搜索： a047918-编号：a047919
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A002618号
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| a（n）=n*φ（n）。
（原名M1568 N0611）
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1, 2, 6, 8, 20, 12, 42, 32, 54, 40, 110, 48, 156, 84, 120, 128, 272, 108, 342, 160, 252, 220, 506, 192, 500, 312, 486, 336, 812, 240, 930, 512, 660, 544, 840, 432, 1332, 684, 936, 640, 1640, 504, 1806, 880, 1080, 1012, 2162, 768, 2058, 1000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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也是n^2的Euler phi函数。
对于n>=3，a（n）也是2n阶二面体群的自同构群的大小。这个自同构群与变换群x->ax+b同构，其中a、b和x是模n的整数，a是n的互质，其阶为n*phi（n）Ola Veshta（olaveshta（AT）my-deja.com），2001年3月18日
似乎这个序列给出了1，2，3，…，的排列数。。。，是模n的算术级数-约翰·莱曼2008年8月27日
莱曼的推测是正确的。显然，任何这样的排列都必须有一个从质数到n的增量，而且几乎同样明显，任何这样一个增量都会在任何起始值下起作用；因此φ（n）*n总计-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年6月9日
把从1到n^2的数字逐行写成一个nXn正方形：a（n）=与所有水平和垂直直接相邻的数互素-莱因哈德·祖姆凯勒2011年4月12日
n->a（n）是内射的：a（m）=a（n-弗朗茨·弗拉贝克，2012年12月12日（有关证明，请参阅数学堆栈交换链接。）
猜想：所有有理数和{i=j.k}1/a（i）的0<min{2，k}<=j<=k都有成对不同的分数部分-孙志伟，2015年9月24日
a（n）是n阶循环群的全形的阶（参见维基百科链接）。注意，除非n=2，否则Hol（C_n）和Aut（D_{2n}）是同构的，其中D_{3n}是2*n阶二面体群。参见Wordpress链接。
奇数项构成了A341298型奇数阶阿贝尔群的全形是一个完备群。参见W.Peremans链接第618页定理3.2。（结束）
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参考文献
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Peter Giblin，《素数与编程：计算数论导论》。剑桥：剑桥大学出版社（1993），第116页，练习1.10。
J.L.Lagrange，《奥弗莱斯》，第三卷，巴黎，1869年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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米哈伊尔·加布杜林（Mikhail R.Gabdullin）和维塔利·尤德利维奇（Vitalii V.Iudelevich），形式kf（k）的数字，arXiv:2201.09287[math.NT]（2022）。
F.Luca和A.O.Munagi，形成模m的算术级数的排列数《亚历山德鲁·伊昂库扎大学年鉴》，2014年，内政部：10.2478/aicu-2014-0053。[断开的链接]
W.Peremans，全纯图的完备性荷兰阿卡德。韦滕施。印度。数学。程序。序列号。A、 60。(1957) 608-619.
J.E.A.Steggall，关于可以从某些元素导出的模式数、Mess。数学。，37 (1907), 56-61. [带注释的扫描副本。请注意，扫描的页面顺序不正确]
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配方奶粉
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与a（p^e）相乘=（p-1）*p^（2e-1）-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
Dirichlet g.f.：zeta（s-2）/zeta（s-1）-R.J.马塔尔2011年2月9日
通用公式：-x+2*Sum_{k>=1}mu（k）*k*x^k/（1-x^k）^3-伊利亚·古特科夫斯基2017年1月3日
定义f（x）=#{n<=x:a（n）<=x}。Gabdullin和Iudelevich证明了f（x）~c*sqrt（x）对于c=Product_{pprime}（1+1/（p*（p-1+sqrt，p^2-p））=1.3651304521525857-查尔斯·格里特豪斯四世2022年3月16日
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例子
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a（4）=8，因为φ（4）=2和4*2=8。
a（5）=20，因为φ（5）=4和5*4=20。
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MAPLE公司
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（数值理论）：a：=n->phi（n^2）：seq（a（n），n=1.50）#零入侵拉霍斯2007年10月7日
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数学
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表[n EulerPhi[n]，｛n，100｝](*阿图尔·贾辛斯基2008年1月22日*）
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黄体脂酮素
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（MuPAD）编号：：φ（n^2）$n=1..81//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（Sage）[euler_phi（n^2）for n in range（1,51）]#零入侵拉霍斯，2009年6月6日
（岩浆）[1..150]]中的[n*EulerPhi（n）：n//文森佐·利班迪2011年4月4日
（哈斯克尔）
（Python）
从sympy导入到客户端作为phi
定义a（n）：返回n*phi（n）
打印（[a（n）代表范围（1,51）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年3月16日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002619号,A047918美元,A000010号,A053650型,A053191号,A053192号,A036689号,A058161号,A009262号,A082473号（相同术语，按升序排序），A256545型,A327172型（左反转），A327173型,A065484号.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A002619号
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| n X n板上的2色图案的数量。
（原名M0887 N0336）
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1, 1, 2, 3, 8, 24, 108, 640, 4492, 36336, 329900, 3326788, 36846288, 444790512, 5811886656, 81729688428, 1230752346368, 19760413251956, 336967037143596, 6082255029733168, 115852476579940152, 2322315553428424200, 48869596859895986108
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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在元素的循环排列下，循环排列（直到旋转）集合中的轨道数-迈克尔·斯泰尔2001年10月6日
Moser证明了（1/n^2）*Sum_{d|n}k^d*phi（n/d）^2*（n/d）^d*d！是一个整数。这里我们有k=1-米歇尔·马库斯2012年11月2日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
J.E.A.Steggall，关于可从某些元素导出的图案数量，Mess。数学。，37 (1907), 56-61.
