搜索： a003040-编号：a003040
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1, 2, 3, 8, 20, 45, 144, 448, 1680, 4725, 17280, 62208, 290304, 1254400, 4465125, 18144000, 72990720, 391910400, 1881169920, 9754214400, 45660160000, 205752960000, 905748480000, 5280992640000, 28326238617600, 162956344320000, 853298675712000, 5309413982208000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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例子
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对于n=4，我们可以
abcd、abc和ab（其余是对称的）。
……d……cd
吊钩产品为4！=24，4*2*1*1=8和3*2*2*1=12，因此a（4）=8-乔恩·佩里
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MAPLE公司
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H： =proc（pa）局部F，j，p，Q，i，col，a，a:F:=proc（x）局部i，ct:ct:=0：对于i从1到nops（x）do，如果x[i]>1，那么ct:=ct+1其他fiod:ct；结束时间：
对于从1到nops（pa）的j，做p[1][j]：=pa[j]od:Q[1]：=[seq（p[1][j]，j=1..nops（pa））]：
对于i从2到pa[1]，do对于j从1到F（Q[i-1]），do p[i][j]：=Q[i-2][j]-1 od：
Q[i]：=[seq（p[i][j]，j=1..F（Q[i-1]））]od：
对于从1到pa[1]的i，do col[i]：=[seq（Q[i][j]+nops（Q[i））-j，j=1..nops（Q[i]）]od：
a： =proc（i，j），如果i<=nops（Q[j]）和j<=pa[1]，则Q[j][i]+nops（Q[j]
A： =矩阵（nops（pa），pa[1]，A）：乘积（乘积（A[m，n]，n=1..pa[1]），m=1..nops（pa））；结束时间：
使用（组合）：
版本：=进程（a）[seq（a[nops（a）+1-i]，i=1..nops（a）]结束：
seq（排序（[seq（H（rev（分区（j）[i]）），i=1..numbpart（j））]）[1]，j=1..30）；
#程序H给出了给定分区的钩子乘积，该分区以非递增顺序写入；
#如果在过程a的定义中，我们将“else 1”替换为“else x”，那么矩阵a将生成与分区对应的所有钩子长度。
#（结束）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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尤瓦尔·德克尔（dekelyuval（AT）hotmail.com），2003年5月25日
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扩展
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状态
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经核准的
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A060240型
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| 三角形T（n，k），其中第n行给出对称群S_n的不可约表示次数。 |
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+10
19
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 6, 1, 1, 5, 5, 5, 5, 9, 9, 10, 10, 16, 1, 1, 6, 6, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 20, 21, 21, 35, 35, 1, 1, 7, 7, 14, 14, 20, 20, 21, 21, 28, 28, 35, 35, 42, 56, 56, 64, 64, 70, 70, 90, 1, 1, 8, 8, 27, 27, 28, 28, 42, 42, 42, 48, 48, 56, 56, 70, 84
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.7
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评论
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第n行中的条目给出了n个分区的费雷尔图的标准Young表的数量（不递减）。（结束）
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参考文献
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J.H.Conway、R.T.Curtis、S.P.Norton、R.A.Parker和R.A.Wilson，《有限群的ATLAS》，牛津大学出版社，1985年。
B.E.Sagan，《对称集团》，第二版，施普林格出版社，2001年，纽约。
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链接
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J.S.Frame、G.de B.Robinson和R.M.Thrall，对称群的钩图加拿大。《数学杂志》，6:316-3241954年。见定理1，第318页。
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例子
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三角形开始：
1;
1;
1, 1;
1, 1, 2;
1, 1, 2, 3, 3;
1, 1, 4, 4, 5, 5, 6; ...
