在本文中，我们获得了$L^2$-范数和$\boldsymbol{H}的最优误差估计$(卷曲)-拟均匀网格上离散的一般Lipschitz域上时间调和Maxwell方程的Nédélec边有限元逼近的范数。我们证明的一个关键是将$L^2$误差估计转换为属于边有限元空间的离散无发散函数的$L^2]估计，然后用连续无发散函数和对偶变元逼近离散无发散功能。对于Nédélec的第二类元素，我们给出了一个最优收敛估计，它改进了文献中的最佳结果。

我们考虑$\boldsymbol{H}$(卷曲, $Ω$)-有界Lipschitz多面体上的椭圆变分问题及其有限元Galerkin离散化。我们假设下面的四面体网格是通过连续的局部网格细化创建的，可以通过悬挂节点的局部均匀细化，也可以通过对分细化。在这种情况下，我们为具有混合平滑的所谓局部多重网格校正方案开发了一种收敛理论。我们证明了它的收敛速度相对于精化步骤的数量是一致的。证明依赖于$H^1（Ω）$-上下文中局部多重网格的相应结果以及边缘元素空间的局部离散Helmholtz型分解。

本文讨论了用最低阶Nédélec有限元离散的二阶定和半定Maxwell问题的一些基于辅助空间的预条件。我们讨论了这些方法中最有前途的方法的并行实现，这些方法源自最近的Hiptmair-Xu（HX）辅助空间分解[Hiptmair和Xu，SIAM J.Numer.Anal.，45（2007），pp.2483-2509]。大量的数值实验证明了我们在大规模$\boldsymbol{H}上实现的可伸缩性$(卷曲)问题。

本文研究了卷曲算子的预处理。我们使用

$\boldsymbol｛H｝$(卷曲)-协调有限元以离散我们相应的静磁模型问题。材料参数中的跳跃会影响问题的条件。我们将通过理论估计和数值实验证明，层次矩阵非常适合构造高效的并行预条件，以快速稳健地迭代求解此类问题。

本文讨论了完全时空自适应磁场计算。我们描述了一种自适应Whitney有限元方法，用于求解非结构化三维四面体网格上Maxwell方程的磁准静态公式。空间网格细化和粗化基于层次误差估计器，该估计器专门设计用于将空间中的四面体$\boldsymbol{H}（\rm curl）$-一致边缘元素与时间上的线性隐式Rosenbrock方法相结合。采用嵌入技术，通过可变时间步长获得时间效率。最后，我们给出了日本存储研究协会提出的磁记录写头基准问题的数值结果。

我们考虑使用残差型后验误差估计器对变系数三维涡流方程采用自适应边缘有限元法（AEFEM）。由于可变系数的出现，估计器的分量和某些振荡项都必须在自适应回路中得到适当的控制，而自适应回路由适当的批量标准来处理。表明了AEFEM在离散化误差能量范数和振荡能量范数减少方面的收敛性。给出了数值结果以说明AEFEM的性能。