本文分析了四阶问题低阶有限元方法的$L^2$范数误差估计。我们证明了有限元解的$L^2$范数中的最佳误差估计是二阶的，这是一般无法改进的。主要成分是为这些元素建立的饱和条件和有限元解能量范数误差的恒等式。该结果适用于文献中大多数流行的低阶有限元方法，包括：Powell-Sabin$C^1-P_2$宏元、非协调Morley元、$C^1-Q_2$宏单元、非协调矩形Morley元和非协调不完全双二次元。此外，该结果实际上适用于非协调Adini元、非协调Fraeijs de Veubeke元、非非协调Wang-Xu元和Wang-Shi-Xu元素，前提是它们满足饱和条件。这个结果解决了文献中长期存在的一个问题：四阶问题的低阶有限元方法的$L^2$范数误差估计能比能量范数的误差估计高出两个阶吗？

本文研究变粘度离散Oseen问题迭代解的预条件。这项工作的动机来源于多相流的数值模拟，由耦合的Cahn-Hilliard和不可压缩的Navier-Stokes方程控制。分析了可变粘度对一些已知预处理技术的影响。理论分析和数值实验表明，对于常粘度的Oseen问题，一些广泛使用的预处理技术在粘度变化时也是有效的。

分析了扩散方程自适应混合有限元方法（AMFEM）在不考虑数据振荡的情况下的误差减小、收敛性和最优性。首先，准误差，即应力变量误差和标度误差估计器之和，在两个连续自适应回路之间以固定因子减小，直至振荡。其次，针对准误差和磁通误差的发散，得到了AMFEM的收敛性。最后，建立了总误差的准最优收敛速度，即应力变量误差加上数据振荡。

具有多域和三结点的椭圆界面问题在工程和科学中有着广泛的应用。然而，角点奇异性对大多数现有方法来说都是一个具有挑战性的问题。需要一种准确有效的方法。本文提出了一种有效的非传统非贴体网格有限元方法，用于求解多域和三结点的椭圆界面问题。如果域中椭圆方程的矩阵系数为正定，则所得线性方程组为正定。数值实验表明，对于分段光滑解，该方法在$L^∞范数下具有二阶精度。角点奇异性的处理方式可以确保精度不退化。我们仔细地解决了三重结问题，并且不需要将其放置在网格上，这使得我们的方法能够在不重新生成网格的情况下处理移动界面问题。

在之前的一篇论文中，我们构造了一些特殊的多步余弦方法，这些方法被证明是非常有效的，因为能够以稳定和显式的方式积分二阶线性刚性问题。本文给出了这类一般方法的稳定性保证条件，并对对称方法的共振和滤波进行了深入研究（在另一篇论文中，证明了对称方法在哈密顿波方程不变量守恒方面表现得非常有利）。这里给出的是在上述方面分析和处理任何此类方法的系统方法。

我们给出了与各种阶微分算子sinc离散化相关的Toeplitz矩阵序列的一般表达式，分析了其代数性质，并导出了其特征值界。通过证明预处理矩阵的谱是一致有界的，我们证明了这些Toeplitz矩阵可以被某些带状Toeplitz-矩阵满意地预处理。特别地，我们还导出了带状Toeplitz预条件子的特征值界。这些结果是为由常微分方程和偏微分方程的sinc离散化产生的线性方程组构造高质量结构化预条件的基础，并有助于分析代数性质和导出相应预条件矩阵的特征值界。数值算例表明了带状Toeplitz预条件的有效性。

针对半线性椭圆型方程，提出了一种新的二层样条方法，在不同阶次的两层样条空间之间实现了两层迭代。新的两级方法是以p-自适应的方式实现的。在低阶样条空间中求解模型问题，得到了一个粗略的解，然后在高阶样条中通过一步牛顿迭代或修正牛顿迭代，得到了更高精度的解。我们还导出了所提出的两层格式的最优误差估计。最后，数值结果验证了我们的误差估计，并对进一步的研究课题进行了评论。

本文用双二次有限元逼近二阶椭圆算子的经典特征值问题。我们构造了一个新的超收敛函数恢复算子，从中得到了特征值近似的$O（h^8|\ln h|^2）$超收敛性。数值实验验证了理论结果。