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MAPLE公司
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h： =proc（l）局部n；n： =nops（l）；加上（i，i=l）/mul（mul（1+l[i]-j+
加法（`if`（l[k]>=j，1，0），k=i+1..n），j=1..l[i]），i=1..n）结束：
g： =（n，i，l）->`如果`（n=0或i=1，h（[l[]，1$n]），`if`（i<1，0，
seq（g（n-i*j，i-1，[l[]，i$j]），j=0..n/i））：
T： =n->排序（[g（n，n，[]）]）[]：
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数学
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h[l_List]：=长度[l]}，总计[l]/乘积[1+l[[i]]-j+和[If[l[[k]]>=j，1，0]，{k，i+1，n}]，{j，1；g[n_，i_，l_List]：=如果[n==0||i==1，h[Join[l，Array[1&，n]]，如果[i<1，0，展平@表[g[n-i*j，i-1，Join[1，Arrai[i&，j]]，{j，0，n/i}]]；T[n_]：=排序[g[n，n，{}]]；T[1]＝｛1｝；表[T[n]，{n，1，10}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2014年1月27日之后阿洛伊斯·海因茨*)
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黄体脂酮素
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（岩浆）特征表（对称群（6））；//（说）
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A067855号
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| Sum_{lambda|-n}s_lambda^2的Littlewood-Richardson系数向量的欧几里德长度的平方，其中s_lampda是对称的Schur函数，并且总和遍历n的所有分区lambda。 |
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+10
13
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1, 2, 8, 26, 94, 326, 1196, 4358, 16248, 60854, 230184, 874878, 3343614, 12825418, 49368388, 190554410, 737328366, 2858974502, 11106267880, 43215101102, 168398785002, 657070401106, 2566847255572, 10038191414610, 39295007540748
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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原始名称：“s_lambda^2之和的平方长度，其中s_lambda是Schur函数，lambda在n的所有分区上的范围。”
符号“|-”表示“是一个分区”，参见MathWorld链接和Geloun&Ramgoolam论文。Littlewood-Richardson系数允许将两个Schur函数的乘积表示为相应阶的Schur功能的线性组合。（在所有n个变量中对称的舒尔函数对应于用0扩展到长度n的分区的舒尔多项式。）-M.F.哈斯勒2020年1月19日
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链接
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公式
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G.f.：1/sqrt（产品{i>=1}（1-4*x^i））。
欧拉变换A001868（n） /2。a（n）=和{pi}乘积{m=1..n}二项式（2*p（m），p（mn*p（n）=n-弗拉德塔·乔沃维奇2006年3月25日
a（n）~2^（2*n）/sqrt（c*Pi*n），其中c=Q扁锤[1/4]=0.688537537120339-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年4月22日
根据定义，a（n）=Sum_{mu|-2n}c_mu^2，其中Sum__{lambda|-n}s_lambda^2=Sum_{mu|-2-n}c_mu s_mu，其中s_lampda是Schur多项式（在2n个变量中对称），和遍历n个变量的所有分区。2个-M.F.哈斯勒2020年1月19日
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例子
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当n=3时，s_lambda^2在n的所有分区上求和并分解为Schur函数之和，得到
s（6）+2s（3,3）+2s
+2秒（2,2,1,1）+秒（3,1,1,1）+秒，
系数{1,2,2,1,2,2,2,2,1,2的平方和给出a（3）=26。
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i=1，
二项式（n+n，n），加（b（j，1）*b（n-i*j，i-1），j=0..n/i））
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
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数学
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表[Tr[（应用[List，
总和[Tr[s@@@LRRule[\[Lambda]，\[Lambeda]]]，
{\[Lambda]，分区[n]}]]/。s[__]->1）^2]，{n，1，10}]；
（*中定义了“LRRule”http://users.telenet.be/Wuter.Meeussen/ToolBox.nb -沃特·梅森2020年1月19日*）
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i==1，二项式[n+n，n]，
求和[b[j，1]*b[n-i*j，i-1]，{j，0，n/i}]]；
a[n]：=b[n，n]；
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黄体脂酮素
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（PARI）A067855号_小于等于（N）=Vec（1/sqrt（prod（i=1，N-1，1-4*'x^i+O（'x^N）））\\M.F.哈斯勒2020年1月23日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A070933号（总和{lambda，mu，nu}（c^{λ}_{mu，nu}）^2，|mu|=|nu|=n）。
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关键词
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容易的，非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 8, 20, 80, 210, 672, 2688, 10080, 44352, 236544, 960960, 4324320, 20270250, 104247000, 522762240, 3024552960, 15713497800, 108973522944, 625746401280, 3824005785600, 24049411386000, 160329409240000, 858907549500000, 5226869622374400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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该群也是n维超立方体的自同构群以及循环群C_2和对称群S_n的圈积。
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参考文献
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罗杰·卡特（Roger W.Carter），《李型有限群：共轭类和复特征》。威利，1985年。
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链接
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黄体脂酮素
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（GAP）生成a（8）：c:=循环群（2）；s：=对称群（8）；w:=花环乘积（c，s）；显示（字符表（w））；
（鼠尾草）定义A066051号（n） ：返回分区元组（2，n）中（A，B）的阶乘（n）//min（prod（A.hooks（））*prod（B.hooks））#埃里克·施密特，2013年9月21日
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交叉参考
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关键词
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非n，美好的
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作者
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沙伦·塞拉（sharonsela（AT）hotmail.com），2001年12月29日
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扩展
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状态
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经核准的
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A117500个
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| 由行读取的三角形，其中行n给出与对称群S_ n的最高度表示相关联的n的分区。 |
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+10
2
