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%I#102 2024年2月21日22:48:56
%S 0,0,1,1522236606829514365683377934088010784025201854045，
%电话7873685740802666781519527497367292841728038132789409281475，
%电话：159492754054921728070964911709201709203684440334730676002441335603216685511241313024389625876506377126199463936000
%N具有N条边和N个节点的连接标记图的数量。
%C等价地，n个标记节点上连接的单圈（即包含一个圈）图的数量_Vladeta Jovovic_，2004年10月26日
%C a（n）是顶点集[n]={1,2，…，n}上以1为根且有一个标记反转的树的数目（反转是一对（i，j），其中i>j，j是树中i的后代）。这里是标题图（在[n]上）到这些标记树的双射。标题图正好有一个循环。从顶点1到这个循环有一条唯一的路径，首先在k处遇到它，比如说（k可能等于1）。设i和j是循环中k的两个邻居，i是两者中较大的一个。删除边k<->j，从而形成一棵树（其中j是i的后代），并将（i，j）作为标记反转。要反转此贴图，请通过将标记反转的较小元素与较大元素的父元素连接来创建循环。a（n）=二项式（n-1,2）*A129137（n）。这是因为，在上述标记树上，标记反转均匀分布在{2,3，…，n}的2元子集上，因此a（n）/二项式（n-1,2）是[n]上的树数（根植于1），其中（3,2）是反转_David Callan，2007年3月30日
%D F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年。
%D C.L.Mallows，致N.J.A.Sloane的信，1980年。
%D R.J.Riddell，对凝聚理论的贡献，密歇根大学论文，安娜堡，1951年。
%H Alois P.Heinz，n表，n（n）表示n=1..300（华盛顿G.Bomfim的术语n=1..50）
%H Federico Ardila、Matthias Beck、Jodi McWhirter，<a href=“https://arxiv.org/abs/2004.02952“>Coxeter Permutahedra的算法</a>，arXiv:2004.02952[math.CO]，2020。
%H P.Flajolet和R.Sedgewick，<a href=“http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/books.html“>分析组合数学，2009年；参见第133页。
%H S.Janson、D.E.Knuth、T.Luczak和B.Pittel，<a href=“http://arxiv.org/abs/math/9310236“>《巨型组件的诞生》，arXiv:math/9310236[math.PR]，1993年。
%H S.Janson、D.E.Knuth、T.Luczak和B.Pittel，<a href=“http://dx.doi.org/10.1002/rsa.3240040303“>巨分量的诞生，随机结构与算法，第4卷（1993年），233-358。
%H Young-Jin Kim，Woong Kook，<a href=“https://arxiv.org/abs/1812.04930“>谐波循环的绕组数和切割数，arXiv:1812.04930[math.CO]，2018。
%H C.L.Mallows，<a href=“/A006543/A006543.pdf”>致N.J.a.斯隆的信，1980年</a>
%H Marko Riedel等人，<a href=“https://math.stackexchange.com/questions/2992385/“>非同构、连通、单循环图</a>，Math Stackexchange，2018年11月。（通过柯西系数公式/拉格朗日反演证明闭合形式。）
%H Chris Ying，<a href=“https://arxiv.org/abs/1902.06192“>通过迭代图不变量枚举唯一计算图，arXiv:1902.06192[cs.DM]，2019。
%F具有n个节点和m条边的标记连通图的数目是Sum_{k=1..n}（-1）^（k+1）/k*Sum__{n_1+n_2+..n_k=n，n_i>0}n/（产品{i=1..k}（n_i）！）*二项式（s，m），s=Sum_{i.k}二项式_Vladeta Jovovic_，2001年4月10日
