搜索： a326124-编号：a3261240
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A024916号
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| a（n）=Sum_{k=1..n}k*楼层（n/k）；同时求和{k=1..n}σ（k），其中σ（n）=n的除数之和(A000203号). |
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+10
223
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1, 4, 8, 15, 21, 33, 41, 56, 69, 87, 99, 127, 141, 165, 189, 220, 238, 277, 297, 339, 371, 407, 431, 491, 522, 564, 604, 660, 690, 762, 794, 857, 905, 959, 1007, 1098, 1136, 1196, 1252, 1342, 1384, 1480, 1524, 1608, 1686, 1758, 1806, 1930, 1987, 2080, 2152
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a（10^4）=82256014，a（10~5）=8224740835，a（0~6）=8224.68118437，a（1~7）=822.46711794796；看见A072692号. -M.F.哈斯勒2007年11月22日
n是素数当且仅当a（n）-a（n-1）-1=n-奥马尔·波尔2012年12月31日
a（n）也是正整数<=n分成相等部分的所有部分的总数-奥马尔·波尔2017年4月30日
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参考文献
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哈代和赖特，“数论导论”，牛津大学出版社，第五版，第266页。
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链接
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配方奶粉
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渐近a（n）=n^2*Pi^2/12+O（n*log（n））。（结束）
通用公式：（1/（1-x））*和{k>=1}x^k/（1-x^k）^2-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月23日
a（n）=n^2*Pi^2/12+O（n*log（n）^（2/3））[Walfisz]-查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月19日
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例子
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对于n=6，前六个正整数的所有除数之和为[1]+[1+2]+[1+3]+[1＋2+4]+[1+5]+[1[2+3+6]=1+3+4+7+6+12=33，因此a（6）=33。
另一方面，如下图所示，第6张图中Dyck路径下的面积等于33，因此a（6）=33。
首字母说明：_ _ __
_ _ _ | |_
_ _ _ | | | |_
_ _ | |_ | |_ _ | |
_ _ | |_ | | | | | |
_ | | | | | | | | | |
|_| |_ _| |_ _ _| |_ _ _ _| |_ _ _ _ _| |_ _ _ _ _ _|
.
1 4 8 15 21 33（结束）
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MAPLE公司
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添加（数字理论[sigma]（k），k=0..n）；
#第二个Maple项目：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，0，
数字理论[西格玛]（n）+a（n-1））
结束时间：
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数学
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表[Plus@@Flatten[Divisors[Range[n]]]，{n，50}](*阿隆索·德尔·阿特2006年3月6日*）
累加[DivisorSigma[1，Range[60]]](*哈维·P·戴尔2014年3月13日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A024916号（z） ={my（s，u，d，n，a，p）；s=z*z；u=sqrtint（z）；p=2；for（d=1，u，n=z\d-z\（d+1）；if（n<=1，p=d；break（），a=z%d；s-=（2*a+（n-1）*d）*n/2）；）；u=z\p；for（d=2，u，s-=z%d）；return（s）；}\\有关格式良好的版本，请参阅链接。-P.L.Patodia（pannalal（AT）usa.net），2008年1月11日
（PARI）A024916号（n） =｛my（s=0，d=1，q=n）；while（d<q，s+=q*（q+1+2*d）\2；d++；q=n\d；）；return（s-d*（d-1）\2*d+q*（q+1）\2）；｝\\彼得·波尔姆2014年8月18日
（PARI）A024916号（n） =｛my（s=n^2，r=sqrtint（n），nd=n，D）；对于（D=1，r，（1>=D=nd nd=n\（D+1））&&（r=D-1）&&break；s-=n%D*D+（D-1）*D\2*D）；s-sum（D=2，n\（r+1），n%D）｝\\ Patodia代码的略微优化版本-M.F.哈斯勒2015年4月18日
（C#）参见Polm链接。
（哈斯克尔）
a024916 n=总和$map（\k->k*div n k）[1..n]
（岩浆）[（&+[DivisorSigma（1，k）：k in[1..n]]）：n in[1.60]]//G.C.格鲁贝尔2019年3月15日
（Sage）[（1..n）中k的总和（σ（k）），（1..60）中n的总和]#G.C.格鲁贝尔2019年3月15日
（Python）
定义A024916号（n） ：范围（1，n+1）中k的返回和（k*（n//k））#柴华武2021年12月17日
（Python）
从数学导入isqrt
定义A024916号（n） ：return（-（s：=isqrt（n））**2*（s+1）+sum（（q:=n//k）*（（k<<1）+q+1）对于范围（1，s+1）中的k）>>1#柴华武2023年10月21日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A056550号,A104471号（2*n-1，n），A123229号,A128489号,A000217号,A134867号,A072692号,A158905号,A237593型,A245092型,A006218号,222548英镑,A092406号,A160664型.
