679489弧度。

上面这些模式如此“明显”的原因是我们的数字以10为基数每次角度都是十分之一大。
一个有趣的数学项目是为每个系列寻找公式。然后很容易验证系列中的所有三元组都是毕达哥拉斯的将两条腿的正方形相加，并检查其是否等于斜边上的正方形。
您甚至可以找到包含以上几个系列的公式。

你还能找到什么？
按本页底部的地址给我发电子邮件我会加上你找到的任何有趣的三元组序列，还有你的名字。

奇怪的联系

本节探讨毕达哥拉斯三角形和其他数学主题。它们出现的地方有时非常令人惊讶！

这个3 4 5以一种不同寻常的方式进行三重训练

圆半径3和半径4和5之间的环这是一个圆和一个圆心相同的环。圆盘的半径为3，环位于半径为4和5的圆之间。
哪一个更大（在面积上，也就是说，哪一个需要更多的油漆来着色）-光盘还是戒指？


圆盘半径4 半径3和5之间的环
尝试此变体：这次哪个更大-圆盘还是戒指？

特殊数字三元组

侧面反转

毕达哥拉斯三元组88209, 90288, 126225有两条腿，它们是倒序的整数。
似乎只有一个斜边小于1,000,000:125928, 829521, 839025
尽管你也可以包括20691, 196020, 197109和82863, 368280, 377487.
接下来是什么？你能再找到这样的吗？

/你做数学题。。。

  1. 找到另一个三元组，每条腿与另一条腿相反（“腿”是形成直角的边）。[腿和斜边有7个手指。]
    8053155 5513508 9759717
  2. 33 56 65和3333 5656 6565斜边颠倒时成为一方。
    1. 将第一个三元组乘以不同的值，再写下几个。
      33 56 65× 10 =330 560 650
      33 56 65× 100 =3300 5600 6500
      33 56 65×101=3333 5656 6565
      33 56 65× 1000 =33000 56000 65000
      33 56 65× 1001 =33033 56056 65065
      33 56 65× 1010 =33330 56560 65650
      33 56 65× 10101 =333333 565656 656565
      33 56 65× 10000 =330000 560000 650000
      33 56 65× 10001 =330033 560056 650065
      33 56 65× 10010 =330330 560560 650650
      33 56 65× 10101 =333333 565656 656565
      ... 你能看到这些乘数的模式吗？请参见A014417级
    2. 1980 5265 5625是另一个例子。
      如果斜边小于100000，你还能找到多少？
      5265 1980 5625
      43758 7344 44370
      12705 49104 50721
      33033 56056 65065
      59961 59248 84295
      55517 45144 71555
      51557 55176 75515

前缀三元组

如果我们在三元组的数字前插入一个“1”5 12 13我们得到15 112 113这也是毕达哥拉斯语。问题被提出并解决对于所有边都小于100的三角形在…中。。。
两者5 12 13和15 112 113也是原始的！这是唯一的情况吗？

2013年8月16日更新：
John McMahon发现这个前缀是5, 12, 13:

51213
15112113
25三12三13
三5612613
4510121013
5515121513
一般模式是（n×10+5）2+（n（n+1）×50+12）2=（n（n+1）×50+13）2.
现在的问题是，其他PT还存在哪些前缀模式？

还有其他非歧视性解决方案：

我们可以将这两个三元组乘以10或100或10的任意幂，仍然可以得到有效的解：
1之前50,120,130= 10 ×5,12,13→150,1120,1130= 10 ×15,112,113,
1之前500,1200,1300= 100 ×5、12、13→15001120011300美元= 100 ×15,112,113,
。。。
这也适用于以下情况：
1之前500,12495,12505=5×[100,2499,2501]→1500,112495,112505=5×[300,22499,22501]
1之前7500,21875,23125=625×[12,35,37]→17500,121875,123125=625×[28,195,197]
之前2个600,1045,1205=15×[120,209,241]→2600,21045,21205=5×[520,4209,4241]
之前2个600,11242,11258=2×[300,5621,5629]→2600,211242,212258=2×[1300,105621,105629]
之前3个7500,11375,13625=125×[60,91109]→37500,311375,313625=125×[300,2491,2509]
之前3个9000,15675,18075=75×[120,209,241]→39000,315675,318075=30×[1300,105621,105629]
之前3个900,16863,16887=3×[300,5621,5629]→3900316863316887=3×[1300105621105629]
是否有毕达哥拉斯式的三元组，在所有边的前面加上大于3的前缀？

勾股三元组与素数

作为毕达哥拉斯三角形边的素数是什么？显然，它们只出现在原始毕达哥拉斯三角形中。
所有基本三角形都由这个m、 n个公式其中一侧是2百万牛顿.因此，素数边必须是原始勾股三元组的奇数边（因为没有边为2的勾股三角）和/或斜边。
下面是一些显示了素数的像这样:
主要PTm、 n个
三452,1
512133,2
815174,1
724254,3
2021295,2
1235376,1
940415,4
2845537,2
1160616,5
4855738,3
1384857,6
3980898,5
6572979,4
 
主要PTm、 n个
209910110,1
609110910,3
151121138,7
8810513711,4
171441459,8
5114014910、7
8513215711,6
5216517313,2
1918018110,9
9516819312,7
2819519714,1

书籍：在素数记录新书第三版（1995）Springer-Verlag，P Ribenboim猜想有无穷多个具有两个素数边的毕达哥拉斯三角形。

勾股三角形与埃及分数

埃及分数是一种不同的分数书写方式被建造金字塔的古埃及人和在他们之前的古巴比伦人使用。他们没有使用这个两个整数之比就像我们一样，例如“五分之四”或4/5哪个是4比5和也是4除以5的结果，将4个事物分成5个相等部分。
相反，他们将分数写为单位分数之和.例如三/4将是1/2+1/4，a二之和不同的分数每一个都有一个分子（顶部数字）1.

整数倒数的分数（即分子为1)被称为单位分数.

每个分数一/b条确实可以写成不同单位分数的总和这些被称为埃及分数.
最简单的分数类型可以写成两个单位分数的和.

对于n=3
方法的数量是一自从2/三=1/2+1/6 是唯一的写作方式2/三两个单位分数之和。
对于n=8
我们有2/8当然，1/4我们有二具有此总和的不同单位分数对： 1/4=1/12+1/6=1/20+1/5 .

