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| A002117号 |
| 阿佩里数或阿佩里常数zeta（3）。zeta（3）的十进制展开=和{m>=1}1/m^3。
（原名M0020）
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405
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1, 2, 0, 2, 0, 5, 6, 9, 0, 3, 1, 5, 9, 5, 9, 4, 2, 8, 5, 3, 9, 9, 7, 3, 8, 1, 6, 1, 5, 1, 1, 4, 4, 9, 9, 9, 0, 7, 6, 4, 9, 8, 6, 2, 9, 2, 3, 4, 0, 4, 9, 8, 8, 8, 1, 7, 9, 2, 2, 7, 1, 5, 5, 5, 3, 4, 1, 8, 3, 8, 2, 0, 5, 7, 8, 6, 3, 1, 3, 0, 9, 0, 1, 8, 6, 4, 5, 5, 8, 7, 3, 6, 0, 9, 3, 3, 5, 2, 5, 8, 1, 4, 6, 1, 9, 9, 1, 5
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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有时称为Apéry常数。
“一个自然的问题是泽塔（3）是否是Pi^3的有理倍数。尽管1978年R.Apéry成功地证明了Zeta（3）是非理性的，但这一点并不为人所知。在第8章中，我们指出两个随机整数相对素数的概率是6/Pi^2，即1/Zeta（2）。这概括为：k个随机整数相对素数的概率是1/Zeta（k）。“[斯坦·瓦贡]
2001年，Tanguy Rivoal表明，有无穷多个奇数（正）整数的zeta是无理的，其中至少有一个值j在5<=j<=21的范围内（同年由Zudilin改进为5<=j<=11），在此范围内zeta（j）是无理。有关更多信息和参考资料，请参阅Rivoal链接。
这个常数的倒数是使用均匀分布随机选择的三个整数相对素数的概率Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2005年4月13日
还有zeta（1,2）的值，参数1和2的双zeta函数-R.J.马塔尔2011年10月10日
另外，对于具有均匀随机边长度的0到1之间的大型完整图，最小生成树的长度，请参阅John Baez的评论链接-M.F.哈斯勒2017年9月26日
这个数字是sigma_2（n）/n^2的平均值，其中sigma_2（n）是n的除数的平方和-迪米特里·帕帕佐普洛斯2022年1月7日
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参考文献
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S.R.Finch，《数学常数》，《数学及其应用百科全书》，第94卷，剑桥大学出版社，第40-53页。
A.Fletcher、J.C.P.Miller、L.Rosenhead和L.J.Comrie，《数学表格索引》。卷。第1版和第2版，牛津大学布莱克威尔和艾迪森·韦斯利出版社，马萨诸塞州雷丁，1962年，第一卷，第84页。
R.William Gosper，《十九世纪废弃矿田的露天采矿数学》，《数学中的计算机》（加州斯坦福大学，1986年）；纯与应用课堂笔记。数学。，纽约德克尔，125（1990），261-284；MR 91h:11154。
Xavier Gourdon，《分析》，《数学与椭圆》，1994年，示例3，第224页。
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第3版，施普林格（Springer），2004年，F17节，齐塔函数系列，第391页。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，牛津大学出版社；第6版（2008年），第47、268-269页。
Paul Levrie，《无处不在的Apéry数》，数学。Intelligencer，第45卷，第2期，2023年，第118-119页。
A.A.Markoff，《梅莫尔-苏拉变换》，梅姆。德拉卡德。Imp.科学。圣佩特斯堡，第三十七届，1890年。
保罗·纳欣（Paul J.Nahin），《追击齐塔人-3》，普林斯顿大学出版社，2021年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Stan Wagon，《Mathematica In Action》，W.H.Freeman and Company，纽约，1991年，第354页。
A.M.Yaglom和I.M.Yaglom，用初等解挑战数学问题，多佛（1987），例92-93。
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链接
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L.Euler，关于倒数级数的和，arXiv:math/0506415[math.HO]，2005-2008。
W.Janous，阿佩里常数附近，J.Inequ。纯应用程序。数学。7(1) (2006), #35.
