显示找到的14个结果中的1-10个。
a（n）=和{i=0..n}2^i*B（i）*二项式（n，i），其中B（n）=Bell数A000110号（n） ●●●●。
+10
16
1, 3, 13, 71, 457, 3355, 27509, 248127, 2434129, 25741939, 291397789, 3510328695, 44782460313, 602513988107, 8518757813637, 126179029108463, 1952609274344353, 31492811964616163, 528249539951292461, 9197240228562763687, 165923214676585626729
链接
Toufik Mansour和Mark Shattuck，与贝尔数有关的一个递归，INTEGERS 11（2011），#A67。
公式
a（n）=e^（-1）*2^n*和{k>=0}（k+1/2）^n/k！。这是一个Dobinski类型的公式-卡罗尔·彭森和奥利维尔·杰拉德2007年10月22日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-（2*k+3）*x-4*（k+1）*x^2/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年5月3日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x-2*x/（1-2*x*（2*k+1）/（1-x-2*x/（1-2%x*（2*k+2）/Q（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月13日
a（0）=1；a（n）=a（n-1）+和{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*2^k*a（n-k）-伊利亚·古特科夫斯基2022年6月21日
a（n）~贝尔（n）*（2+LambertW（n）/n）^n。
a（n）~Bell（n）*2^n*sqrt（n）*log。（结束）
a（n）~2^n*n^（n+1/2）*exp（n/LambertW（n）-n-1）/（sqrt（1+LambertW（n-瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月27日
MAPLE公司
with（combstruct）：seq（count（（[S，{N=并集（Z，S，P），S=集合（并集（Z，P）），card>=0），P=集合（联合（Z，Z），card>=1）}，labeled]，size=N）），N=0..20）#零入侵拉霍斯2008年3月18日
数学
表[Sum[2^k二项式[n，k]BellB[k]，{k，0，n}]，{n，0，30}](*卡罗尔·彭森和奥利维尔·杰拉德2007年10月22日*）
黄体脂酮素
（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（塞拉普拉斯语（exp（exp）（2*x）-1+x））\\乔格·阿恩特2013年5月13日
a（n）=和{i=0..n}（-2）^i*二项式（n，i）*B（i）其中B（n）=Bell数A000110号（n） ●●●●。
+10
14
1, -1, 5, -21, 121, -793, 5917, -49101, 447153, -4421105, 47062773, -535732805, 6484924585, -83079996041, 1121947980173, -15915567647101, 236442490569825, -3668776058118881, 59316847871113445, -997182232031471477, 17397298225094055897, -314449131128077197561
评论
序列具有严格的交替符号。变Dobinski型公式e^（-1）*（2）^n*Sum_{k>=0}（（k-1/2）^n/k！）是绝对肯定的-卡罗尔·彭森和奥利维尔·杰拉德2007年10月22日
公式
G.f.：1/U（0），其中U（k）=1+x*（2*k+1）-4*x^2*（k+1）/U（k+1；（连分数，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月11日
a（n）~（-2）^n*n^（n-1/2）*exp（n/LambertW（n）-n-1）/（sqrt（1+LambertW（n-瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月26日
a（0）=1；a（n）=a（n-1）+和{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*（-2）^k*a（n-k）-伊利亚·古特科夫斯基2023年11月29日
数学
表[Sum[（-2）^（k）二项式[n，k]BellB[k]，{k，0，n}]，{n，0，50}](*卡罗尔·彭森和奥利维尔·杰拉德2007年10月22日*）
使用[{nn=30}，系数列表[Series[Exp[Exp[2x]-1+x]，{x，0，nn}]，x]范围[0，nn]！](*哈维·P·戴尔，2016年3月4日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
T=[0]*（n+1）；R=[1]
对于m in（1..n-1）：
a、 b，c=1，0，0
对于范围（m，-1，-1）中的k：
r=a+2*（k*（b+c）+c）
如果k<m:T[k+2]＝u；
a、 b，c=T[k-1]，a，b
u=r
T[1]=u；
R.append（（-1）^m*总和（T））
返回R
（SageMath）
定义A124311号（n） ：返回范围（n+1）中k的和（（-2）^k*二项式（n，k）*bell_number（k））
（岩浆）
A124311号：=func<n|（&+[（-2）^k*二项式（n，k）*Bell（k）:k in[0..n]]）>；
1, -2, 5, -13, 36, -101, 293, -848, 2523, -7365, 22402, -64395, 205285, -541802, 2057617, -3403993, 28685420, 43885023, 824532745, 4878097904, 44263112047, 357891860463, 3169228222338, 28506399763969, 266822555964441, 2573194635922990, 25606751525353741