令人惊讶的是，有这么多的书写方式2个/个两个不同单位分数的总和与以n为边的毕达哥拉斯三角形数:

我们可以写的方式有很多2个/个总计二不同的单位分数给出了序列

n个三4567891011 12131415。。。
计数11111221 14114。。。
阅读有关本系列的更多信息：

带n边计算器的2/n勾股三角形的单位分数

信用证

2个/个 单位分数和有边的勾股三角形 n个= 高达
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计算器: 葡萄牙？ 一/b条c（c）/d日=2 m、 n个 斐波那契 UAD树 面积/周长 概述 给定的角度 2/n单位
分数		 低能
边缘		 平方和
我在这个网站上有另一个页面，可以帮助您了解更多

勾股三元组与斐波那契数

这个斐波那契数是一个简单的数字序列，出现在自然界的许多地方：1, 2, 3, 5, 8, ... 其中每个数字是序列中前两个数字的总和。
数学家通常以0和1开始这个系列，我们得到这个系列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...A000045号.

作为勾股三角形边的斐波那契数

很容易看出
没有三条边都是连续斐波那契数的三角形

我们知道两个毕达哥拉斯三角形，边上有两个斐波那契数：
三45
51213
人们认为已经没有了，但这仍然是一个悬而未决的问题。

虽然没有毕达哥拉斯三角形包含两个斐波那契数作为单独的边，有一系列毕达哥拉斯三角形，具有许多斐波那契关系其中m、 n个生成器是连续的斐波那契数列每个都有一个斜边是斐波那契数.

米n个米2–n个2 200万米2+n个2面积
21三45=F（5）1.1.2.3 = 6
三251213=F（7）1.2.3.5 = 30
5三163034=F（9）2.3.5.8 = 240
85398089=F（11）3.5.8.13 = 1560
 
F类i+1（输入+1） F类我 F类i+2个F类i–1个
=Fi+1（输入+1）2–F我2 		2英尺我F类i+1（输入+1）
=F2i+2–Fi+1（输入+1）2		 F类2i+1
=F我2+F类i+1（输入+1）2		 F类i–1个F类我F类i+1（输入+1）F类i+2个
A121646号 A079472号 A001519号 A228873型
每个边的周长等于下一个三角形中最长边的长度。
并非所有斐波那契数都可以是斜边：没有斜边为的毕达哥拉斯三角形2, 3, 8, 21, 144, 987, ... .

面积和斐波那契数

就毕达哥拉斯三角形的面积而言，Mohanty和Mohanty，前面提到过，使用术语毕达哥拉斯数对于一个整数，即毕达哥拉斯三角形的面积。他们表明了这一点

毕达哥拉斯三元组和Pi

y=具有hyp<x图的PPT数量
使用此部分中的按钮更改图形
早期的我们看到了带有斜边小于N实际上是一个绘制N时的直线：
由于“直线”图穿过原点，我们也可以（斜边小于N的原始勾股三角形的数量）/N。
随着N越来越大，这个比率似乎正在稳定到一个特定的值：这个值是什么？

由D N Lehmer于1900年发现
1   =  1  =  1  =   0.1591549..
2π2×3.1415926..6.283185..

的数量原始的勾股三角形
斜边更少N个大约
N个=0.1591549牛顿
2 π

例如，对于N=100，此近似公式给出0.1591549 × 100 = 15·92原始毕达哥拉斯三角形斜边小于100，而准确值是16.

但这并不是毕达哥拉斯三角形和π!

带有周长小于N也是一条“直线”。
这次的比率是多少？看看吧如上图所示。同样是D N Lehmer证明了这个比率的极限也涉及π:

的数量原始的勾股三角形周长小于N个是大约
ln（2）N=0.07023牛顿
π2

ln（2）方法日志e（电子）(2)，天然原木2, 即，当e（电子）被提升到那个权力，给予2.
自e（电子）0·693147...= 2然后ln（2）=0·693147。。。
所以
ln（2）  =  0·693147   =  0·693147  =  0·07023
π23·1415922 9·869604 

例如，Lehmer公式N=1000给出的值为0·07023 × 1000 = 70.23作为近似带有周长小于1000，而这个准确的值为70：所以作为一个估计，它还不错！

令人惊讶的是π应该出现在这个上下文中，但它确实出现了在不同数学领域的许多近似公式中都有惊人的倾向。

使用斜边或周长估算PPT数量<N计算器

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具有小于
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计算器: 葡萄牙？ 一/b条c（c）/d日=2 m、 n个 斐波那契 UAD树 面积/周长 概述 给定的角度 2/n单位
分数		 低位，周缘 平方和

勾股三元组、斐波那契方法和Pi公式

上Pi和斐波那契数我们看到了如何使用角度的切线和求给定切线的角度值的公式计算π=3.14159...到我们想要的尽可能多的（小数）位。
从1738年欧拉漂亮而简单的公式开始：
π=弧形1+阿卡坦1
42三
我们将其归纳为许多其他人形式相同。

但新西兰基督城的蒂姆·舒马赫（Tim Schumacher）在2014年11月给我发了一封电子邮件，其中包含两者之间的奇妙联系上面的斐波那契方法和这些公式π.
如果我们为斐波那契方法取任何初始值，我们发现a、 b、a+b、a+2b生成PT2b（a+b）、a（a+2b）、b2+（a+b）2.但每一个都会导致一个公式π也使用比率中间两个术语和外部两个术语如下：

π=反正切一+阿卡坦b条
4a+2 ba+b
罗图使用两个角度之和的切线的三角公式来证明这一点并不困难，但蒂姆和他的学生丁成洛发现了一个非常简单的概括图Ko Hayashi的图表来证明它。它几乎不需要任何语言：
tan（α）=一
a+2 b
tan（β）=√2亿=b条
√2（a+b）a+b
tan（α+β）=a+b= 1
a+b
请注意，如果所有边的长度都相同，例如a=b=1那么我们得到1738的欧拉公式见上图:
π=反正切1+阿卡坦1
42三
所以这是对他的结果的概括。

勾股三元组和分区

Jack Garfunkel提出数字的分区之间存在关系（我们可以将该数字写成正整数和的方法的数量）和毕达哥拉斯三元组：
P（P）三(一) + P（P）三(b条) = P（P）三(小时)对于任何毕达哥拉斯三元组 a、 b、h
P（P）三（n）是由3个整数组成的有序列表的数量其金额为n个即
写作方式的数量n个作为n=i+j+k对于整数i、 j个和k个哪里0<i≤j≤k
例如，我们只能写1 + 1 + 1生成3，因此此列表是唯一的：P（P）三(3) = 1.
对于4我们再次只有一个列表：1 + 1 + 2 = 4所以P（P）三（4） =1.
有两种解决方案5自从5 = 1 + 1 + 3 = 1 + 2 + 2所以P（P）三（5） =2.
求出3的总和6, 7, 8, ...并使用此表检查您的结果：
n个三456789101112。。。
P（P）三（n）112三45781012。。。
所以Garfunkel的结果是3, 4, 5那么是毕达哥拉斯三元组P（P）三（3） +P（+P）三（4） =P三(5)事实上，从我们的桌子上，
P（P）三（3） =1，P三（4） =1和2=P三（5） =P三（3） +P（+P）三（4） =1+1=2.