M.Kondratiewa和S.Sadov，马尔可夫级数变换与WZ方法，arXiv:math/0405592[math.CA]，2004年。
R.J.Mathar，另一个积分表，arXiv:1207.5845[math.CA]，2012-2014年。
瓦迪姆·祖迪林，阿佩里定理的初等证明，arXiv:math/0202159[math.NT]，2002年。
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公式
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利马将ζ（3）近似为（236*log（2）^3）/197-283/394*Pi*log（2）^2+11/394*Pi^2*log（2）+209/394*log（sqrt（2）+1）^3-5/197+（93*Catalan*Pi）/197-乔纳森·沃斯邮报，2009年10月14日[更正人沃特·梅森2010年4月4日]
zeta（3）=5/2*Integral_（x=0..2*log（（1+sqrt（5））/2），x^2/（exp（x）-1））+10/3*（log（1+m2））^3-基里卡米（Seiichi Kirikami）2011年8月12日
zeta（3）=-4/3*Integral_{x=0..1}log 1-x）^2=-16/7*Integral_{x=0..Pi/2}x*log（2*cos（x））=-4/Pi*Integral_{x=0..Pi/2}x^2*log-Jean-François Alcover公司2013年4月2日之后R.J.马塔尔
zeta（3）=（16/7）*和{k偶数}（k^3+k^5）/（k^2-1）^4。
zeta（3）-1=和{k>=1}1/（k^3+4*k^7）=1/（5-1^6/（21-2^6/（续分数）。
更一般地，有一系列多项式P（n，x）（2*n次），如下所示
zeta（3）-Sum_{k=1..n}1/k^3=Sum_{k>=1}1/（k^3*P（n，k-1）*P（n，k））=1/（（2*n^2+2*n+1）-1^6/（3*（2*n ^2+2*n+3）-2^6/（续分数）。请参见A143003型和A143007号了解详细信息。
系列加速度公式：
zeta（3）=（5/2）*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）/（n^3*二项式（2*n，n））
=（5/2）*Sum_{n>=1}P（n）/（（2*n（2*n-1））^3*二项式（4*n，2*n））
=（5/2）*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*Q（n）/（（3*n（3*n-1）*（3*n-2））^3*二项式（6*n，3*n）），其中P（n）=24*n^3+4*n^2-6*n+1和Q（n。（结束）
zeta（3）=和{n>=1}(A010052号（n） /n^（3/2））=总和{n>=1}（（楼层（sqrt（n））-楼层（squart（n-1）））-米凯尔·奥尔顿2015年2月22日
zeta（3）=乘积{k>=1}1/（1-1/素数（k）^3）-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年4月30日
zeta（3）=4*（2*log（2）-1-2*Sum_{k>=2}zeta（2*k+1）/2^（2*k+1））-豪尔赫·科维罗2020年6月21日
泽塔（3）=（4*泽塔“”（1/2）*（泽塔（1/2））^2-12*泽塔（1/2）*泽塔”（1/2-阿图尔·贾辛斯基2020年6月27日
zeta（3）=（5/4）*Li_3（1/f^2）+Pi^2*log（f）/6-5*log，
ζ（3）=（8/7）*Li_3（1/2）+（2/21）*Pi^2 log（2）-（4/21）log（2）^3，其中f为黄金比例(A001622号)Li_3是多对数函数，John Landen于1780年出版的公式，第118页。（结束）
zeta（3）=（1/2）*积分{x=0..oo}x^2/（e^x-1）dx（古尔登）-伯纳德·肖特2021年4月28日
zeta（3）=1+和{n>=1}1/（n^3*（4*n^4+1））=25/24+（2！）^4*和{n>=1}1/●●●●。一般来说，对于k>=1，我们有zeta（3）=r（k）+（k！）^4*Sum_{n>=1}1/（n^3*（4*n^4+1）**（4*n^4+k^4）），其中r（k）是有理的。
ζ（3）=（6/7）+（64/7）*Sum_｛n>=1｝n/（4*n^2-1）^3。
更一般地说，对于k>=0，zeta（3）=a（k）+b（k）*Sum_{n>=1}n/（（4*n^2-1）*（4*n ^2-9）**（4*n^2-（2*k+1）^2））^3，其中a（k）和b（k）是有理的。
zeta（3）=（10/7）-（128/7）*Sum_{n>=1}n/（4*n^2-1）^4。