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关键词
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非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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3, 7, 12, 15, 18, 28, 24, 31, 39, 42, 36, 60, 42, 56, 72, 63, 54, 91, 60, 90, 96, 84, 72, 124, 93, 98, 120, 120, 90, 168, 96, 127, 144, 126, 144, 195, 114, 140, 168, 186, 126, 224, 132, 180, 234, 168, 144, 252, 171, 217, 216, 210, 162, 280, 216, 248, 240, 210
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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a（n）也是2*n划分为相等部分的所有部分的总数-奥马尔·波尔2021年2月14日
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链接
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配方奶粉
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狄利克雷g.f.：ζ（s）*ζ（s-1）*（3-2^（1-s））。
求和{k=1..n}a（k）~5*Pi^2*n^2/24。（结束）
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数学
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除数西格玛[1，2*范围[60](*哈维·P·戴尔2022年6月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）矢量（66，n，sigma（2*n，1））
（PARI）对于（n=11000，写入（“b062731.txt”，n，“”，sigma（2*n））\\哈里·J·史密斯2009年8月9日
（MuPAD）编号：：sigma（2*n）$n=0..81//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（岩浆）[SumOfDivisors（2*n）：n in[1..70]]//文森佐·利班迪2014年10月31日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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经核准的
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1, 2, 6, 7, 13, 17, 25, 26, 39, 45, 57, 61, 75, 83, 107, 108, 126, 139, 159, 165, 197, 209, 233, 237, 268, 282, 322, 330, 360, 384, 416, 417, 465, 483, 531, 544, 582, 602, 658, 664, 706, 738, 782, 794, 872, 896, 944, 948, 1005, 1036, 1108, 1122, 1176, 1216
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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素数的子序列开始于：2，7，13，17，61，83，107，139，197，233，然后不超过a（54）。[乔纳森·沃斯邮报2010年2月14日]
a（n）也是所有正整数<=n分成奇数个相等部分的所有分区中的部分总数-奥马尔·波尔2017年6月4日
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链接
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M.Baake和R.V.Moody，四维相似子模和根系统，arXiv:math/9904028[math.MG]，1999年。
M.Baake和R.V.Moody，四维相似子模和根系统、加拿大。数学杂志。51 (1999), 1258-1276.
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配方奶粉
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a（n）渐近于c*n^2，其中c=Pi^2/24。
通用公式：（1/（1-x））*Sum_{k>=1}k*x^k/（1+x^k）-伊利亚·古特科夫斯基2016年12月23日
a（n）=和{k=1..n}（σ（2k）-2*sigma（k）），其中σ=A000203号.