毕达哥拉斯语还是巴比伦语？

Plimpton片剂
一小块粘土，约为明信片大小（5英寸x 3.5英寸或12厘米x 9厘米），15行四列“数字”中的一列可以追溯到公元前1800年左右，这可能是世界上现存最古老的数学艺术品。普里普顿322是600块这样的药片之一捐赠给哥伦比亚大学的珍贵书籍和手稿图书馆由乔治·普里普顿创作，是其目录中的第322项，因此得名。（看一看他们的其他珍宝也是。）

Bill Casselman的页面巴比伦石碑Plimpton 322来自不列颠哥伦比亚大学（University of British Columbia）的对如何阅读巴比伦数字以及平板电脑中包含的内容进行了极好的解释。

它包含什么？列表勾股三角形按三角形的顺序排列相隔约1度！它们是以60为基数的巴比伦比例尺写的，涉及60为基数“分数”。这些表格可能用于测量。

澳大利亚新南威尔士州的曼斯菲尔德和威尔德伯格发现了数字以及如何实际使用。请参阅下面的参考资料，以获取Youtube视频短片和fuller链接在他们的期刊文章中解释。
然而，其中一些是有点“炒作”和伊芙琳·兰姆的文章不要迷恋巴比伦三角理论在2017年8月的《科学美国人》杂志上是对这些Youtube视频及其主张。

毕达哥拉斯拼图

正方形中的勾股三角形

正方形中的5个pytho tris我们能把一个广场变成勾股三角形？查尔斯·杰普森（Charles Jepsen）和洛克·杨（Roc Yang）证明了我们可以做到，至少有5个这样的三角形。
这里显示了他们发现的只有5个毕达哥拉斯三角形的最小正方形。
他们还证明了没有将一个正方形分割成4个毕达哥拉斯三角形。
于是他们问了这个问题
这是可以分割成五个毕达哥拉斯三角形的最小正方形吗？
似乎这个问题仍然“悬而未决”。你能找到答案吗？

令人惊讶的是，澳大利亚Illawarra语法学校的小学生Penny Drastik，10岁，找到了边小于9000的平方的12个较小的解，包括她认为是最小的正方形这种三角形图案[2008年4月]。

Penny还发现了一个正方形（边长小于9000），可以分成两个不同的部分这种三角形的模式。我留给你的挑战是找到三角形和正方形的边。

你能找到一个较小的正方形，也许有5个不同排列的三角形吗？

含有5个以上勾股三角形的正方形？

Jepsen和Yang的文章（如上）给出了一个非常简单的论点，即可以将一个正方形分解为任意数量的毕达哥拉斯三角形，从5开始。
我们有5个三角形的解（他们证明这是毕达哥拉斯三角形的最小数目我们需要填满一个正方形）。
alt形式hyp到直角 所以在任何一个正方形的剖分中取毕达哥拉斯三角形并求出从直角到斜边的高度：
因此，我们将毕达哥拉斯三角形分为两个直角三角形，但只有当新边的长度小时和w个是整数。这两个长度是多少a、 b、c?
因为三角形的面积是ab/2号机组还有信道/2然后h=ab/c.
少量代数（留给读者）表明w=一个2/c（c）.
通过对称性，我们也有c–w=b2/c（c）
所以小时和w个可能不是整数，除非c（c）正好分为二者都一2,ab公司 和 b条2.
但是我们可以通过展开使它们成为整数按因子包含三角形的整正方形剖分c（c）!

这样我们得到了另一个正方形，c（c）倍大，带有一毕达哥拉斯语三角形被两个取代。一个正方形中的五个三分之一

有趣的是，如果我们在上面的5个三角形剖分中尝试此操作，我们会发现顶部三角形整齐地分为两部分，不需要展开：

显然，我们可以经常这样做，因为我们想得到的正方形中有越来越多的毕达哥拉斯三角形。

总是有一个正方形可以被分成n个毕达哥拉斯三角形，从5开始每n个
然而，被分成两部分的三角形会形成两个较小的毕达哥拉斯三角形形状完全相同与原始三角形一样，也就是说，两个新三角形中的角度等于被分割的三角形中的角。
所以我们保证在拼图中有两个或多个形状相同的毕达哥拉斯三角形如果我们使用这种方法。
每个三角形中具有相同角度的三角形称为相似三角形; 它们不必大小相同，但确实有相同的形状.
具有匹配边和角的三角形在大小和形状上都相同，称为全等三角形.
是否总是可以将一个正方形分割成任意数（≥5）不同的（即不相似）勾股三角形？

毕达哥拉斯定理的另一证明

ABC，90度C，海拔从B到AC使用上图，高度h用三角形标记a b c类,我们可以找到毕达哥拉斯定理的另一个证明一2+b条2=c2:
  1. 显示三角形ABC、CDB和ACD都是相似的（也就是说，每个三角形都有相同的三个角）
  2. 确定其他两个角度等于A处的角度，其他两个角等于B处的角度
  3. 查找正弦三角形BCD中的角度B和ABC中的等效角度及其正弦。将它们与一个包含b、 c（c）和c–w、b
  4. 查找余弦三角形ABC中的角度B和第三个三角形ADC中的等效角度及其余弦。用一个方程式将它们联系起来w、 a、，和a、 c（c）
  5. 改写你的两个方程式，以便在必要时通过交叉乘法不存在分数
  6. 添加这两个方程，其中一边是一2+b条2
  7. 你能证明方程的另一边现在是c（c）2?