公式
G.f.A（x）满足：A（x）=（1-x+x*A（x/（1-x）））/（1-x）*（1+3*x））。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（-3）^（n-k）*Bell（k）。
a（n）=经验（-1）*和{k>=0}（k-3）^n/k！。
a（0）=1；a（n）=-3*a（n-1）+和{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*a（k）。
数学
nmax=26；系数列表[Series[Exp[x]-3 x-1]，{x，0，nmax}]，x]Range[0，nmax]！
表[Sum[二项式[n，k]（-3）^（n-k）BellB[k]，{k，0，n}]，{n，0，26}]
a[0]=1；a[n]：=a[n]=-3a[n-1]+和[二项式[n-1，k]a[k]，{k，0，n-1}]；表[a[n]，｛n，0，26｝]
黄体脂酮素
（岩浆）
R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），50）；
系数（R！（拉普拉斯（Exp（x）-3*x-1））//G.C.格鲁贝尔，2024年6月12日
（SageMath）
[阶乘（n）*（exp（x）-3*x-1））.series（x，n+1）.list（）[n]用于（0..30）中的n]#G.C.格鲁贝尔，2024年6月12日
a（n）=n！*[x^n]经验（经验（x）-n*x-1）。
+10
9
1, 0, 2, -13, 127, -1573, 23711, -421356, 8626668, -199971255, 5177291275, -148078588667, 4636966634653, -157786054331852, 5797411243015250, -228749440644895405, 9646951350227609155, -433035586385769361001, 20614401475233006857035, -1037331650810058231498688
公式
a（n）~（-1）^n*exp（exp（-1）-1）*n^n-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年8月4日
MAPLE公司
b： =proc（n，k）选项记忆`如果`（n=0，1，
k*b（n-1，k）+b（n-1，k+1））
结束时间：
a： =n->b（n，-n）：
数学
表[n！系列系数[Exp[x]-n x-1]，{x，0，n}]，{n，0，19}]
联接[{1}，表[Sum[（-n）^（n-k）二项式[n，k]BellB[k]，{k，0，n}]，{n，1，19}]]
黄体脂酮素
（岩浆）
R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），50）；
A290219型：=func<n|系数（R！（拉普拉斯（Exp（x）-n*x-1）），n）>；
（SageMath）[阶乘（n）*（exp（x）-n*x-1））.series（x，n+1）.list（）[n]用于（0..30）中的n]#G.C.格鲁贝尔，2024年6月12日
1, -3, 10, -35, 127, -472, 1787, -6855, 26572, -103765, 407695, -1608378, 6369117, -25271183, 100542930, -400114103, 1597052419, -6359524256, 25481982047, -101103395443, 409291679676, -1592903606657, 6729506287091, -23748796926026, 123501587468073, -227183793907851
公式
G.f.A（x）满足：A（x）=（1-x+x*A（x/（1-x）））/（1-x）*（1+4*x））。
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*（-4）^（n-k）*Bell（k）。
a（n）=经验（-1）*和{k>=0}（k-4）^n/k！。
a（0）=1；a（n）=-4*a（n-1）+和{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*a（k）。
数学
nmax=25；系数列表[Series[Exp[x]-4 x-1]，{x，0，nmax}]，x]Range[0，nmax]！
表[Sum[二项式[n，k]（-4）^（n-k）BellB[k]，{k，0，n}]，{n，0，25}]
a[0]=1；a[n]：=a[n]=-4a[n-1]+和[二项式[n-1，k]a[k]，{k，0，n-1}]；表[a[n]，{n，0，25}]
黄体脂酮素
（岩浆）
R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），30）；
系数（R！（拉普拉斯（Exp（x）-4*x-1））//G.C.格鲁贝尔，2024年6月12日
（SageMath）
[阶乘（n）*（exp（x）-4*x-1））.series（x，n+1）.list（）[n]用于（0..30）中的n]#G.C.格鲁贝尔，2024年6月12日
1, -4, 17, -75, 340, -1573, 7393, -35178, 169035, -818603, 3989250, -19538555, 96084397, -474052868, 2344993157, -11624422855, 57722000172, -287012948441, 1428705217949, -7118044107698, 35489117143047, -177036294035559, 883588566571138, -4411213326568599, 22032317835916969
公式
G.f.A（x）满足：A（x）=（1-x+x*A（x/（1-x）））/（1-x）*（1+5*x））。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（-5）^（n-k）*Bell（k）。
a（n）=经验（-1）*和{k>=0}（k-5）^n/k！。