%例如：（1/2）和{k>=3}T（x）^k/k，其中T（x）=和{n>=1}n^（n-1）/n！x·n·R·J·里德尔的论文包含了具有m个节点和n条边的连通图的数量的闭式表达式。本系列适用于特殊情况m=n。
%F例如：-1/2*log（1+LambertW（-x））+1/2*LambertW（-x_Vladeta Jovovic_，2001年7月9日
%F渐近展开（xi=sqrt（2*Pi））：n^（n-1/2）*[xi/4-7/6*n^_Keith Briggs，2004年8月16日
%F A098909的行和：a（n）=（n-1）*n^n/2*和{k=3..n}1/（n^k*（n-k）！）.-_Vladeta Jovovic_，2004年10月26日
%F a（n）=和{k=0..C（n-1,2）}k*A052121（n，k）.-_Alois P.Heinz，2015年11月29日
%F a（n）=（n^（n-2）*（1-3*n）+经验（n）*伽马（n+1，n）/n）/2.-_Peter Luschny_，2016年1月27日
%F a（n）=A062734（n，n+1）=A123527（n，n）_Gus Wiseman_，2024年2月19日
%例如，a（4）=15，因为有三个不同的（标记的）4圈和12个不同的标记图，其中有一个3圈和一个附加的外顶点。
%p egf:=-1/2*ln（1+LambertW（-x））+1/2*LambertW（-x
%p a：=n->n*系数（系列（egf，x，n+3），x，n）：
%p序列（a（n），n=1..25）；#_Alois P.Heinz，2013年3月27日
%t nn=20；t=总和[n^（n-1）x^n/n！，{n，1，nn}]；下降[Range[0，nn]！系数列表[系列[Log[1/（1-t）]/2-t^2/4-t/2，{x，0，nn}]，x]，1]（*_Geoffrey Criter_，2012年10月7日*）
%t a[n_]：=（n-1）*n^n/2*和[1/（n^k*（n-k）！），{k，3，n}]；表[a[n]，{n，1，20}]（*_Jean-François Alcover_，2014年1月15日，摘自_Vladeta Jovovic_*）
%t csm[s_]：=带[｛c=Select[Subsets[Range[Length[s]]，｛2｝]，Length[Cintersection@@s[[#]]>0&]｝，If[c==｛｝，s，csm[Sort[Append[Delete[s，List/@c[[1]]]，Union@@s[[c[[1]]]]]；
%t表[Length[Select[Subsets[Subsets[Range[n]，｛2｝]]，并集@@#=Range[n]&&长度[#]=n&&长度[csm[#]]<=1&]]，｛n，0.5｝]（*_Gus Wiseman_，2024年2月19日*）
%o（鼠尾草）
%o#警告：浮点计算。根据需要调整精度！
%o从mpmath导入mp，chop，gammanic
%o mp.dps=200；mp.pretty=真
%o表示n in（1..100）：
%o打印（印章（（n^（n-2）*（1-3*n）+exp（n）*gammanic（n+1，n）/n）/2））
%o#_Peter Luschny_，2016年1月27日
%Y A343088的对角线。
%Y Cf.A000272=n个节点上的标记树；k=0..8时具有n个节点和n+k条边的连通标记图：此序列，A061540，A061541，A06154，A06153，A096117，A061 544，A096150，A096224。
%Y参见A001429（未标记案例），A052121。
%Y对于任意数量的边，我们有A001187，未标记A001349。
%Y这是A116508的连接和覆盖外壳。
%Y对于#edges<=#节点，我们有A129271，涵盖A367869。
%Y对于#edges>#节点，我们有A140638，覆盖A367868。
%Y这是A367862和A367863的连接案例，未标记A006649。
%Y带环的型号为A368951，未标记为A368983。
%这是A370317的保险箱。
%Y仅计算覆盖顶点得出A370318。
%Y A006125统计图形，A000088未标记。
%Y A006129统计覆盖图，A002494未标记。
%Y参见A062734、A133686、A143543、A323818、A367916、A367911、A369191、A369197。
%K容易，不是
%O 1,4型
%侯庆虎和大卫·C·托尼（dct（AT）lanl.gov），2000年9月1日
%E更多条款摘自2001年7月9日的_Vladeta Jovovic
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