圆上的勾股三角形

我们总是可以通过任意一组3点画一个圆。关于如何做到这一点，有一个非常好的动画数学开放参考现场。该方法简单易行欧几里德的元素第3册，提议1。
半圆中的直角然而，由于直角，毕达哥拉斯三角形发生了一些特殊的变化。
穿过直角三角形三个点的圆的中心位于斜边
换句话说，在一个圆上选取一个点，并将其连接到任意直径的两端，您刚才所做的角度总是正确的角度。
所以如果我们能找到几个具有相同斜边的毕达哥拉斯三角形我们可以把它们放在同一个直径的圆上这样它们的直角就位于圆圈上。
通过调整三角形的方向，使最小的角都位于直径的一端，直角将位于四分之一圆上。
通过在对角线的每一端用每个非直角复制每个三角形，直角将全部位于一个半圆上。
通过在对角线的每一侧包含两次三角形，直角将位于一个圆上。
因为它们都是勾股三角形，所以圆上的点都有整数坐标。
13 tris带hyp 1105最简单的例子是7 24 25和15 20 25它们有一个共同的斜边25。
显然，我们可以将所有长度增加一倍，将其增加三倍，并获得更多示例。
下面是一组4个常见斜边65：16 63 65,25 60 65,33 56 65,39 52 65
你能找到另一组斜边为85的四个斜边吗？
有一组三个都有一个125的斜边-它们是什么？
你能找到斜边为325的令人惊讶的7吗？
有13个斜边为11055525分为22分！
A004144号1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, ...
不是毕达哥拉斯三角形斜边的数字
A009003年5、10、13、15、17、20、25、26、29、30、34、35
是毕达哥拉斯三角形的斜边。所以所有的整数都在序列A004144或这个序列中。
本系列可进一步分为以下几类。。。。。
A084645号5, 10, 13, 15, 17, 20, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 51, 52 ...
是唯一毕达哥拉斯三角形斜边的数字序列。
A084646号25, 50, 75, 100, 150, 169, 175, 200, 225, 275 ...
是正好是两个毕达哥拉斯三角形的斜边的数字序列。
A084647号125, 250, 375, 500, 750, 875, 1000, 1125, 1375, 1500, ...
是正好是3个毕达哥拉斯三角形的斜边的数字序列。
A084648号65, 85, 130, 145, 170, 185, 195, 205, 221,...
是正好是4个毕达哥拉斯三角形的斜边的数字序列。
A084649美元3125, 6250, 9375, 12500, 18750, 21875, 25000, 28125, 34375, 37500,...
是正好是5个毕达哥拉斯三角形的斜边的数字序列。
。。。
2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 13, 16, 17, 22, 31, 37, 40, ...
对于斜边数不超过200000的毕达哥拉斯三角形，具有相同斜边的数量是唯一可能的计数。有许多数字正好是4个三角形的斜边，其次是2，然后是13，以此类推，其中160225是67个毕达哥拉斯三角形的斜边。在200000个斜边以内，我们找不到数字这是8个、9个或11个三角形的斜边。如果我们不限制三角形的大小，那么所有数字都可以作为具有相同斜边的毕达哥拉斯三角形的计数，如下所示A097756号
A054994美元5, 25, 65, 125, 325, 625, 1105, 1625, 3125, 4225, 5525, 8125, 15625, ...
是1，2，3，…的最小斜边列表。。。当斜边按顺序排列时，勾股三角形。
A006339号5, 25, 125, 65, 3125, 15625, 325, 390625, 1953125, 1625, 48828125, ...
这些是1、2、3……的最小斜边。。。勾股三角形的数量顺序，所以5是最小的一个毕达哥拉斯三角形的斜边，以及两个三角形中最小的25个，等等。
A088959号5, 25, 65, 325, 1105, 5525, 27625, 32045, 160225, 185865, 5928325, 29641625, ...
是破纪录的斜边，即出现的斜边列表比任何较小的斜边都多的勾股格。
A088111号1、2、4、7、13、22、31、40、67。。。
是前一序列中破纪录者的计数（三角形的数量，每个三角形都是斜边）

三角形中的勾股三角形

90度三角中的三个3-4-5三角 早期的我们看到了如何分割毕达哥拉斯三角形变成两个毕达哥拉斯三角形，这两个三角形彼此相似，也与原始三角形相似（也就是说，每个三角形中的3个角是相同的：三角形被称为类似的).
这是一个直角三角形，分成三个相似的三角形。所有人都有3 4 5形状。
您可以通过将边除以每个直角三角形中以红色显示的每个因子来检查这一点。我们可以画一个这样的图，其中包含三个类似的三角形任何毕达哥拉斯三角。
要显示这一点，首先在该图中；
标记一个三角形的边a、 b条和小时;
保持两侧的比例相同，并使用标识为相等的角度标记其他两侧；
如果你有任何除法，把整个图乘以除数，使每一边都是a、 b条和小时

/你做数学题。。。

这里的调查将成为科学博览会或数学项目的一个很好的主题
  1. 你能用毕达哥拉斯三角形的多种形状制作直角三角形拼图吗？
  2. 非直角三角形的拼图怎么样？
  3. 你能在三角拼图中放入的最大直角三角形块数是多少？
  4. PT中的4个类似PT
    通过查看早期的我们使用的方法是将一个直角三角形拆分为两个，并将其与图中有三个，我们可以把一个直角三角形分割成四个直角部分，都像这里所示的那样。
    你能把它再延伸到五个三角形吗？到六点？我们想要多少就给多少？
  5. 使用一毕达哥拉斯三角形在一系列的大小，使一个漂亮的瓷砖模式，如前一个调查问题。
    在本页底部的电子邮件地址给我发一些，我会把它们包括在这里。

《风筝里的勾股三角形》

风筝 风筝A类风筝是一个四边形，有两对长度相等的接触边。

如果我们在不平等的双方相遇的地方有直角，我们就可以用三个不同大小的复制品将毕达哥拉斯三角形做成风筝如图所示。

用毕达哥拉斯三角形表示风筝侧面的公式是什么一个b小时?