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MAPLE公司
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使用（numtheory）：
b： =n->add（d，d=选择（x->x:：奇数，除数（n））：
a： =proc（n）选项记忆；b（n）+`if`（n=1,0，a（n-1））结束：
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（v=1，n，sumdiv（v，d，（-1）^（d+1）*v/d））
（PARI）a（n）=总和（k=1，n，sumdiv（k，d，（d%2）*d））\\米歇尔·马库斯2016年4月9日
（岩浆）[&+[&+[除数（k）|IsOdd（d）中的d:d]：[1..n]]中的k：[1..60]]中有n//马里乌斯·A·伯蒂2019年8月28日
（Python）
定义A078471号（n） ：范围（（n>>1）+1，n+1）中k的返回和（k*（n//k））+范围（1，（n>>1）+1）中k的返回和#柴华武2023年4月26日
（Python）
从数学导入isqrt
定义A078471号（n） ：return（t:=isqrt（m:=n>>1））**2*（t+1）-求和（q:=m//k）*（k<<1）+q+1）对于范围（1，t+1）中的k）-（s:=isq rt（n））**2*（s+1）-总和（q:=n//k）*#柴华武2023年10月21日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 5, 11, 19, 32, 44, 58, 82, 100, 120, 152, 176, 207, 247, 277, 309, 357, 405, 443, 499, 541, 585, 663, 711, 768, 840, 894, 966, 1046, 1106, 1168, 1272, 1356, 1424, 1520, 1592, 1666, 1790, 1886, 1966, 2087, 2171, 2279, 2399, 2489, 2601, 2729, 2849, 2947, 3103, 3205, 3309, 3501, 3609, 3719
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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例子
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对于n=3，前三个奇数是[1，3，5]，它们的除数分别是[1]，[1，3]，[1,5]，这些除数的和是1+1+3+1+5=11，因此a（3）=11。
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MAPLE公司
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ListTools:-PartialSums（映射（数字：-sigma，[seq（i，i=1..200，2）]）#罗伯特·伊斯雷尔2019年6月12日
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数学
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累加@DivisorSigma[1，范围[1，109，2]](*迈克尔·德弗利格2019年6月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）条款（n）=my（s=0，i=0）；对于（k=0，n-1，如果（i>=n，中断）；s+=西格玛（2*k+1）；打印1（s，“，”）；i++）
/*打印最初的50个条款如下：*/
（PARI）a（n）=总和（k=1，2*n-1，如果（k%2，sigma（k）））\\米歇尔·马库斯2019年6月8日
（Python）
从数学导入isqrt
定义A326123型（n） ：return（-（s:=isqrt（r:=n<<1））**2*（s+1）+sum（（q:=r//k）*（k<<1）**2*（u+1）-总和（（q:=n//k）*（（k<<1）+q+1）对于范围（1，u+1）中的k）>>1）#柴华武2023年11月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A346870型
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| 前n个正偶数的所有除数之和，每个数中最小和最大的除数除外。 |
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6
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0, 2, 7, 13, 20, 35, 44, 58, 78, 99, 112, 147, 162, 189, 230, 260, 279, 333, 354, 403, 456, 495, 520, 595, 637, 682, 747, 810, 841, 948, 981, 1043, 1120, 1177, 1250, 1372, 1411, 1474, 1563, 1668, 1711, 1850, 1895, 1986, 2129, 2204, 2253, 2408, 2480, 2596, 2709, 2814
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a（n）具有对称表示。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（5*Pi^2/24-1）*n^2+O（n*log（n））-阿米拉姆·埃尔达尔2023年5月15日
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MAPLE公司
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a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，0，
a（n-1）+数字理论[西格玛]（2*n）-1-2*n
结束时间：
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数学
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s[n_]：=除数Sigma[1,2*n]-2*n-1；累积@Array[s，50](*阿米拉姆·埃尔达尔2021年8月19日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
从sympy导入除数
从itertools导入累加
def aupton（nn）：返回列表（累加(A346880型（n） 对于范围（1，nn+1）中的n）
（Python）
从数学导入isqrt
定义A346870型（n） ：return（t:=isqrt（m:=n>>1））**2*#柴华武2023年11月2日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 2, 5, 6, 7, 15, 9, 14, 20, 21, 13, 35, 15, 27, 41, 30, 19, 54, 21, 49, 53, 39, 25, 75, 42, 45, 65, 63, 31, 107, 33, 62, 77, 57, 73, 122, 39, 63, 89, 105, 43, 139, 45, 91, 143, 75, 49, 155, 72, 116, 113, 105, 55, 171, 105, 135, 125, 93, 61, 239, 63, 99, 185, 126, 121
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a（n）具有对称表示。
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链接
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配方奶粉
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求和{k=1..n}a（k）=（5*Pi^2/24-1）*n^2+O（n*log（n））-阿米拉姆·埃尔达尔，2024年3月21日
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例子
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对于n=5，第五个偶数是10，10的除数是[1，2，5，10]，除较小的和最大的以外，10的除数之和是2+5=7，所以a（5）=7。
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数学
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a[n_]：=除数Sigma[1,2*n]-2*n-1；阵列[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2021年8月19日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
从sympy导入除数
定义a（n）：返回和（除数（2*n）[1:-1]）
