在本文中，我们应用具有小网格相关人工粘性的自适应流线扩散有限元方法求解非线性双曲型偏微分方程，目的是获得高精度和网格效率。我们计算了稳态Burgers方程的数值解和收敛-发散喷管问题的解。计算结果证明，通过适当选择人工粘性系数，并应用Johnson等人基于后验误差估计的自适应策略，当使用连续分段线性元素时，可以获得$N^{-3/2}$的精度，其中$N$是元素数。

在本文中，我们提出了一种稳定、可靠和鲁棒的方法来重建一组二维电层析图像的密度函数。通过最小化由保真度项和正则化项组成的能量泛函，导出了$L^2$-梯度流。在空间方向和时间方向的显式欧拉格式。实验结果表明，该方法是有效的。

对于四面体$\mathcal{H}{（curl）}$协调Nédélec元，构造了一个具有较好调节性质的部分正交基。根据参考3-单纯形上的拓扑实体，形状函数被分为几类。构造每个类别中的基函数以实现最大正交性。矩阵条件化的数值研究表明，对于质量矩阵和拟刚度矩阵，在对数尺度上，条件数随近似阶数线性增长，直至三阶。对于每一阶近似，拟刚度矩阵的条件数大约比质量矩阵的相应条件数少一阶，在六阶近似下，用所提出的基对质量矩阵和拟刚度矩阵的条件处理优于用Ainsworth-Coyle基Internat对相应的条件处理。J.数字。方法。工程，58:2103-21302003年。此外，在新的基下，复合矩阵$µM+S$比Ainsworth-Coyle基在参数$µ$的大范围内具有更好的调节性。

本文提出了一种求解超奇异边界积分方程的数值方法。该方法是针对平面裂纹问题开发的：已知在这种情况下会产生额外的边缘奇异性。本文包括严格的误差分析，证明了数值格式的收敛性。包括三种类型的示例：自由空间中的拉普拉斯方程、自由空间和半空间中的线性弹性方程。

本文研究时滞微分方程的间断Galerkin（DG）方法。通过对每个单元进行正交分析，得出了这些方法在节点和特征点处的超收敛结果。将进行数值实验以验证所提方法的有效性和理论结果。

研究了具有$L^2$范数状态约束的Stokes方程的最优控制问题。构造了有限元近似。讨论了精确问题和离散问题的最优性条件，给出了在$L^2$-范数和$H^1$-范量下最优阶精度的先验误差估计。通过数值实验验证了理论结果。