最大三角形（风筝的垂直支柱）的斜边有什么特别之处？
左上角是ah，aa，ab，左下角是bh，ba，bb，右下角是ha，hh，hb带有3个毕达哥拉斯三角形的风筝可以很容易地转换为矩形：


矩形中的勾股三角形

那么现在把矩形剖成毕达哥拉斯三角形怎么样？

最简单的方法是将两个相同的三角形沿斜边放在一起，形成一个矩形：
所以一个矩形可以被分割成两个毕达哥拉斯三角形如果它的边是毕达哥拉斯三角形的两条腿。但这两个剖分中的三角形是相同的（全等的）。		矩形中的两个三
这里有两个矩形，每个矩形包含三个直角三角形在每个图表中显示所有的三角形都是类似的. 矩形中的3个三角形
在这两种情况下4三角形矩形解剖找到两个相似的三角形。

你能找到吗二将更多矩形剖分为4个直角三角形，每个三角形4个相似的三角形？

四等分的两个矩形 4tris的两个矩形
四个三的另外两个矩形

你能找到一个矩形吗不同的（非相似）毕达哥拉斯三角形？

围绕一点的勾股三角形

本节研究将4个毕达哥拉斯三角形围绕一个点放置，其直角在该点相交和其他变化。

四个直角相交的三角形

我们能否围绕所有直角相交的点将四个毕达哥拉斯三角形拟合在一起？
四个三角形在直角处相交 4个同余，2对同余如果你使用左边的这两个图表作为指导，你会发现很容易回答这个问题。

然而，如果这四个三角形都不一样如右图所示？
这些形状是四边形，因为它们的边一般都不相等。
最小周长为176，有两对类似的毕达哥拉斯三角形如果您想自己找到答案并用此按钮检查答案：
最小解（最小周长）为4不同的勾股三角形（也就是说，没有两个三角形是相似的）周长为950：

直角相交的三个三角形

3人在3D中以直角相遇如果我们试着三三角形以直角相交，我们必须进入三维空间。
如图所示，这三个三角形将在房间的一角相遇。

这也是可能的，最小周长是636，所以比四个不同的三角形在上一节。

这里还有另一个有趣的联系：

这个广场由三个斜边组成的三角形的面积=正方形三个毕达哥拉斯三角形的面积
即使这三个直角三角形不是毕达哥拉斯三角形，这个定理也适用。

4个以上直角相交的三角形

5在拐角处相遇如果我们允许三个三角形是平面的，我们可以把四个以上的毕达哥拉斯三角形和它们的直角放在一起“在地板上”，另外两个垂直，就像在两个“墙上”一样。
想象一下，从外面看建筑的一角，集中注意力在两个垂直的点上墙壁与地面相接。图中红色地面的角落处有一堵蓝色和绿色的垂直墙。三个三角形相交，平躺在地上；第四个三角形位于绿色垂直墙上，第五个三角形位于蓝色垂直墙，所有5个直角在三个面相交的角点接触。

你能想象6个人在“角落”开会吗？7号或8号怎么样？还有可能吗？

更多毕达哥拉斯难题

你做数学题。。。

这个本页前面的计算器（在新窗口中打开）对以下方面很有用。
  1. 找到仅有的两个毕达哥拉斯三角形与周长相等的面积.
  2. 这是仅有的三个数字不能是最短的边任何毕达哥拉斯三角形？
    [用检查您的答案A009005号.]
  3. 查找可以是斜边的三个连续数字勾股三角形.
    你能找到四个连续的斜边数字吗？
    关于五?再来一套怎么样九?[检查您的答案A099799号.]
  4. 找到几个毕达哥拉斯三角形最短的边是一个平方数
    例如9=32, 12, 15、和25=52, 312, 313.
    在你列表中的原始元素中，它们有什么特别之处米和n个价值观？
  5. A remarkable property of them、 n个三元组的公式：（米2–n个2)2+（2百万牛顿）2=（米2+n个2)2 如图所示：
    1. 使用查找三元组斜边是平方数 H（H）2.
      有两个斜边为5的三角形2=25，例如：15 20 25和7 24 25.
    2. 列出值H（H）它们被平方成斜边：你以前在这个页面的什么地方看过这个系列？
    3. 似乎每个斜边都有两个三元组，即平方数 H（H）2.
      1. 一个很容易解释，因为它与带斜边的三元组有简单的关系H（H）:这是什么关系？
      2. 对于第二种情况，请查看其生成器以找到证明它总是存在的证据。
    你能猜出有多少个三连音斜边这是第四个幂：H（H）4?
  6. 继上一个谜题之后，你能找到关于带斜边表单的H（H）三?
  7. 毕达哥拉斯三元组最小边哪个是立方体？
    例如27=3三, 36, 45.
    他们有什么特别之处米和n个价值观？
  8. 毕达哥拉斯三角形有多少个边长48?
    找到一个可以是更多毕达哥拉斯三角形边的数字。（提示：有5个答案小于100）
    1. 使用同一侧每个？
    2. 32个三元组中哪个数字小于250？
  10. 最小的数字是什么多于一个三元组的斜边?
    用相同的斜边，你能找到的最大三元组数是多少？
    有一个是不5的倍数？
  11. 找到一些数，这些数是多个原始毕达哥拉斯三角形的奇数边。前两个是
    1. 15：两者中哪一方8 15 17和15 112 113和
    2. 21：这是两者的一个侧面20 21 29和21 220 221.
    你能找到一个属性来描述素的因式分解这个系列中的每个数字？
    [用检查您的答案A061346号.]
  12. 33,44,55是所有数字都是的三元组回文也就是说，它们倒写时是一样的。
    我们可以找到一系列毕达哥拉斯三元组，其中所有的数字都是回文:
    3,4,5
    33,44,55
    333,444,555
    。。。
    我们还有三人组303,404,505.
    产生这些结果的一系列因素是什么3 4 5?
    另一个是66,88,110如果我们包括首字母0在斜边前面：66,880110美元.
    毕达哥拉斯三元组怎么样606,808,01010和666,888,01110?
    你能找到更多的回文毕达哥拉斯三元组的无穷级数吗？
    [提示：你可能会发现A057148号在这里很有用。]
  13. 2005年4月3日约会和毕达哥拉斯三人组. 那一年（'05年）又发生了一次，是什么时候？
    假设年份在本世纪，只有两位数长，下一次是什么时候毕达哥拉斯三次约会?
    本世纪还有多少这样的日子？
    如果日期是毕达哥拉斯三元组中的任意一组三个数字（也就是说，数字不一定是有序的），一个世纪有多少次约会？
    [为什么不在下一个这样的日子在你的学校/学院/数学系组织一个“毕达哥拉斯日”？]
  14. 来一份特别的怎么样毕达哥拉斯三倍时间小时：分钟：秒？一个有多少个如果我们使用24小时制的时钟，从0到23小时，那么是一整天吗？
  15. 在写下一系列三元组的简单方法部分，我们找到了此处给出的模式并与一起使用n=10、100、1000。。。.
    你用什么图案n=202002000。。。?
    ……和n=30、300、3000。。。?
  16. 找到你自己的毕达哥拉斯三重模式中未提及进一步的三重模式以上。
    这是另一种方法。
    想象一系列与上面列表中的数字相似的数字，例如。来自399, 40, 401我们可能会想到的斜边在序列中的模式901、90001、900001等。将这些数字插入三联发电机看看有没有图案901和90001上的斜边搜索给出：
    • 斜边为901的三元组：
      1:476765901=17x[452853]P=2142 A=182070 r=170 m=。n=。
      2:424795901=53x[15,8,17]P=2120 A=168540 r=159 m=。n=。
      3:451，780，901原始P=2132 A=175890 r=165 m=26 n=15
      4:60，899，901原始P=1860 A=26970 r=29 m=30 n=1
    • 斜边三元组=90001：
      1:600、89999、90001原始P=180600 A=26999700 r=299 m=300 n=1
    另一种模式跳出来：
    899, 60, 901
    89999, 600, 90001
  17. 查找其中一种模式的公式在中进一步的三重模式.
  18. [来自帝国州立学院Ken Sullins]你能在下面的列中找到每组三元组的公式吗？
    提示：在每一列中，第一条腿形成一个算术序列（即，它们每次增加的量相同）。但是，看看其他两个方面，你还注意到了列中所有三元组的共同点是什么？
    A类B类C类D类E类F类G公司H（H）我
    3、4、54, 3, 512, 5, 1315, 8, 1735, 12, 3740, 9, 4160, 11, 6124, 7, 2563, 16, 65
    5, 12, 138, 15, 1720、21、2921、20、2945, 28, 5356, 33, 6580, 39, 8936, 27, 4577, 36, 85
    7, 24, 2512, 35, 3728, 45, 5327, 36, 4555, 48, 7372, 65, 97100, 75, 12548, 55, 7391, 60, 109
    9, 40, 4116, 63, 6536, 77, 8533、56、6565, 72, 9788, 105, 137120, 119, 16960, 91, 109105, 88, 137
    11, 60, 6120, 99, 10144、117、12539, 80, 8975, 100, 125104, 153, 185140, 171, 22172, 135, 153119, 120, 169
    。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
  19. 农民使用大小相同的栅栏剪掉田地的一个直角，形成一个三角形的围墙。每侧使用了大量面板。
    1. 当她拆除围栏时，她发现可以重新利用所有围栏，精确地包围一个正方形区域。
      这可能发生的最短围栏长度是多少？
    2. 如果除（a）外，她还可以重复使用所有面板来包围另一个截止角但它有一个不同的形状与原件一致，她现在需要的最小面板数量是多少？
    3. 找出周长系列中最小的十个数字，它们都是谜题（a）的答案。
  20. 一位农民有一块直角三角形的田地，他撒下了草籽。
    第二年，他播种了一块形状不同的直角三角形田地，播种量完全相同。
    1. 这两个田地可能是什么形状，面积是多少？
    2. 有可能在第三年用同样数量的种子找到一个不同的形状吗？
      如果没有，找到另外3个具有相同区域的字段形状。
  21. 在矩形中的勾股三角形截面上面我们发现一个矩形被分割成3个相似的三角形（它们都包含相同的3个角）和一个包含4个相似三角形。
    将矩形分割成5个相似的三角形。
    6号怎么样？
    是否可以将此扩展到任何数字矩形中相似三角形的形状？