K.Yordzhev，关于对称群中因子集的基数。亚欧数学杂志，第7卷，第2期（2014）1450027，doi:10.1142/S1793557114500272，ISSN:1793-5571，E-ISSN:1973-7183，Zbl 1298.05035。
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链接
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安德拉斯·斯齐拉，威尔逊定理的组合推广《澳大利亚组合数学杂志》，第49卷（2011年），第265-272页。见定理3.c第269页。
J.E.A.Steggall，关于可以从某些元素导出的模式数、Mess。数学。，37 (1907), 56-61. [带注释的扫描副本。请注意，扫描的页面顺序不正确]
赛义德·扎克里，循环置换：度与组合类型，arXiv:1909.03300[math.DS]，2019年。见第10页的表2。
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配方奶粉
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a（n）=和{k|n}u（n，k）/（nk），其中u（n、k）=A047918号（n，k）。
设A（n，k）=（1/n^2）*Sum_{d|n}k^d*phi（n/d）^2*（n.d）^d*d！，然后：
A（n，k）=（1/n^2）*Sum_{i=1..n}k^gcd（n，i）*phi（n/gcd（n，i））*（n/gcad（n，l））^gcd！。
A（n，k）=（1/n^2）*Sum_{i=1..n}k^（n/gcd（n，i））*phi（gcd（n，i））^2*（gcd，i）^！。
a（n）=a（n，1）。（结束）
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例子
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n=6:{（123456）}、{（135462）、（246513）、（351624）}和{（124635）、（235146）、（346251）、（451362）、、（562413）和（613524）}是24个轨道中的3个，分别由1、3和6个排列组成。
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MAPLE公司
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使用（数字理论）：a:=proc（n）局部div:div:=除数（n）：和（phi（div[j]）^2*（n/div[j]*div[j]^（n/div[j]），j=1..tau（n））/n^2结束：seq（a（n），n=1..23）#Emeric Deutsch公司2005年8月23日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={sumdiv（n，d，eulerphi（n/d）^2*d！*（n/d）^d）/n^2}\\安德鲁·霍罗伊德2018年9月9日
（Python）
从sympy导入到第三、阶乘、除数
定义A002619号（n） ：返回和（totient（m:=n//d）**2*阶乘（d）*m**d for d in divisors（n，generator=True））//n**2#柴华武2022年11月7日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A047916号
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| 行读取的三角形数组：a（n，k）=phi（n/k）*（n/k）^k*k！如果k | n否则为0（1<=k<=n）。 |
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1, 2, 2, 6, 0, 6, 8, 8, 0, 24, 20, 0, 0, 0, 120, 12, 36, 48, 0, 0, 720, 42, 0, 0, 0, 0, 0, 5040, 32, 64, 0, 384, 0, 0, 0, 40320, 54, 0, 324, 0, 0, 0, 0, 0, 362880, 40, 200, 0, 0, 3840, 0, 0, 0, 0, 3628800, 110, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 39916800, 48, 144
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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参考文献
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J.E.A.Steggall，关于可从某些元素导出的图案数量，Mess。数学。，37 (1907), 56-61.
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链接
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J.E.A.Steggall，关于可以从某些元素导出的模式数、Mess。数学。，37 (1907), 56-61. [带注释的扫描副本。请注意，扫描的页面顺序不正确]
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例子
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1; 2,2; 6,0,6; 8,8,0,24; 20,0,0,0,120; 12,36,48,0,0,720; ...
