本文研究了一种基于内罚间断Galerkin（IPDG）公式的多域谱方法，用于求解通过精确的圆形或球形Dirichlet-to-Neumann（DtN）边界条件截断的外Helmholtz问题。提出了一种有效的迭代方法来定位全局DtN边界条件，这有助于实现多域方法，并有助于处理散射体的复杂几何。在不连续Galerkin公式下，该方法允许在不同子域上使用不同程度的多项式基函数，更重要的是，可以导出谱格式的显式波数相关估计，这对于多域连续Galergin公式来说是不可信的。 

电子显微镜图像分类的目的是根据投影图像的相似性将其分类为不同的类别。区分图像通常需要首先对齐这些图像。然而，对于高噪声数据集，图像对齐是一项困难的任务。本文提出了一种基于傅里叶变换的平移和旋转不变量，以避免对齐。因此，建立了一种新的分类方法。为了加快分类速度，在分类过程中引入了二级分类。测试结果也表明我们的方法是非常有效的。使用我们的不变量的分类结果也与使用其他现有不变量的结果进行了比较，表明我们的不变式可以获得更好的结果。

本文将二阶特征时间离散化与空间变分多尺度有限元方法相结合，得到了求解含时Navier-Stokes问题的二阶修正特征变分多规模有限元方法。理论分析表明，该方法具有良好的收敛性。为了证明所提出的有限元方法的有效性，我们首先给出了解析解问题的一些数值结果。然后，我们给出了$Re$=5000、7500和10000的盖驱动腔流的一些数值结果。当时间足够长时，我们给出了数值结果，从而可以获得稳态数值解。

本文使用NDF代替BDF作为预测因子，对MEBDF方法进行了改进。我们采用了三种不同的方法：改变MEBDF的两个预测因子，只改变第一个预测因子和只改变第二个预测因子。我们分别调用了新方法MENDF、MENBDF和MEBNDF。新方法的A-稳定性高达$4$，并且新方法的稳定性优于MEBDF方法。

本文提出了一种利用Krylov子空间对由若干子系统组成的大型时变系统进行波形松弛加速仿真的方法。这种方法首先允许通过波形松弛将这些子系统解耦。然后，提出了基于Krylov子空间的Arnoldi程序，以独立加速解耦子系统的仿真。对于新方法，导出了波形弛豫的收敛条件。通过数值例子也成功地说明了鲁棒性。

本文研究非线性矩阵方程$X^s+A^*F（X）A=Q$，其中$s≥1$。给出了厄米特半正定解存在唯一的几个充分必要条件，并给出了扰动界。