本文研究了具有高度不连续系数的二阶椭圆问题的自适应精细网格上的局部乘性和加性多级方法。对于多层预处理系统，我们利用抽象的Schwarz理论研究了其谱的分布。证明了除少数小特征值外，预处理系统的谱相对于系数的跳跃和网格大小是有界的拟一致的。对于跳跃和网格，证明了多层预处理共轭梯度法的收敛速度是拟最优的。通过数值实验来说明理论结果。

经典的光流技术被开发用于计算同一场景的两个图像之间的虚拟运动场，假设流场的强度守恒和平滑。如果放弃这些假设，则可以采用这些技术来计算非来自图像的数据的时间快照之间的视流量，即使这些流量是湍流和发散的，例如表示复杂时空动态的流量。虽然成像方法已用于实验应用中的动力学分析，但它们仅开始应用于实验室外环境中的动力学计算，例如从卫星数据分析物种种群动力学。在这项工作中，我们提出了一种基于连续性方程和总变分正则化的变分光流方法，用于计算植物和浮游动物相互作用的两种捕食者-猎物模型产生的种群密度之间的流场。考虑到光流产生的时变矢量场，可以使用动力学系统的计算方法来研究物种相互作用中存在的伪载流子。这种方法可以测量物种的混合，以及种群在整个领域的迁移。

本文提出了一种新的求解极大极小优化问题的信赖域算法，该算法在每次迭代时仅基于新的近似模型求解一个二次型子问题。该方法不同于通常需要求解两个二次子问题的传统算法。此外，为了避免马拉托斯效应，采用了非单调策略。分析表明，在标准条件下，该算法具有全局收敛性和超线性收敛性。初步的数值实验表明了该方法的有效性。

本文考虑离散时间静态输出反馈控制设计问题。分析和研究了一种非线性共轭梯度法，用于求解由该最优控制问题产生的无约束矩阵优化问题。此外，通过对优化问题进行一定的参数化，启动共轭梯度法不需要初始稳定的静态输出反馈增益矩阵。最后，通过基准测试集中的几个测试问题对提出的算法进行了数值测试。

本文利用指数拟合技术研究一维奇摄动对流扩散问题的局部间断Galerkin（LDG）方法。我们证明了该方法对于小扩散参数在能量范数下一致一阶收敛。

本文利用多元分差逼近偏导数和叠加，将基于维数分裂技术的多元拟插值格式推广到二次多项式格式，该格式可以再现线性多项式。此外，我们给出了修正格式的近似误差。我们的多元多重二次拟插值格式只需要位置点的信息，而不需要近似函数导数的信息。最后，数值实验表明，我们的方案的近似率得到了显著提高，这与理论结果一致。

我们提出了一种求解二维瞬态对流扩散方程的高阶空间特征线方法。该方法在欧拉-拉格朗日局部伴随方法（ELLAM）的框架内使用双二次试探和测试函数。因此，它保持了以前的ELLAM方案的优势。也就是说，它以系统的方式自然地处理一般边界条件，守恒质量，并对称化控制传输方程。此外，即使在模拟中使用了较大的时间步长，它也能生成准确的数值解。通过数值实验验证了该方法的性能，并确定了其数值收敛阶。