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数学
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a[n_，k_]：=如果[n，k]可除，EulerPhi[n/k]*（n/k）^k*k！，0]; 扁平[表[a[n，k]，{n，1，12}，{k，1，n}]](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年5月4日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。列表（zipWith4）
a047916 n k=a047916_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a047916_row n=a047916 _ tabl！！（n-1）
a047916_tabl=zipWith4（zipWith 4（\x u v w->x*v^u*w））
a054523表a002260表a010766表a166350表
（PARI）a（n，k）=如果（n%k，0，eulerphi（n/k）*（n/k）^k*k！）\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年2月9日
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交叉参考
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作者
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经核准的
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1, 4, 12, 40, 140, 816, 5082, 40800, 363258, 3632880, 39916910, 479052528, 6227020956, 87178936992, 1307674429440, 20922800222848, 355687428096272, 6402373892575992, 121645100408832342, 2432902011892837920
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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a（n）=Sum_{d|n}φ（n/d）*（n/d）^d*d-米歇尔·马库斯2016年3月6日
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MAPLE公司
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A064649号：=proc（n）局部d，s；s：=0；对于除数（n）中的d，做s：=s+phi（n/d）*（n/d）^d*d！；od；申报表；结束；
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数学
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a[n_]：=除数和[n，EulerPhi[n/#]*（n/#）^#*#！&]；数组[a，20](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2016年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{对于（n=1100，a=0；v=除数（n）；对于（i=1，长度（v），d=v[i]；a+=eulerphi（n/d）*（n.d）^d*d！）；写入（“b064649.txt”，n，“”，a））}\\哈里·史密斯2009年9月21日
（PARI）a（n）=sumdiv（n，d，eulerphi（n/d）*（n/d）^d*d！）\\米歇尔·马库斯，2016年3月6日
（哈斯克尔）
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交叉参考
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 0, 1, 4, 18, 102, 624, 4476, 36248, 329890, 3326054, 36846276, 444783906, 5811885808, 81729607680, 1230752346352, 19760412095328, 336967037143578, 6082255011151724, 115852476579789984, 2322315553090615850, 48869596859895986086, 1077167364116800207968
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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a（n）=和{k|n}μ（n/k）*phi（n/k）*（n/k）^k*k/n ^2个=A047918号（n，n）/n^2。
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例子
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n=6：轨道{（124635）（235146）（346251）（451362）（562413）（613524）}由6个单排列组成。
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数学
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a[n_]：=总和[MoebiusMu[n/k]*EulerPhi[n/k]*（n/k）^k*（k！/n^2），{k，除数[n]}]；表[a[n]，{n，1，22}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年6月26日，PARI之后*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=1,23，打印（sumdiv（n，d，moebius（n/d/n^2））
（PARI）{表示（n=1100，a=sumdiv（n，d，moebius（n/d）*eulerphi（n/d）*（n/d）^d*d！/n^2）；写入（“b064852.txt”，n，“”，a））}\\哈里·史密斯2009年9月28日
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交叉参考
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关键词
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美好的,非n
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作者
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迈克尔·斯泰尔（m.Steyer（AT）osram.de），2001年10月6日
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扩展
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状态
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经核准的
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A047919号
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| 按行读取的三角形数组：a（n，k）=Sum_{d|k}mu（d）*U（n，k/d）/n，如果k|n为0，其中U（n、k）=A047916号（n，k）（1≤k≤n）。 |
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2
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1, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 20, 2, 4, 6, 0, 0, 108, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 714, 4, 4, 0, 40, 0, 0, 0, 4992, 6, 0, 30, 0, 0, 0, 0, 0, 40284, 4, 16, 0, 0, 380, 0, 0, 0, 0, 362480, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3628790, 4, 8, 60, 312, 0, 3768, 0, 0, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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参考文献
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J.E.A.Steggall，关于可从某些元素导出的图案数量，Mess。数学。，37 (1907), 56-61.
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链接
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J.E.A.Steggall，关于可以从某些元素导出的模式数、Mess。数学。，37 (1907), 56-61. [带注释的扫描副本。请注意，扫描的页面顺序不正确]
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数学
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U[n_，k_]：=如果[n，k]可除，EulerPhi[n/k]*（n/k）^k*k！，0]; a[n_，k_]：=和[If[n，k]，MoebiusMu[d]*U[n，k/d]，0]，{d，除数[k]}]；行[n_]：=表[a[n，k]，{k，1，n}]/n；表[行[n]，{n，1，12}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年11月21日之后A047918号*)
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a047919 n k=a047919_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a047919_row n=a047919 _ tabl！！（n-1）
a047919_tabl=zipWith（zipWithdiv）a047918_tabl a002024_tabl
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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