更一般地说，对于k>=0，zeta（3）=c（k）+d（k）*Sum_{n>=1}n/（（4*n^2-1）*（4*n ^2-9）**（4*n^2-（2*k+1）^2））^4，其中c（k）和d（k）是有理的。【添加于2023年11月27日：关于a（k）、b（k）、c（k）和d（k）的值，请参见Bala 2023链接第8节和第9节。】
zeta（3）=2/3+（2^13）/（3*7）*Sum_{n>=1}n^3/（4*n^2-1）^6。（结束）
zeta（3）=-Psi（2）（1/2）/14（在1/2处计算的digamma函数的二阶导数）-阿图尔·贾辛斯基2022年3月18日
zeta（3）=-（8*Pi^2/9）*Sum_{k>=0}zeta（2*k）/（（2*k+1）*（2*k+3）*4^k）=（2*Pi^2/9）*-阿米拉姆·埃尔达尔2022年5月28日
zeta（3）=Sum_{k>=1}（30*k-11）/（4*（2k-1）*k^3*（二项式（2k，k））^2）（Gosper，1986和Richard k.Guy参考）-伯纳德·肖特2022年7月20日
zeta（3）=（4/3）*Integral_{x>=1}x*log（x）*（1+log-彼得·巴拉2023年11月27日
zeta_3（n）=1/180*（-360*n^3*f（-3，n/4）+Pi^3*（n^4+20*n^2+16））/。将给出至少1位精度/术语，例如：zeta_3（5）=1.202056944732-西蒙·普劳夫2023年12月21日
zeat（3）=1+（1/2）*Sum_{n>=1}（2*n+1）/（n^3*（n+1）^3）=5/4-（1/4）*Sum _{n>=1}n^5*（n+2）^5）=19/16+（128/21）*Sum_{n>=1}（n+1）/（n^6*（n=2）^6）-（1/21）*Sum _{n>=1}-彼得·巴拉2024年4月15日
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示例
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1.2020569031595942853997...
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MAPLE公司
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#计算精确到n位小数的近似值（小偏差
#可能是最后一个数字）。回到A.A.Markoff 1890年的观点。
齐塔人3:=进程（n）局部s，w，v，k；s：=0；w:=-1；v：=4；
对于k从2乘2到7*n/2 do
w:=-w*v/k；
v：=v+8；
s：=s+1/（w*k^3）；
od；20*s；evalf（%，n）结束：
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数学
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真实数字[N[Zeta[3]，100]][[1]
（*第二个项目（历史兴趣）：*）
d[n]：=34*n^3+51*n^2+27*n+5；6/折叠[函数[d[#2-1]-#2^6/#1]，5，反转[范围[100]]//N[#，108]和//RealDigits//第一个
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=zeta（3）；对于（n=120000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b002117.txt”，n，“”，d））\\哈里·史密斯2009年4月19日
（最大值）fpprec:100$ev（bfloat（zeta（3）））$bfloat（%）/*马丁·埃特尔2012年10月21日*/
（Python）
从mpmath导入mp，apery
mp.dps=109
print（[int（z）代表列表中的z（str（apery）.replace（'.'，''））[：-1]]）#因德拉尼尔·戈什，2017年7月8日
（岩浆）L:=RiemannZeta（：精度：=100）；评估（L，3）//G.C.格鲁贝尔2018年8月21日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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Stan Wagon的报价由更正N.J.A.斯隆2005年12月24日。感谢Jose Brox注意到这个错误。
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状态
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已批准
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