打印（[a（n）代表范围（1，66）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2021年8月19日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 6, 7, 8, 16, 10, 15, 21, 22, 14, 36, 16, 28, 42, 31, 20, 55, 22, 50, 54, 40, 26, 76, 43, 46, 66, 64, 32, 108, 34, 63, 78, 58, 74, 123, 40, 64, 90, 106, 44, 140, 46, 92, 144, 76, 50, 156, 73, 117, 114, 106, 56, 172, 106, 136, 126, 94, 62, 240, 64, 100, 186, 127
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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第n个正偶数的等分除数（或等分部分）之和。
a（n）具有对称表示。
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链接
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配方奶粉
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求和{k=1..n}a（k）=（5*Pi^2/24-1）*n^2+O（n*log（n））-阿米拉姆·埃尔达尔2024年3月17日
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例子
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对于n=5，第五个偶数是10，10的除数是[1，2，5，10]，10的除最大的以外的除数之和是1+2+5=8，所以a（5）=8。
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数学
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a[n_]：=除数Sigma[1,2*n]-2*n；阵列[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2021年8月20日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
从sympy导入除数
定义a（n）：返回和（除数（2*n）[：-1]）
打印（[a（n）代表范围（1，65）中的n]）#迈克尔·布拉尼基，2021年8月20日
（PARI）a（n）=σ（2*n）-2*n\\米歇尔·马库斯2021年8月20日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000203号,A005843号,A048050型,A062731号,A237593型,A245092型,A244049型,A326124型,A346870型,A346877飞机,A346880型,A347153型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 10, 17, 25, 41, 51, 66, 87, 109, 123, 159, 175, 203, 245, 276, 296, 351, 373, 423, 477, 517, 543, 619, 662, 708, 774, 838, 870, 978, 1012, 1075, 1153, 1211, 1285, 1408, 1448, 1512, 1602, 1708, 1752, 1892, 1938, 2030, 2174, 2250, 2300, 2456, 2529, 2646, 2760
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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前n个正偶数的所有等分除数（或等分部分）之和。
a（n）具有对称表示。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（5*Pi^2/24-1）*n^2+O（n*log（n））-阿米拉姆·埃尔达尔，2023年5月15日
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数学
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s[n_]：=除数Sigma[1,2*n]-2*n；累积@Array[s，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2021年8月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=1，n，k*=2；σ（k）-k）\\米歇尔·马库斯2021年8月20日
（Python）
从sympy导入除数
从itertools导入累加
def aupton（nn）：返回列表（累加(A346878飞机（n） 对于范围（1，nn+1）中的n）
（Python）
从数学导入isqrt
定义A347154型（n） ：return（t:=isqrt（m:=n>>1））**2*#柴华武2023年11月2日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000203号,A005843号,A048050型,A062731号,A237593型,A245092型,A244049型,A326124型,A346870型,A346877飞机,A346880型,A347153型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A372675型
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| a（n）=和{j=1..n}和{k=1..nneneneepσ（j*k）。 |
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+10
三
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1, 14, 59, 190, 401, 914, 1499, 2632, 4113, 6424, 8645, 13284, 17023, 23092, 30715, 40484, 48711, 63890, 75351, 95792, 116421, 139822, 159911, 199176, 229499, 267438, 309283, 364462, 404933, 482792, 532553, 611208, 688593, 772540, 862471, 998760, 1083615, 1200328
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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总和{j=1..n}σ（j*k）~A069097号（k） *Pi^2*n^2/（12*k）。
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链接
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配方奶粉
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a（n）~c*n^4，其中c=Pi^4/（144*zeta（3））=0.56274。。。
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数学
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表[Sum[DivisorSigma[1，j*k]，{j，1，n}，{k，1，n}]，{n，1，50}]
s=1；联接[{1}，表[s+=DivisorSigma[1，n^2]+2*Sum[Divisor西格玛[1，j*n]，{j，1，n-1}]，{n，2，50}]]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 10, 29, 81, 121, 302, 321, 630, 801, 1264, 1177, 2521, 1961, 3234, 4013, 5140, 4267, 8013, 5921, 10701, 10685, 12166, 10321, 20458, 15552, 19610, 21469, 28473, 20671, 40340, 25377, 40351, 39557, 43048, 45849, 70020, 43131, 59690, 63813, 89154, 58087, 106310
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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配方奶粉
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数学
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表[Sum[DivisorSigma[1，k*n]，{k，1，n}]，{n，1，50}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2024年5月13日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=1，n，σ（n*k））；
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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