搜索： a047265-编号：a047264
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A047654号
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| （乘积{j>=1}（1-（-x）^j）-1）^2的x次幂展开。 |
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+10
25
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1, -2, 1, 0, -2, 2, -2, 2, 1, 0, 2, -2, 3, 0, 2, 0, 0, 2, -2, 0, -2, 2, -1, 0, 0, -2, -2, -2, 1, -2, 0, -2, -2, 0, 2, 0, -2, 0, -2, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 1, 2, 0, -2, 2, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 2, 0, -4, 0, 0, 2, 1, -2, 0, -2, 0, 0, 0, 0, 2, -4, 1, 0, 0, -2, -2, -2, -2, 0, 0, -2, 0, 2, -2, 2, -2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
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链接
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配方奶粉
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a（n）=[x^n]（QPochhammer（-x）-1）^2-G.C.格鲁贝尔2023年9月7日
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MAPLE公司
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g： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，加（加（[-d，d，-2*d，d]
[1+irem（d，4）]，d=数论[除数]（j））*g（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
b： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k=0，1，`if`（k=1，`if'（n=0，0，g（n）），
（q->加（b（j，q）*b（n-j，k-q），j=0..n））（iquo（k，2）））
结束时间：
a： =n->b（n，2）：
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数学
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nmax=94；系数列表[系列[（乘积[（1-（-x）^j），{j，nmax}]-1）^2，{x，0，nmax{]，x]//删除[#，2]&(*伊利亚·古特科夫斯基，2021年2月7日*）
带[｛k=2｝，Drop[系数列表[系列[（QPochhammer[-x]-1）^k，｛x，0125｝]，x]，k]](*G.C.格鲁贝尔2023年9月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）seq（n）=｛Vec（（prod（j=1，n，1-（-x）^j+O（x^n））-1）^2）｝\\安德鲁·霍罗伊德2021年2月7日
（岩浆）
m： =120；
R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；
系数（R！（（[1..m+2]]中的（&*[1-（-x）^j:j）-1）^2））//G.C.格鲁贝尔2023年9月7日
（SageMath）
从sage.moduler.etaproducts导入qexp_eta
m=125；k=2；
定义f（k，x）：返回（-1+qexp_eta（QQ[['q']]，m+2）.subs（q=-x））^k
P.<x>=PowerSeriesRing（QQ，prec）
返回P（f（k，x））.list（）
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交叉参考
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关键字
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签名
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A047655号
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| （乘积{j>=1}（1-（-x）^j）-1）^3的x次幂展开。 |
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+10
25
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1, -3, 3, -1, -3, 6, -6, 6, 0, -3, 6, -9, 8, -6, 0, 0, -6, 6, -13, 3, -6, 3, 0, -3, 6, -9, 6, -3, 6, 0, 6, 6, -3, 11, 0, 6, 0, 9, 0, 0, 0, -3, 13, 0, 0, -6, 0, -6, 3, -3, -6, 0, -15, -6, -3, 0, -6, 0, -6, 0, -6, -6, 0, -11, 0, 0, -6, 0, 6, 0, 6, 0, 0, 0, -3, 19, 12, -3, 0, 0, 6, 6, 6, 6, 0, 0, 6, 0, 21, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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3,2
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链接
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配方奶粉
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a（n）=[x^n]（QPochhammer（-x）-1）^3-G.C.格鲁贝尔2023年9月7日
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MAPLE公司
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g： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，加（加（[-d，d，-2*d，d]
[1+irem（d，4）]，d=数论[除数]（j））*g（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
b： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k=0，1，`if`（k=1，`if'（n=0，0，g（n）），
（q->加（b（j，q）*b（n-j，k-q），j=0..n））（iquo（k，2）））
结束时间：
a： =n->b（n，3）：
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数学
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nmax=92；系数列表[系列[（乘积[（1-（-x）^j），{j，nmax}]-1）^3，{x，0，nmax{]，x]//删除[#，3]&(*伊利亚·古特科夫斯基2021年2月7日*）
带有[{k=3}，Drop[CoefficientList[Series[（QPochhammer[-x]-1）^k，{x，0，125}]，x]，k]](*G.C.格鲁贝尔2023年9月7日*）
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黄体脂酮素
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（马格玛）
m： =120；
R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；
系数（R！（（（&*[1-（-x）^j:j-in[1.m+2]]）-1）^3））//G.C.格鲁贝尔2023年9月7日
（SageMath）
从sage.moduler.etaproducts导入qexp_eta
m=125；k=3；
定义f（k，x）：返回（-1+qexp_eta（QQ[['q']]，m+2）.subs（q=-x））^k
P.<x>=PowerSeriesRing（QQ，prec）
返回P（f（k，x））.list（）
（PARI）我的（x='x+O（'x^99））；Vec（（eta（-x）-1）^3）\\乔格·阿恩特2023年9月7日
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交叉参考
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关键字
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签名
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A341279型
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| 行读取的三角形：T（n，k）=（-1+Product_{j>=1}1/（1+（-x）^j））^k展开式中x^n的系数，n>=0，0<=k<=n。 |
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+10
4
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1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 0, 1, 3, 3, 4, 0, 1, 0, 1, 4, 6, 4, 5, 0, 1, 0, 2, 5, 9, 10, 5, 6, 0, 1, 0, 2, 8, 13, 16, 15, 6, 7, 0, 1, 0, 2, 9, 21, 26, 25, 21, 7, 8, 0, 1, 0, 2, 12, 27, 44, 45, 36, 28, 8, 9, 0, 1, 0, 3, 15, 40, 63, 80, 71, 49, 36, 9, 10, 0, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,13
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链接
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配方奶粉
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k列的G.f:（-1+产品{j>=1}（1+x^（2*j-1））^k。
和{k=0..n}（-1）^（n-k）*T（n，k）=A000009号（n） ●●●●。
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
1;
0, 1;
0, 0, 1;
0, 1, 0, 1;
0, 1, 2, 0, 1;
0, 1, 2, 3, 0, 1;
0, 1, 3, 3, 4, 0, 1;
0, 1, 4, 6, 4, 5, 0, 1;
0, 2, 5, 9, 10, 5, 6, 0, 1;
0, 2, 8, 13, 16, 15, 6, 7, 0, 1;
0, 2, 9, 21, 26, 25, 21, 7, 8, 0, 1;
0, 2, 12, 27, 44, 45, 36, 28, 8, 9, 0, 1;
...
