搜索： a129137-编号：a129137
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A133686号
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| 每个连接组件中最多有一个循环的标记n节点图的数量。 |
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+10
90
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1, 1, 2, 8, 57, 608, 8524, 145800, 2918123, 66617234, 1704913434, 48300128696, 1499864341015, 50648006463048, 1847622972848648, 72406232075624192, 3033607843748296089, 135313823447621913500, 6402077421524339766058, 320237988317922139148736
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.3
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评论
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这些5阶图的总数是608。5阶n个标记节点上的树的森林数是291，因此大多数此类图都有一个或多个单圈。
此外，具有n个顶点的标记图的数量满足严格版本的选择公理。选择公理说，给定任意一组非空集Y，都可以从中选择一个包含元素的集。严格版本要求该集合具有与Y相同的基数，这意味着没有元素被多次选择。相关案例是A129271号，补语140638英镑。未标记的版本为A134964号. -古斯·怀斯曼2023年12月22日
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链接
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配方奶粉
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a（0）=1；对于n>=1，a（n）=n的和！prod_{j=1}^n\{压裂{A129271号（j） ^{c_j}}{j^{cj}cj! } } n，c1+2c_2+…+的所有分区nc_n；c1、c2。。。，c_n>=0。
例如：sqrt（-LambertW（-x）/（x*（1+LambertW（-x）））*exp（-3/4*LambertW（-x，^2）-弗拉德塔·乔沃维奇2008年9月16日
a（n）~2^（-1/4）*Gamma（3/4）*exp（-11/4）*n^（n-1/4）/sqrt（Pi）*（1-7*Pi/（12*Gamma（3/4，^2*sqrt（n）））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年10月8日
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例子
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下面我们看到了n=5的7个分区，其形式为c1+2c_2+…+ncn后跟相应的图数。我们认为A129271号（j） 表中给出
j|1|2|3|4|5|
----+-+-+-+--+---+
a（j）|1|1|4|31|347|
1*5 -> 5!1^5/（1！^5*5！）=1
2*1 + 1*3 -> 5!1^1 * 1^3 / (2!^1 * 1! * 1!^3 * 3!) = 10
2*2 + 1*1 -> 5!1^2 * 1^1 / (2!^2 * 2! * 1!^1 * 1!) = 15
3*1 + 1*2 -> 5!4^1 * 1^2 / (3!^1 * 1! * 1!^2 * 2!) = 40
3*1 + 2*1 -> 5!4^1 * 1^1 / (3!^1 * 1! * 2!^1 * 1!) = 40
4*1 + 1*1 -> 5!31^1 * 1^1 / (4!^1 * 1! * 1!^1 * 1!) = 155
5*1 -> 5!347^1 / (5!^1 * 1!) = 347
总计608
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MAPLE公司
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cy：=proc（n）选项记住；二项式（n-1,2）*
加（n-3）/（n-2-t）*n^（n-2-t），t=1..n-2）
结束时间：
T： =proc（n，k）选项记忆；
如果k=0，则为1
elif k<0或n<k然后为0
否则加上（二项式（n-1，j）*（（j+1）^（j-1）*T（n-j-1，k-j）
+cy（j+1）*T（n-j-1，k-j-1）），j=0..k）
fi（菲涅耳）
结束时间：
a： =n->加（T（n，k），k=0..n）：
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数学
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nn=20；t=总和[n^（n-1）x^n/n！，{n，1，nn}]；范围[0，nn]！系数列表[级数[Exp[t/2-3t^2/4]/（1-t）^（1/2），{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策2012年9月5日*）
表[Length[Select[Subsets[Subsets[Range[n]，｛2｝]]，Select[Tuples[#]，UnnameQ@@#&]={}&]]，{n，0，5}](*古斯·怀斯曼2023年12月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^50）；Vec（塞拉普拉斯（sqrt（-lambertw（-x）/（x*（1+lambertw（-x））））*exp（-（3/4）*lambertw^2））\\G.C.格鲁贝尔2017年11月16日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 1, 15, 222, 3660, 68295, 1436568, 33779340, 880107840, 25201854045, 787368574080, 26667815195274, 973672928417280, 38132879409281475, 1594927540549217280, 70964911709203684440, 3347306760024413356032, 166855112441313024389625, 8765006377126199463936000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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等价地，n个标记节点上的连通单环（即包含一个环）图的数量-弗拉德塔·乔沃维奇2004年10月26日
a（n）是顶点集[n]={1,2，…，n}上以1为根且有一个标记反转的树的数目（反转是一对（i，j），i>j，j是树中i的后代）。这里是标题图（在[n]上）到这些标记树的双射。标题图正好有一个循环。从顶点1到这个循环有一条唯一的路径，首先在k处遇到它，比如说（k可能等于1）。设i和j是循环中k的两个邻居，i是两者中较大的一个。删除边k＜-＞j，从而形成一个树（其中j是i的后代），并将（i，j）作为标记的反转。要反转此贴图，请通过将标记反转的较小元素与较大元素的父元素连接来创建循环。a（n）=二项式（n-1,2）*A129137号（n） ●●●●。这是因为，在上述标记树上，标记反转均匀分布在{2,3，…，n}的2元子集上，因此a（n）/二项式（n-1,2）是[n]上的树数（根植于1），其中（3,2）是反转-大卫·卡伦2007年3月30日
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参考文献
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F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，学术出版社，纽约，1973年。
C.L.Mallows，致N.J.A.Sloane的信，1980年。
R.J.Riddell，《对凝聚理论的贡献》，密歇根大学论文，安娜堡，1951年。
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链接
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费德里科·阿迪拉、马蒂亚斯·贝克、乔迪·麦克沃特、，Coxeter置换面体的算法，arXiv:2004.02952[math.CO]，2020年。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第133页。
