本文构造了广义非线性互补问题和变分不等式的无约束方法。研究了相应的无约束优化问题的性质。我们将这些方法应用于信赖域方法中的子问题，并研究它们之间的相互关系。给出了数值结果。

我们使用改进的Arcangeli方法研究了一类具有扰动算子和噪声数据的迭代Tikhonov正则化的后验参数选择。实现了正则化逼近的收敛速度。

提出了一种新的六阶龙格-库塔型方法，用于径向薛定谔方程和薛定谔-型耦合微分方程的数值积分。所开发的公式包含某些自由参数，可自动拟合成指数函数。我们给出了与其他六阶指数拟合方法的比较误差分析。理论和数值结果表明，新方法比其他指数拟合方法更精确。

本文给出了一类非线性最小二乘解的下降法。利用广义逆矩阵得到了一类更新公式。这些公式生成了对目标函数的Hessian矩阵第二部分的近似，并进行了更新，使得对整个Hessian阵的近似结果是类Broyden更新公式的凸类。证明了所提出的更新公式在线性变换下是不变的，并且这类因式分解拟Newton方法是局部收敛和超线性收敛的。数值结果表明，所提出的方法是有前途的。

本文对均匀化方法进行了改进，发展了一种双重耦合近似方法，它既能反映整体结构及其荷载的宏观特性，又能反映复合材料的微观结构特性。考虑编织膜的边值问题，给出了精确解的对偶渐近表达式，并讨论了其近似性和误差估计。最后通过数值算例验证了该双重耦合方法的有效性。

本文讨论了Raviart-Tomas元素（$Q_{2,1}乘以Q_｛1,2｝-Q_1$元素）。除了它的四阶全局超收敛性质外，我们还证明了后处理外推可以将精度全局提高五阶。

在这一系列的三篇论文中，我们研究了椭圆型和抛物型方程的奇摄动（SP）边值问题。对于摄动参数较小的情况，在这些问题中会出现抛物线边界层和内层。如果使用经典离散化方法，则有限差分格式的解和扩散通量的近似值不会就该参数一致收敛。利用特殊的自适应网格方法，我们可以构造差分格式，使解和归一化扩散通量相对于小参数一致逼近。
我们还考虑了对流扩散方程的奇摄动边值问题。对于这些问题，我们构造了特殊的有限差分格式，其解一致收敛于$ε$-。我们研究了当使用经典方案来近似空间导数时出现的问题。我们将结果与采用自适应方法获得的结果进行了比较。对数值实验结果进行了讨论。
在这三篇论文中，我们首先介绍了一般问题，然后分别考虑（i）需要解和正规化扩散通量的SP抛物方程的问题；（ii）具有Dirichlet、Neumann和Robin型边界条件的SP椭圆方程的问题；（iii）具有间断边界条件的SP抛物方程问题。