两个以上平方和

让我们将毕达哥拉斯三元组推广为2的和或更多和为平方的平方。
我们早些时候看到的并非所有数字都可以是PT的斜边但如果我们求出两个以上的平方呢？有可能把所有的数字都写成平方和吗？如果是，我们需要的最小方块数是多少？如果没有，缺少哪些数字？
12+ 22+ 22= 32如果我们允许重复正方形
22+ 32+6个2= 72带有明显的正方形
102+ 112+ 122= 132+ 142一个很好的概括模式
62 = 12+ 52+16个2= 22+3个2+7个2是两组三个平方的和的最小值
但是除了正方形以外的数字呢？所有的数字都可以是一些平方的和吗？
事实上，并非所有数字都是三正方形，例如7不是。
四个正方形怎么样？这是过去许多伟大数学家研究的一个著名问题，包括高斯和欧拉。
每数字是最多四个平方的总和。
这些是我们在本节中提出的问题。首先，这里有一个计算器来帮助您进行调查。

平方和计算器

设置
如果你想要求和中的唯一平方，没有数字重复，所有要平方的数字都是有序的，选择一个设置;
列表
如果允许重复，并且要平方的数字是有序的，那么选择列表.
列表中的每个重复数字显示一次，重复次数作为下标，
例如列表1 1 2 4 4 4显示为
序列
如果你想计算所有可能的数字的平方、负数、零和正数和每一个订单在计算为不同解决方案的数字中，选择一个序列.每一个数字序列都会被报告一次，将数字按顺序排列在一起这些数字的排列数。
例如：0±2±2±5有2×2×2 = 8包括标志的方式。包括0和2个2的四个数字可以用12种方式排列，形成12个不同的无符号数字序列：
0 2 2 5；0 2 5 2; 0 5 2 2;
2 0 2 5; 2 0 5 2; 2 2 0 5; 2 2 5 0; 2 5 0 2；2 5 2 0；
5 0 2 2; 5 2 0 2; 5 2 2 0
所以总共有属于8×12=964个数字的有符号数列。
这里有一个计算器可以帮助您进一步调查：

对于所有长度的集合/列表，将数字输入框（集合/列表长度）留空。
序列需要一个长度，即非零数字的数量。
当给出数字列表进行平方和加法时，使用~表示范围，例如2~5表示2,3,4,5。
平方和C A L C U L A T O R

全部的属于 数字其平方和为
高达
的平方
R E S U L T S公司


 
计算器: 葡萄牙？ 一/b条c（c）/d日=2 m、 n个 斐波那契 UAD树 面积/周长 概述 给定的角度 2/n单位
分数		 海波
周缘		 平方和

数字模式

这些平方和中的一些漂亮图案如下：
三2+ 42 =52
102+ 112+ 122 =132+ 142
212+ 222+ 232+24个2 =252+26个2+ 272
362+ 372+ 382+ 392+ 402 =412+ 422+ 432+ 442
。。。
每条线上每边的总数为25、365、2030、7230，
n（n+1）（2n+1）2+12n+1）
6
。。。A059255号
左手边从3、10、21、36、55……的正方形开始。。。，n（2n+1）。。。A014105号
以4、12、24、40、60……结尾。。。，2n（n+1）。。。A046092号.
右手边的n个方块从5、13、25、41、61……的方块开始。。。，2n（n+1）+1。。。2018年1月44日以5、14、27、44、65……的平方结束。。。，n（2n+3）。。。A014106号.

