本文利用系数矩阵的特殊块和稀疏结构，提出了一种新的预处理策略，用于求解含有两个不同函数的热方程的含时分布式控制问题中的大型稀疏线性系统。首先进行自然降阶，然后利用预处理MINRES算法和新的预处理技术求解降阶线性方程组。分析了预处理矩阵的谱性质。数值结果表明，对于由时间相关问题离散而来的大型稀疏系统，预处理策略对于较大范围的网格尺寸和正则化参数值更为有效。

本文介绍了多重网格方法在流体动力学问题中的应用及其一些方面。介绍了多重网格技术的主要发展阶段。考虑了求解Navier-Stokes方程和对流扩散问题的一些方法。

最近在实际计算中进行的大量数值实验表明，共轭A-正交残差平方（CORS）方法通常与其他常用方法相竞争。然而，与CGS方法一样，CORS方法也表现出不规则的收敛性，尤其是出现较大的中间剩余范数，这可能导致近似解较差，收敛速度较慢。本文基于双共轭a-正交残差（BiCOR）方法提出了一种求解复杂非厄米线性系统的新乘积型方法，其中一个多项式是BiCOR多项式，另一个是对应不同初始残差的同次BiCOR。数值算例表明了该方法的有效性。

进一步利用值域的概念来定位斜对称迭代方法迭代矩阵的谱。导出了将原始矩阵和迭代矩阵的值域联系起来的公式。这使我们能够从理论上确定不定非对称线性系统可以用这类迭代方法求解。

最近，Bai提出了一个块-计数器-对角和块-计数器–三角预处理矩阵，以预处理GMRES方法，以解决分布式控制问题的Galerkin有限元离散化所产生的结构化线性方程组（Computing 91（2011）379-395）。他分析了预处理矩阵的谱性质，导出了预处理后矩阵的特征值和特征向量的显式表达式。通过应用预处理矩阵的特征向量矩阵的特殊结构和性质，我们推导了特征向量矩阵的2-范数条件数的上界，并给出了带有块反对角和块反三角预条件的预条件GMRES方法的渐近收敛因子。实验结果表明，收敛性分析与数值结果吻合良好。

当系数矩阵为$H$-矩阵或对称正定矩阵时，本文提出了一种并行拟切比雪夫加速度，应用于线性系统的非重叠多分裂迭代方法。其次，基于$l_1$-norm或$l_2$-norm，$m$优化模型在$m$不同的处理器中并行处理。建立了并行拟切比雪夫加速法的收敛理论。最后，数值算例表明，并行拟切比雪夫技术可以显著加速非重叠多重分裂迭代方法。

将Krukier等人提出的一种求解大型鞍点线性系统的有效算法应用于约束优化问题。该方法是对偏斜-厄米三角分裂迭代法的一种改进。我们考虑具有奇异或半定（1，1）块的鞍点线性系统。此外，该方法还用于GMRES的预处理。数值结果证实了该方法的有效性，并表明新方法可以为求解大型稀疏鞍点线性系统的Krylov子空间方法生成高质量的预条件。

研究了用交替线性化隐式迭代法求解非奇异矩阵的二次矩阵方程。提出了一种计算二次矩阵方程非奇异$M$矩阵解的迭代方法，并给出了相应的理论。文中给出了一些数值算例，证明了该方法的有效性。

对于大型稀疏鞍点问题，Zhu研究了一类非Hermite鞍点问题的广义局部Hermite和偏Hermite分裂迭代方法[M.-Z.Zhu，Appl.Math.Compute.218（2012）8816-8824]。本文进一步研究了求解非厄米特广义鞍点问题的广义局部厄米特和偏厄米特分裂（GLHSS）迭代方法。通过参数矩阵的不同选择，我们导出了保证这些迭代方法收敛的条件。通过数值实验验证了GLHSS迭代方法和预条件的有效性。

本文研究了非自伴和不定问题的弱过罚内部罚方法。导出了能量范数下的最优先验误差估计。此外，我们引入了一种基于残差的后验误差估计方法，该方法在能量范数下被证明是可靠且有效的。为了验证我们的理论分析，我们进行了一些数值试验。

用一般方法构造了各种紧致差分格式（新旧、显式和隐式、一级和二级），它们用周期边界条件逼近扩散方程和薛定谔方程。给出了不同初始数据和右侧的数值实验结果。我们评估了它们收敛的真实阶数，以及它们的稳定性、有效性和各种单调性。最佳的Courant数取决于网格节点数和解的平滑度。对于给定Cauchy问题的数值积分所必需的固定数量的算术运算，应该组织各种方案的竞争。这种构造紧致格式的方法可以用于各种数学物理问题的数值求解。