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MAPLE公司
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g： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，add（add（[0，d，-d，d]
[1+irem（d，4）]，d=数论[除数]（j））*g（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
T： =proc（n，k）选项记住；
`如果`（k=0，`如果`（n=0，1，0），`如果'（k=1，`如果``（n=0.0，0，g（n））），
（q->加（T（j，q）*T（n-j，k-q），j=0..n））（iquo（k，2）））
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..12）#阿洛伊斯·海因茨，2021年2月9日
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数学
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T[n_，k_]：=级数系数[（-1+2/QPochhammer[-1，-x]）^k，{x，0，n}]；表[T[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平
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交叉参考
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列k=0-10给出A000007号,A000700型,A338463型,A341241型,A341243型,A341244型,A341245型,A341246型,A341247型,A341251型,A341253型.
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 1, -1, 0, 3, 4, 1, 0, -2, 1, 6, 5, 1, -1, -2, -3, 4, 10, 6, 1, 0, -2, -6, -3, 10, 15, 7, 1, 0, -2, -6, -12, 0, 20, 21, 8, 1, 0, 1, -6, -16, -19, 9, 35, 28, 9, 1, 0, 0, 0, -16, -35, -24, 28, 56, 36, 10, 1, 1, 2, 3, -6, -40, -65, -21, 62, 84, 45, 11, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 5
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评论
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可以添加一个列m=0，从n=0开始，T（0，0）=1，T（n，0）=0，否则，通过包含没有部分的空分区。
组合物的重量是由各部分重量的乘积得到的各分区的重量。
如果加上上述m=0的列，从n=0开始，这是Riordan型R（1，f（x））的一个普通卷积三角形，其中f（x）=-（Product_{j>=1}（1-x^j）-1），生成{A257628型（n） {n>=0}。请参见以下公式-沃尔夫迪特·朗2021年2月16日
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链接
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配方奶粉
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T（n，m）=和{j=1..p=A008284号（n，m），M0（n，m，j）是A048996号，即m/产品{k=1..m}e（n，m，j，k）！与各部分的指数，以及n与m个部分的第j次划分的三元权重。在Abramowitz-Stegun阶中，Part（n，m，j）被定义为各部分权重的乘积，使用w（n）=-A010815号（n） ，对于n>=1，并且m=1，2。。。，。
G.f.列m:G（m，x）=（-（乘积_{j>=1}（1-x^j）-1））^m，对于m>=1。
行多项式R（n，x）的G.f=Sum_{m=1..n}，即三角形的G.f:
GfT（z，x）=1/（1-x*G（1，z））-1。Riordan三角形（无m=0列）。（结束）
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例子
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三角形T（n，m）开始于：
n\m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17。。。A41型
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1: 1 1
2: 1 1 2
3: 0 2 1 3
4: 0 1 3 1 5
5: -1 0 3 4 1 7
6: 0 -2 1 6 5 1 11
7: -1 -2 -3 4 10 6 1 15
8: 0 -2 -6 -3 10 15 7 1 22
9: 0 -2 -6 -12 0 20 21 8 1 30
10: 0 1 -6 -16 -19 9 35 28 9 1 42
11: 0 0 0 -16 -35 -24 28 56 36 10 1 56
12: 1 2 3 -6 -40 -65 -21 62 84 45 11 1 77
13: 0 2 6 8 -25 -90 -105 0 117 120 55 12 1 101
14: 0 3 9 18 10 -75 -181 -148 54 200 165 66 13 1 135
15: 1 0 8 28 45 -6 -189 -328 -177 162 319 220 78 14 1 176
16: 0 2 6 26 75 90 -77 -419 -540 -160 352 483 286 91 15 1 231
17: 0 0 0 20 80 180 140 -280 -837 -810 -44 660 702 364 105 16 1 297
...
例如，情况n=6：带有五边形数部分和组成数的相关加权分区为：m=2:2*（1，-5）=-2*（1,5），m=3:1*（2^3），m=4:3*（1^2,2^2），m=5:1*。其他分区的权重为0。
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MAPLE公司
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PMatrix（14，程序（n）24*n+1；如果issqr（%），则sqrt（%）-（-1）^irem（iquo（%+irem（%，6），6）），2）其他0结束）#彼得·卢施尼2022年10月6日
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数学
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nmax=12；
col[m_]：=col[m]=（-（乘积[（1-x^j），{j，1，nmax}]-1））^m//系数列表[#，x]&；
T[n_，m_]：=col[m][n+1]]；
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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