本文对求解多频测量介质反问题的一般递推线性化算法进行了数学分析。在一些合理的假设下，证明了该算法的收敛性和误差估计。这项工作的动机是我们努力分析最近用于求解逆介质问题的重要数值结果。基于不确定性原理，递归线性化允许将非线性逆问题简化为一组线性问题，并根据测量结果以适当的顺序递归求解。作为应用，建立了求解声学逆散射问题的递归线性化算法的收敛性[Chen，Inverse Problems 13（1997），pp.253-282]。

我们研究了给定解析函数$\lambda$-矩阵$a（\lambda）$及其块模拟的光滑LU分解。给出了这种矩阵分解存在的充分条件，证明了由此产生的某些元素的可微性，并给出了特定元素导数的几个显式表达式。利用这些光滑LU分解，我们提出了两种计算$A（\lambda）$的多个非线性特征值的数值方法，并建立了它们的局部二次收敛性。通过几个数值算例说明了这些新方法的可行性和有效性。

本文提出了一种高效且易于实现的粗化算法，用于处理使用最新顶点平分法获得的二维自适应网格。新的粗化算法不需要显式存储二进制细化树。相反，该结构隐式包含在三角形元素的特殊顺序中。数值实验表明，所提出的粗化算法对多层预条件和时间相关问题的网格自适应性都是有效的。

我们计算了在常负曲率的紧致表面上传播的波，以及量子混沌理论和宇宙拓扑中的玩具模型亏格2。我们采用有限元的变分方法。我们必须通过适当的周期型边界条件来实现富克斯群的作用。尽管量子弱混合的动力学具有遍历性，但计算非常准确。瞬态波的频谱分析允许计算Laplace-Beltrami算子的频谱和本征函数。我们测试了满足几何控制假设的局部倾倒导致的指数衰减。

本文研究了基于不同数值通量的加权本质非振荡（WENO）方法的性能，目的是通过选择合适的数值通量来获得浅水方程的更好性能。采用WENO有限体积法和TVD Runge-Kutta时间离散方法，考虑了六种数值通量，即Lax-Friedrichs、局部Lax-Fridrichs，Engquist-Osher、Harten-Lax-van-Leer、HLLC和一阶中心通量。通过解决CPU成本、精度、非振荡特性和不连续性的解决问题，对一维和二维浅水方程进行了详细的数值研究。

基于低阶协调有限元子空间$（V_h，M_h）$，如$P_1$-$P_0$三角形单元或$Q_1$-$P_0$四边形单元，研究了具有非线性滑移边界条件的Stokes问题的局部稳定有限元方法。对于这类包含次微分性质的非线性滑移边界条件，与Stokes问题相关的弱变分形式是一个变分不等式。由于$（V_h，M_h）$不满足离散inf-sup条件，引入了一个宏元条件来构造局部稳定的公式，从而建立了$（V_h，M_h）$的稳定性。在这些条件下，我们得到了数值解的$H^1$和$L^2$误差估计。

最近，计算结果表明，所谓的“最大距离”规则和“嵌套定价”规则相对于实践中常用的其他主要规则，如Dantzig的原始规则、最陡边规则和Devex规则，具有显著的优越性。我们的计算实验表明，使用这些规则组合的单纯形算法效率更高。

信号和图像恢复问题通常通过最小化由$\ell_2$数据完整性项和正则化项组成的代价函数来解决。我们考虑一类凸且保边的正则化函数。具体来说，半二次正则化作为一种定点迭代方法通常被用来解决这个问题。本文的主要目的是利用牛顿法，利用半二次正则化技术解决上述信号和图像恢复问题。在牛顿法的每次迭代中，牛顿方程是一个对称正定系数矩阵的线性方程组的结构化系统，可以通过使用改进的块SSOR预处理器加速的预处理共轭梯度法有效地求解。实验结果表明，改进的块-SSOR预处理共轭梯度法对于进一步提高半二次正则化方法的数值性能是可行和有效的。

与离散三角变换（DTT）相关的块矩阵出现在波传播理论的几个应用的数学建模中，包括用矩量法、边界元法和辅助源法对散射体和辐射体进行离散。DTT由傅里叶矩阵、哈特利矩阵、余弦矩阵和正弦矩阵表示，它们是酉矩阵，并提供特定矩阵代数的同时对角化。研究上述波应用的主要工具是此类块矩阵的有效反演。为此，本文利用每个块的${U}$-对角化以及随后的相似变换过程，开发了一种有效的算法来求具有${U{$-可对角化块（${Uneneneep$-固定酉矩阵）的矩阵的逆。我们确定了该方法的计算复杂度，并指出与标准反演技术相比，该方法具有较高的效率。给出了该算法在Matlab中的实现。给出了几个数值结果，证明了该方法对病态矩阵的CPU时间效率和精度。所研究的矩阵源于实际的波传播应用。

分析了三维耗散Klein-Gordon-Schrödinger方程的全离散有限差分格式。基于差分解的一系列时间一致先验估计和Sobolev嵌入定理的离散版本，在有限时间间隔内得到了差分格式的稳定性和差分解最优阶的误差界。此外，对于与全离散有限差分格式相关联的离散动力系统，证明了最大吸引子的存在性。

Bai、Parlett和Wang[Numer.Math.102（2005），pp.1-38]提出并研究了求解增广线性方程组的广义逐次超松弛（GSOR）方法，并精确地获得了最优迭代参数和相应的最优收敛因子。本文进一步估计了GSOR方法的收缩因子和半收缩因子。研究的动机是，在有限步迭代计算中，迭代方法的收敛速度实际上取决于收缩因子，而不是谱半径。对于非奇异增广线性系统，在一定的限制条件下，我们得到了所涉及参数的收缩域，从而保证了GSOR方法的收缩因子小于1。对于奇异但一致的增广线性系统，我们也以类似的方式获得了参数的半收缩域。最后，我们用两个数值例子验证了GSOR方法的理论结果和有效性。