a（0）=1；a（n）=-5*a（n-1）+和{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*a（k）。
数学
nmax=24；系数列表[Series[Exp[x]-5 x-1]，{x，0，nmax}]，x]Range[0，nmax]！
表[Sum[二项式[n，k]（-5）^（n-k）BellB[k]，{k，0，n}]，{n，0，24}]
a[0]=1；a[n]：=a[n]=-5a[n-1]+和[二项式[n-1，k]a[k]，{k，0，n-1}]；表[a[n]，｛n，0，24｝]
黄体脂酮素
（岩浆）
R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），30）；
系数（R！（拉普拉斯（Exp（x）-5*x-1）））//G.C.格鲁贝尔，2024年6月12日
（SageMath）
[阶乘（n）*（exp（x）-5*x-1））.series（x，n+1）.list（）[n]用于（0..30）中的n]#G.C.格鲁贝尔，2024年6月12日
按行读取三角形：第n行给出了Sheffer序列（二项式）的系数C（n，j），带有降低运算符（D-1）/2+T{（1/2）*exp[（D-1，/2]}，其中T（x）是Cayley的Tree函数。
+10
5
1, -1, 1, -1, -3, 1, -1, -1, -6, 1, -1, 5, 5, -10, 1, -1, 19, 30, 25, -15, 1, -1, 49, 49, 70, 70, -21, 1, -1, 111, -70, -91, 70, 154, -28, 1, -1, 237, -883, -1218, -861, -126, 294, -36, 1, -1, 491, -4410, -4495, -3885, -2877, -840, 510, -45, 1
参考文献
S.Roman，《数学微积分》，学术出版社，纽约，1984年。
G.Rota，《有限算子微积分》，学术出版社，纽约，1975年。
公式
行多项式为P（n，t）=和{j=1..n}C（n，j）*t^j=[Bell（.，-t）+2t]^n，隐含地，其中Bell（j，t）是中描述的Touchard/Bell/指数多项式A008277号，P（0，t）=1。
例如：exp{t*[-exp（x）+2x+1]}和[P（.，t）+P（.，s）]^n=P（n，s+t）。
降低算子给出L[P（n，t）]=n*P（n-1，t）=（D-1）/2*P（n，t）+Sum_{j>=1}j^（j-1）*2^（-j）/j！*exp（-j/2）*P（n，t+j/2）。
提升算子给出R[P（n，t）]=P（n+1，t）=2t*{P（n，t）-Sum_{j>=1}j^（j-1）*2^（-j）/j！*exp（-j/2）*P（n，t+j/2）}。
因此P（n+1，t）=2t*{[（1+D）/2*P（n，t）]-n*P（n-1，t）}。
有关Sheffer序列和本影演算的更多公式，包括展开定理，请参阅Rota、Roman、Mathworld或Wikipedia。
定义Q（n，z；w）=[Bell（.，w）+z]^n。然后Q（n、z；w=e^（-w）exp（a.w）=exp[（a.-1）w]，其中（a.）^k=a_k=（k+z）^n和（a.-1）^m=和{k=0，..，m}（-1）^ka^（m-k）。则P（n，t）=Q（n，2t；-t）。
例如，exp[（a.-1）w]=（a.-1a_0+（a_1-a_0）w+（a_2-2a_1+a_0）w^2！+…=z^n+[（1+z）^n-z^n]w+[（2+z）*n-2（1+z）^n+z^n]w^2/2！+。
（结束）
例子
三角形开始于：
[1] 1;
[2] -1, 1;
[3] -1, -3, 1;
[4] -1, -1, -6, 1;
[5] -1, 5, 5, -10, 1;
[6] -1, 19, 30, 25, -15, 1;
[7] -1, 49, 49, 70, 70, -21, 1.
P（3，t）=[B（.，-t）+2t]^3=B（3，-t”）+3B（2，-t“）2t+3B（1，-t，（2t）^2+（2t”）^3=（-t+3t^2-t^3）+3（-t+t^2）（2t。
MAPLE公司
#将（1，0，0，…）添加为列0。
BellMatrix（n->`if`（n=0，1，-1），9）#彼得·卢什尼2016年1月27日
数学
最大值=8；s=序列[Exp[t*（-Exp[x]+2*x+1）]，{x，0，max}，{t，0，max}]//正常；t[n_，k_]：=序列系数[s，{x，0，n}，{t，0，k}]*n！；表[t[n，k]，{n，0，max}，{k，1，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年4月23日*）
BellMatrix[f_Function，len_]：=使用[{t=数组[f，len，0]}，表[BellY[n，k，t]，{n，0，len-1}，{k，0，ren-1}]]；
行=12；
M=BellMatrix[如果[#==0，1，-1]&，行]；
1, 3, 8, 19, 41, 84, 171, 347, 690, 1385, 2825, 5438, 11077, 24535, 33720, 102623, 350605, -1120228, 5876775, 11232063, -256532422, 1748895117, -4057110163, -42841409122, 605093026361, -3691581277925, 3538657621384, 186391745956155, -2296017574506751
公式
例如：exp（2*x+1-exp（-x））=1+3*x+8*x^2/2+19*x^3/3！+。。。。
a（n）=经验（1）*和{k>=0}（-1）^k*（2-k）^n/k！。囊性纤维变性。A126617号. -彼得·巴拉2011年10月28日。
G.f.：（G（0）-1）/（x-1），其中G（k）=1-1/（1+k*x-2*x）/（1-x/（x-1/G（k+1））；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月17日
a（0）=1；a（n）=2*a（n-1）-和{k=1..n}（-1）^k*二项式（n-1，k-1）*a（n-k）-伊利亚·古特科夫斯基2023年12月1日
例子
a（3）=19=（1,3,3,1）点（1,2,3,3）=（1+6+9+3）；哪里A109747号= (1, 2, 3, 3, 2, 3, 5, -4, 5, 55, -212, ...).