所有数字都是最多4个方块的总和

拉格朗日1770年证明，如果我们允许0作为一个正方形，那么每个数字就是四个正方形的和。这与表示每个数字都有一个表示形式，即高达4非零方块。
对于给定的n，通常有许多这样的形式：
4 = 22= 12+ 12+ 12+ 12
9 = 32= 12+ 22+ 22
10 = 12+ 32= 12+ 12+ 22+ 22
12=22+ 22+ 22= 12+ 12+ 12+ 32
。。。
1、2和3都只有一种书写方式，然后作为4个方块的总和，4有2种书写方式。。。所以计数开始1，1，1，2，1，1，1，1，2，2，1，2。。。A002635美元.
具有3个此类表示的第一个数字是
18 = 32+ 32= 12+ 12+ 42= 12+ 22+ 22+ 32.
带1、2、3、4、5、6…的最小数字。。。表示为4、18、34、50、66、82。。。A124978号.
只有一个表示形式的数字最多为4个平方和：1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 23, ...A006431号.

/你做数学题。。。

  1. 一些特殊的平方和
    1. 如果我们把数字14、29、50、77、110看作平方和，那么它们有什么特别之处？
      找出这些数字的公式。
      14 = 12+ 22+3个2;
      29 = 22+ 32+ 42;
      50 = 32+ 42+5个2;
      它们都是三个连续方块的总和。
      （n-1）2+n个2+（n+1）2=2+3牛顿2是一个公式。
    2. 系列30、54、86、126、174、230……怎么样。。。？
      找到一个公式，从而证明它们必须是均匀的。
      30 = 12+ 22+ 32+4个2;
      54=22+ 32+ 42+ 52;
      86 = 32+ 42+ 52+ 62;
      它们是四个连续平方的和。
      （n-1）2+n个2+（n+1）2+（n+2）2=4个2+4n+6=2（2n2+2n+3）总是平的。
    3. 如果你发现上面每一个都有一个递归关系，那会有一个有趣的惊喜，也就是说，找到一个公式，将序列中的每个数字与其前面的三个数字联系起来。
      （可选）你能概括你的结果并加以证明吗？

      它们都具有相同的递归关系：
      如果a、b、c和d是这些序列中任意一个的四个连续数字，那么d=3 c-3 b+a。

      它适用于所有K的K个连续平方和。
      为了证明这一点，找到从n开始的K平方和的公式，我们称之为s（n）。
      然后证明S（n）=3S（n-1）-3S（n-2）+S（n-3）。
      我们没有在证明中的任何地方使用K的值，因此递归关系无论K值是多少，均适用。

  2. 需要四个正方形的数字
    1. 1= 12;2= 12+ 12;三= 12+ 12+ 12;4= 22;5= 12+ 22;6= 12+ 12+ 22
      但我们不能把7写成三个或三个以下的平方和-我们需要4:7=12+12+12+22).
      15是下一个数字，不是最多三个平方的和。
      看看高达100的数字，这个系列是如何继续下去的？
      7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, 79, 87, 92, 95
      因为我们知道所有的数字都是最多4个平方的和，所以这个数列就是需要四个正方形。
    2. （更难）你能在这个系列中找到模式/公式吗？（高斯和勒让德都找到了答案并证明了这一点。）
      看看奇数被8除后的余数。
      列表中有一个相关的模式，即偶数。
      这些数字被8除后余数为7，或者是列表中数字的4倍。
      作为一个公式，集合都是数字4米（8n+7）其中m和n是正整数或零。
      请参见A004125号
  3. 带的数字是四个平方的和
    1. 由于每个数字都是最多4个非零平方的和，让我们看看只有一个这样的和的数字：
      1 = 12; 2 = 12+ 12; 3 = 12+ 12+ 12
      然而，4有两种表示：4=22= 12+ 12+ 12+ 12.
      下一个大于1的平方和为9和10，最多为4个平方，但11罐只有一个这样的形状。
      因此，我们列出了这些数字，其中只有一种方法可以将它们写成4个方块的总和开始于1、2、3、5、6、7、8、11。
      如果我们不超过100，它将如何继续？
      1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 23, 24, 32, 56, 96, (128), ...A006431号
    2. （Harder）这个列表中只有哪些是奇数？
      找出三个覆盖所有均匀区域的独立图案。
      均势是另一因素的4倍。这些因素是什么？
      唯一的奇数是1、3、5、7、11、15和23。
      平均数是2、6或14，或者是其中一个的四倍。
  4. 在平方和中，我们允许任何平方被重复。
    如果我们坚持总和中的每个平方只出现一次或者换句话说，所有的正方形在任何和中都是不同的2和3不可能是6、7、8、11、12和15的唯一平方和。
    你可能会感到惊讶这个列表是有限的.
    这意味着我们可以总是写入每个数字超过一定限度作为不同正方形的总和。
    这个限制是什么？列表中最大的数字是什么？
    128
    请参见A001422号以获取31个数字的完整列表和对证据的引用。
  5. 连续平方和
    1. 找到从1开始的n个平方和的公式。
    2. 如果你的公式是n中的项的乘积，那么把它写成n中的多项式。
    3. 为什么多项式的系数必须加到1？为什么多项式中没有常数系数？
    4. 用你的答案找出平方和a2最多b2包容的。
      如有必要，扩展您的答案，使其仅包含a形式的术语第页或bq个.
    1. 12+ 22+ ... + n个2= n（n+1）（2n+1）
      6
    2. 12+ 22+ ... + n个2= n个+n个2+n个三
      62三
    3. 如果n=1，总和为12多项式减少为系数之和，因此必须为1。
      如果n=0，则和为0，多项式被简化为常数项，因此常数项必须为0。
    4. 一2+ ... + b条2= b条+b条2+b条三 负极一+一2负极一三
      62三62三
  6. 哪些数字是不a的平方和设置共5个数字? 请注意集合意味着集合中没有重复的数字，集合可以只有一个数字。
    1948年，斯普拉格发表了一项证据，证明只有31个这样的数字：
    2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128
    请参见A001422号
  7. 方形拼图
    （n+1）2=个2+所以我们可以用边n的一个平方和边1的（2n+1）个平方填充边n+1的一个方形。
    在图表中显示这一点。
    我们将在下一节对此进行扩展。
  8. 四平方定理的证明？
    如果我们想证明每个整数都是四个平方的和（其中允许0作为平方），那么我们可以先证明欧拉恒等式1749年第页：
    （a）2+b条2+c（c）2+d日2) （A）2+B类2+C2+D类2)
    =（aA+bB+cC+dD）2+（aB−bA+cD−dC）2+（aC−bD−cA+dB）2+（aD+bC−cB−dA）2
    验证此身份。
    它对证明每个整数都是四个平方和有什么帮助？
    请参阅数论Shanks参考下文第209页练习31S和32S了解更多信息。

