我们研究了线性平流方程迎风格式的$L^1$-误差估计，该方程具有分段常系数，用于模拟跨越界面的线性波。这里，界面条件被浸入迎风方案中。我们证明，对于有界变差的初始数据，浸入界面迎风格式的数值解以$L^1$-范数收敛到具有相应界面条件的微分方程。我们根据[25]中使用的一种技术导出了显式系数的1/2阶$L^1$-误差界。我们还使用了在一篇连续的论文[32]中证明的关于二项式系数的一些不等式。

我们利用水平集公式研究了自由边界Bernoulli问题的数值解。利用摄动技术，我们导出了一种二阶方法，该方法可用于快速迭代求解。迭代过程经过调整，以便在拓扑发生变化的情况下工作。各种数值实验证实了所导出的数值方法的有效性。

我们考虑求解线性不适定算子方程。基于解空间的多尺度分解，我们提出了求解方程的多参数正则化方法。我们建立了多参数正则化解的弱收敛定理和强收敛定理。特别地，基于特征函数分解，我们提出了一种多参数后验选择策略，该策略给出了具有最佳误差界的正则化解。提出了几种实用的多参数选择。我们还通过数值实验证明了多参数正则化相对于单参数正则化的优越性。

对于具有对数核的第一类二维边界积分方程，使用传统边界元方法可以得到具有稠密矩阵的线性系统。在最近的工作中[J.Compute.Math.，22（2004），pp.287-298]，结果表明，如果在求积规则中使用合适的梯度网格，可以用稀疏矩阵代替稠密矩阵。数值实验还表明，与传统方法相比，所提出的数值方法所需的计算时间更少，同时可以保持形式化的收敛速度。本文的目的是为这种快速数值方法建立一个稳定性和收敛性理论。稳定性分析取决于配置方程系数矩阵的分解。严格证明了数值实验中观察到的形式收敛阶数。

本文提出了一种分离给定一元样条函数实根的算法，该算法基于笛卡尔符号规则和de Casteljau算法。数值算例表明了该算法的灵活性和有效性。

本文提出并分析了求解抛物型非线性奇摄动反应扩散问题的单调区域分解算法。为了求解偏微分方程的非线性加权平均有限差分格式，我们基于Schwarz交替方法和箱域分解构造了单调区域分解算法。该算法只需要在每个迭代步骤求解线性离散系统，并单调收敛于非线性离散问题的精确解。估计了单调区域分解算法的收敛速度。给出了数值实验。

本文提出了两个四阶精确紧致差分格式，用于求解相应波数较大的二维亥姆霍兹方程。其主要思想是推导和研究一个四阶精度紧致差分解格式，其前导截断项为$mathcal O（h^4）$项，与波数和亥姆霍兹方程的解无关。分析了紧致格式的收敛性，并考虑了基于FFT方法求解所得线性代数系统的实现。给出了数值结果，支持我们的理论预测。

利用欧几里德算法，提出了一种求非奇异比例因子循环矩阵逆的新算法。对奇异标度因子循环矩阵的群逆和Moore-Penrose逆进行了推广计算，并给出了数值例子来说明所提算法的实现。