数学
连接[{1}，剩余[CoefficientList[Series[Exp[2*x+1-Exp[-x]]，{x，0，50}]，x]*范围[0，50]！]](*G.C.格鲁贝尔2016年8月31日*）
扩展例如f.exp（3*（exp（x）-1）-2*x）。
+10
4
1, 1, 4, 13, 61, 304, 1747, 10945, 74830, 550687, 4335109, 36272086, 320980645, 2991373597, 29253607780, 299258487553, 3193634980753, 35469069928792, 409082335024591, 4890313138089133, 60489400453642822, 772967507343358171, 10189818916331129017, 138398721137005215526
公式
G.f.A（x）满足：A（x。
a（n）=exp（-3）*Sum_{k>=0}3^k*（k-2）^n/k！。
a（0）=1；a（n）=-2*a（n-1）+3*Sum_{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*a（n-k）。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（-2）^（n-k）*A027710美元（k） ●●●●。
数学
nmax=23；系数列表[系列[Exp[3（Exp[x]-1）-2 x]，｛x，0，nmax｝]，x]范围[0，nmax]！
a[0]=1；a[n]：=a[n]=-2a[n-1]+3和[二项式[n-1，k-1]a[n-k]，{k，1，n}]；表[a[n]，{n，0，23}]
表[Sum[二项式[n，k]（-2）^（n-k）BellB[k，3]，{k，0，n}]，{n，0，23}]
黄体脂酮素
（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；Vec（塞拉普拉斯（exp（3*（exp）-1）-2*x））\\米歇尔·马库斯2023年12月4日
A（n，k）是Bell数的第k个二项式逆变换的第n项(A000110号); 方阵A（n，k），n>=0，k>=0。
+10
三
1, 1, 1, 1, 0, 2, 1, -1, 1, 5, 1, -2, 2, 1, 15, 1, -3, 5, -3, 4, 52, 1, -4, 10, -13, 7, 11, 203, 1, -5, 17, -35, 36, -10, 41, 877, 1, -6, 26, -75, 127, -101, 31, 162, 4140, 1, -7, 37, -139, 340, -472, 293, -21, 715, 21147, 1, -8, 50, -233, 759, -1573, 1787, -848, 204, 3425, 115975
公式
k列的示例：exp（exp（x）-k*x-1）。
A（n，k）=和{j=0..n}（-k）^j*二项式（n，j）*Bell（n-j）。
例子
方阵A（n，k）开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, ...
2, 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, ...
5, 1, -3, -13, -35, -75, -139, -233, ...
15, 4, 7, 36, 127, 340, 759, 1492, ...
52, 11, -10, -101, -472, -1573, -4214, -9685, ...
203, 41, 31, 293, 1787, 7393, 23711, 63581, ...
877, 162, -21, -848, -6855, -35178, -134873, -421356, ...
MAPLE公司
A： =proc（n，k）选项记忆；使用组合；
加法（二项式（n，j）*（-k）^j*bell（n-j），j=0..n）
结束时间：
seq（seq（A（n，d-n），n=0..d），d=0..10）；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，m）选项记忆；
`如果`（n=0，1，b（n-1，m+1）+m*b（n-1，m））
结束时间：
A： =（n，k）->b（n，-k）：
seq（seq（A（n，d-n），n=0..d），d=0..10）；
数学
T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k==0，BellB[n]，和[（-k）^j*二项式[n，j]*BellB[n-j]，{j，0，n}]]；
黄体脂酮素
（岩浆）
T： =func<n，k|（&+[（-k）^j*二项式（n，j）*Bell（n-j）：[0..n]]）>中的j；
（SageMath）
定义T（n，k）：返回范围（n+1）中j的总和（（-k）^j*二项式（n，j）*bell_number（n-j））
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