S.Janson、D.E.Knuth、T.Luczak和B.Pittel，巨型组件的诞生，arXiv:math/9310236[math.PR]，1993年。
S.Janson、D.E.Knuth、T.Luczak和B.Pittel，巨型组件的诞生《随机结构与算法》第4卷（1993年），233-358。
Young-Jin Kim、Woong Kook、，谐波周期的绕组数和切割数，arXiv:1812.04930[math.CO]，2018年。
Marko Riedel等人。，非同构连通单圈图《数学堆栈交换》，2018年11月。（通过柯西系数公式/拉格朗日反演证明闭合形式。）
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配方奶粉
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具有n个节点和m条边的标记连通图的数目为Sum_{k=1..n}（-1）^（k+1）/k*Sum_{n_1+n2+..n_k=n，n_i>0}n/（产品{i=1..k}（n_i）！）*二项式（s，m），s=Sum{i.k}二项式-弗拉德塔·乔沃维奇2001年4月10日
例如：（1/2）求和{k>=3}T（x）^k/k，其中T（x）=求和{n>=1}n^（n-1）/n！x·n·R·J·里德尔的论文包含了具有m个节点和n条边的连通图的数量的闭式表达式。本系列适用于特殊情况m=n。
例如：-1/2*log（1+兰伯特W（-x））+1/2*兰伯特W（-x）-1/4*兰伯特W（-x）^2-弗拉德塔·乔沃维奇2001年7月9日
渐近展开（xi=sqrt（2*Pi））：n^（n-1/2）*[xi/4-7/6*n^-凯斯·布里格斯2004年8月16日
a（n）=（n^（n-2）*（1-3*n）+经验（n）*伽马（n+1，n）/n）/2-彼得·卢什尼，2016年1月27日
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例子
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例如，a（4）=15，因为有三个不同的（标记的）4圈和12个不同的标记图，其中有一个3圈和一个附加的外部顶点。
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MAPLE公司
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egf:=-1/2*ln（1+兰伯特W（-x））+1/2*LambertW（-x）-1/4*Lambert W（-x^2）：
a： =n->n*系数（系列（egf，x，n+3），x，n）：
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数学
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nn=20；t=总和[n^（n-1）x^n/n！，{n，1，nn}]；下降[Range[0，nn]！系数列表[系列[Log[1/（1-t）]/2-t^2/4-t/2，{x，0，nn}]，x]，1](*杰弗里·克雷策2012年10月7日*）
csm[s_]：=使用[{c=Select[Subsets[Range[Length[s]]，{2}]，Length[Crosection@@s[[#]]>0&]}，如果[c=={}，s，csm[Sort[Append[Delete[s，List/@c[[1]]]，Union@@s[[c[1]]]]]；
表[Length[Select[Subsets[Subsets[Range[n]，{2}]]，Union@#=Range[n]&&Length[#]==n&&Length[csm[#]<=1&]]，{n，0，5}](*古斯·怀斯曼2024年2月19日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
#警告：浮点计算。根据需要调整精度！
从mpmath导入mp，chop，gammanic
mp.dps=200；mp.pretty=真
对于（1..100）中的n：
打印（印章（（n^（n-2）*（1-3*n）+exp（n）*gammanic（n+1，n）/n）/2））
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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侯庆虎和大卫·C·托尼（dct（AT）lanl.gov），2000年9月1日
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 4, 31, 347, 4956, 85102, 1698712, 38562309, 980107840, 27559801736, 849285938304, 28459975589311, 1030366840792576, 40079074477640850, 1666985134587145216, 73827334760713500233, 3468746291121007607808, 172335499299097826575564, 9027150377126199463936000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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因为我们有16棵树，只有9个单圈树，所以这些四阶图中的大多数是树。请参见示例。
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参考文献
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J.Riordan，《组合分析导论》，多佛，2002年，第2页。
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链接
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配方奶粉
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a（0）=1，对于n>=1，a（n）=A000272美元（n）+A057500型（n） =n^{n-2}+（n-1）（n-2）/2Sum_{r=1..n-2}（（n-3）/（n-2-r）！）n ^（n-2-r）
当n>=1时，a（n）=（（n-1）*e^n*GAMMA（n-1，n）+n^（n-2）*（3-n））/2-彼得·卢什尼2016年1月18日
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例子
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a（4）=16+3*3=31。
a（0）=1到a（3）=4图形边集：
{} . {{1,2}} {{1,2},{1,3}}
{{1,2},{2,3}}
{{1,3},{2,3}}
{{1,2},{1,3},{2,3}}
（结束）
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MAPLE公司
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a:=n->`如果`（n=0，1，（n-1）*exp（n）*GAMMA（n-1，n）+n^（n-2）*（3-n））/2）：
seq（简化（a（n）），n=0..16）#彼得·卢什尼2016年1月18日
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数学
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nn=20；t=总和[n^（n-1）x^n/n！，{n，1，nn}]；范围[0，nn]！系数列表[级数[Log[1/（1-t）]/2+t/2-3t^2/4+1，{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策2013年3月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）seq（n）={my（t=-lambertw（-x+O（x*x^n）））；Vec（serlaplace（log（1/（1-t））/2+t/2-3*t^2/4+1））}\\安德鲁·霍罗伊德2019年11月7日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A006649号,A116508号,A134964号,A143543号,A323818型,A367862飞机,A367863飞机,A367867飞机,A367916型,A367917飞机,A368951型。
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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