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1, 2, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 3, 2, 1, 5, 3, 2, 1, 1, 5, 4, 2, 1, 1, 6, 4, 2, 1, 1, 5, 4, 3, 2, 1, 6, 4, 3, 2, 1, 6, 4, 3, 2, 1, 1, 7, 4, 3, 2, 1, 1, 7, 5, 3, 2, 1, 1, 7, 5, 3, 2, 2, 1, 7, 5, 3, 2, 2, 1, 1, 7, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 5, 4, 3, 2, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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注意，分区及其共轭给出了对称群的同次表示。我们取两者中较早的一个。
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链接
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J.McKay，对称群的最大不可约特征次数.数学。公司。30（1976年），第135、624-631号。（给出第627-629页的前75行。）
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公式
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如果p_1>=p_2>=…>=pk是n的分区，表示度（在A003040号)是n！*产品{i<j}（b_i-b_j）/Product_i（b_i！），其中b_i=p_i+k-i。
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例子
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三角形开始：
1
2
2个1
3 1
3 1 1
3 2 1
4 2 1
4 2 1 1
4 3 1 1
4 3 2 1
5 3 2 1
5 3 2 1 1
5 4 2 1 1
6 4 2 1 1
5 4 3 2 1
6 4 3 2 1
6 4 3 2 1 1
7 4 3 2 1 1
7 5 3 2 1 1
7 5 3 2 2 1
7 5 3 2 2 1 1
7 5 4 3 2 1
7 5 4 3 2 1 1
8 5 4 3 2 1 1
8 6 4 3 2 1 1
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交叉参考
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关键词
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非n，标签
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, -1, -1, -2, -3, -6, -16, -36, -91, -224, -768, -2420, -7854, -22815, -73008, -292864, -1223040, -5002998, -17592960, -67184000, -279734796, -1183614120, -5844883968, -29448258840, -124619677182, -573333075000, -2764864302200, -13664438287500
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,5
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评论
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链接
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例子
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a（3）=-1，因为S_3的字符表是/1 1 1/1 1-1/2-1 0/。
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MAPLE公司
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seq（最小值（映射（op，[条目（组合：-字符（n））]）），n=1..23）#罗伯特·伊斯雷尔，2016年3月31日
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数学
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a[n_]：=使用[{S=“S”<>ToString[n]}，FiniteGroupData[S，“CharacterTable”]//Flatten//Min]；数组[a，10](*Jean-François Alcover公司2016年3月31日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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签名，美好的
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作者
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Ola Veshta（olaveshta（AT）my-deja.com），2001年5月30日
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扩展
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状态
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经核准的
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A258124型
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是n的分区数，在其费勒图中有k个标准表（n>=1，k>=1）。 |
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+10
1
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1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 1, 2, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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和{k>=1}k*T（n，k）=A000085号（n） =尺寸为n的标准表数量。
在Maple程序中（太慢和太复杂）（i）pp（n）产生n和1之前的素数，如果n=2；（ii）B（n）产生与Heinz数n对应的分区；（iii）a（n）得出分区B（n）的费雷斯图的标准表编号；（iv）Q（n）得出n的划分相对于其费勒图的标准表数的生成多项式。例如，Q（4）=2x+x^2+2x^3；实际上，分区[4]、[1,1,1]各有1个标准表，分区[2,2]有2个标准表；分区[3,1]、[2,1,1]各自有3个标准表。
分区p=[p_1，p_2，…，p_r]的Heinz数定义为乘积（p_j-th素数，j=1…r）（阿洛伊斯·海因茨在里面A215366型作为分区的“编码”）。例如，对于分区[1，1，1，4]，我们得到2*2*2x7=56。
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链接
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例子
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T（6,5）=4，因为在费雷尔图中有4个6的分区，其中有5个标准表：[5,1]、[3,3]、[2,2,2]和[2,1,1]。
三角形开始：
1;
2;
2,1;
2,1,2;
2,0,0,2,2,1；
2,0,0,0,4,0,0,0,2,2,0,0,0,0,0,1;
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MAPLE公司
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对于（numtheory）：pp:=proc（n），如果n=2，则1其他prevprime（n）end如果end proc:B:=prog（n）local nn，j，m:nn:=op（2，ifactors（n））：对于j到nops（nn）do m[j]：=op（j，nn）end do:[seq（seq（pi（op（1，m[i]）））），q=1。。op（2，m[i]），i=1。。nops（nn））]end proc:a：=proc（n）local pp，FS：pp:=proc。。nops（FS））结束if结束proc；Q:=proc（n）局部R，i:R:=0：对于i从ithprime（n）到2^n do，如果和（B（i）[j]，j=1。。nops（B（i）））=n，然后R:=R+x^a（i）else end if end do:排序（R）结束进程：T:=proc（n，k）选项运算符，箭头：系数（Q（n），x，k）结束过程：seq（seq（T（n，k），k=1。。度（Q（n）），n=1。。8); # 以三角形形式生成序列
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交叉参考
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关键词
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非n，标签
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 3, 5, 10, 35, 70, 216, 567, 2310, 5775, 21450, 69498, 243243, 1153152, 3620864, 16336320, 64664600, 249420600, 997682400, 5462865408, 21422145536
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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链接
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黄体脂酮素
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（岩浆）列表：=[]；对于[1..23]中的i，做“i=”，i；g： =Alt（i）；ct:=字符表（g）；“ct=”，ct[#ct][1]；追加（~list，ct[#ct][1]）；结束；-Colva Roney-Dougal（Colva（AT）mcs.st-ac.uk），2007年3月30日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年5月8日
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扩展
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来自Colva Roney-Dougal（Colva（AT）mcs.st-ac.uk）的更多条款，2007年3月30日
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状态
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经核准的
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