矩形被分割成方形

n个
⁝
。。。 1
几何和拼图游戏提供了代数恒等式的说明。
例如，在平方和方面
（n+1）2=个2+ 12+ ... + 12
但图表显示，整个正方形有边（n+1），因此面积（n+12但它是由
  • n边的正方形
  • 右侧1的n个正方形
  • 第1面下方的n个正方形
  • 在右下角还有一个1边的正方形
所以（n+1）2=个2+2n+1
作为（n+1）的方块列表2我们有n次，1次重复2n+1次。

矩形的平方和-连分数

45x16作为CF上续分数介绍页面我们演示了如何转弯任意分数第页/q个分成一个两边为p和q的矩形正方形。这是16/45.我们总是可以在这样的图表中安排正方形，使其有一条边沿着矩形的外侧。
我们已经看到，所有的矩形都可以分割成正方形，因为所有的分数都是连分数形式。
斐波那契螺旋正方形但分数是最低形式的，所以连分数图法对正方形没有用处因为它的边数比只有1。
我们得到的最接近分裂成不同正方形的矩形是由F（n）和F（n+1）边组成的斐波那契矩形其中F（n）是第n个斐波那契数，但每个斐波那奇数都有一个重复的单位平方！
右边的图表显示了一个21x13的矩形，它被分割成正方形，边为13,8,5,3,2,1和1。

矩形作为不同正方形的和

在马丁·加德纳家更多数学难题和转移第17章摆正Square由威廉·塔特（William T Tutte）撰稿，全部内容是寻找正方形或长方形可以分解成不同的方块-称为完美矩形. 搜索导致使用电子网络思想来查找这样的矩形。我们可以使用的最小不同正方形数是9，并且有两个不同排列的矩形如果我们忘记了它们的反射和旋转。一个面积为1056，另一个为4209。有6个10正方形，22个11正方形。该系列和更多信息可在OEIS上找到A002839号其中已知有24个正方形的矩形。
x个
B类年
A类
9978
2157
7743
1641
349
25

这是一个如何将矩形划分为正方形的粗略草图。
我们从标记两个方块开始x个和年，其侧面的长度。
然后我们可以推断A面的顶部是x+y而且，由于所有块都应该是正方形，它的高度也是如此。
因此，正方形B是边的正方形（a的边）+y=x+2年.
继续以这种方式推导出每个方形块的边以及整体的边的表达式。
你最终会发现两个表达式涉及x个和年对于同一侧。检查它是不是9 x=16年.
现在我们可以让y=9和x=16保持所有边都是整数为拼图找到一个简单的解决方案。
如果我们把这些数字放回图表中，就会得到近似方形的矩形176通过177如图所示。
有没有一个正方形可以被分割成不同的正方形？是的，但最小的似乎有里面有38个方块。你做数学题。。。下面我们来看看只有正方形的剖切矩形。

/你做数学题。。。

  1. （简单）165=62+ 62+ 52+ 52+ 42+ 42+ 32+ 12+ 12.
    这九个正方形可以做成矩形拼图。矩形的面积为165。
    剪下九个方块，解出拼图。矩形的尺寸是多少？
  2. 一个矩形拼图游戏正好有九块大小不同的正方形块，面积为1056。如果正方形有边1、4、7、8、9、10、14、15和18，那么矩形的宽度和高度是多少那这九块是怎么放进去的？
    根据Beiler的说法数字理论中的娱乐（请参见链接和引用下图）这是最小的矩形拼图所有的碎片都是方形的，大小不同。
    在Doug Williams的澳大利亚数学任务中心检查您的答案解决方案
    或上的此NRICH页面.

N可以有多少种方式成为k个平方的和？

有一些有趣的公式可以用来计算将数字N写成k个非零平方和的方法。它是通常表示为rk个（N） 。

两个平方的和

如果两个正方形的和是一个正方形，那么这三个数字构成了我们在本页前面看到的直角三角形的边。那么现在我们问哪些数字是两个平方的和，是平方还是非平方？
费马指出，任何大于2的素数都是两个平方的和，当且仅当它被4除时有1的余数或者，使用mod函数，当且仅当一个素数与（≡）1（mod 4）同余。我们还有2=12+ 12.
欧拉于1749年证明了这个定理
2以上的素数都是奇数，所以它们被4除后的余数必须是1或3。
素数=a2+b条2
首要的三571113171923293137414347
模块41三11三三11三1三三11
一-1--21--2-14--
b条-2--三4--5-65--
我们可以使用身份：
（a+b）2×（A+B）2=（aA−bB）2+（aB+bA）2
=（aA+bB）2+（aB−bA）2
以显示以下项的平方和形式素数因子与1模4同余的所有复合数，或者，如果与3模4同约，则其素数指数为偶数（它是一个正方形）。
这些数字是2、5、8、10、13、17、18、20、25、26、29、32。。。A000404号.
如果我们允许0作为其中一个平方，或者，如果我们想要的数字是总和，那又是什么呢属于高达两个正方形，那么我们可以包括1本身，4和16。。。。
这些数字是1、2、4、5、8、9、10、13、16、17、18、20、25、26、29、32。。。A001481号.

3平方和

3, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 29, 30, 33, ...A000408号都可以写成2+b条2+c（c）2其中a、b和c不为零。

4平方和

还有一些数字本身既不是正方形，也不能写成两个或三个非零正方形的和：
7, 15, 23, 28, 31, 39, 47,...2015年4月15日
这些需要四个正方形，形式为4A类（8B+7），所以它们要么与7模8一致，要么有一个因子是4的幂或两者的幂。
所有数字都可以写成四个方块的总和！

链接和参考

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