本文讨论了Wilson单元区域分解方法中的最优预处理。预处理过程由基于较粗网格的小规模全局问题的求解和若干可任意选择的独立局部子问题组成。预处理系统的条件数由与全局和局部子问题相关的一些特征数估计。通过适当的选择，可以得到最优预条件，而条件数与问题的规模和子问题的数目无关。

本文考虑了Penrose（1991）导出的具有Glauber动力学的动态Ising模型的平均场运动方程。给出了各种有限差分格式，如显式Euler格式、预测-校正格式和一些隐式格式，并讨论了它们的收敛性、稳定性和动力学性质。此外，还构造了离散半群$\{S\}_{n>0}$的Lyapunov泛函。最后，对数值算例进行了计算和分析。结果表明，该模型较好地逼近了Penrose（1991）中提到的Cahn-Allen方程。

针对广义Zakharov方程的初边值问题，提出了一种保守的差分格式。基于$L_2$范数的先验估计，证明了差分解的收敛阶为$O（h^2+r^2）$。在证明中，使用了一种新的技巧来处理差商$（e_{j，k}^n）t$项。这是必要的，因为在$L_\infty$范数中没有对$E（x，y，t）$的估计。

本文研究常微分方程线性哈密顿系统数值逼近的有限差分格式。保持哈密顿流定性性质的数值方法称为辛积分器。Runge-Kutta方法中有几种已知的辛方法。然而，在线性多步方法（LMM）中，没有已知的高阶辛积分器。在这里，通过使用LMM作为边界值方法（BVM），我们证明了任意高阶辛积分器在这类中也是可用的。此外，这些方法既可以用于求解初值问题，也可以用于求解边值问题。在这两种情况下，至少对于线性问题，哈密顿系统的流的性质“本质上”由离散映射保持。

本文将广义互补问题表示为一个无约束优化问题。我们的结果推广了[9]的结果。无约束问题的维数与原问题的维数相同。如果广义互补问题的映射是可微的，则无约束问题的目标函数也是可微的。原问题的所有解都是优化问题的全局极小值。给出了广义严格互补条件。在一定的假设下，研究了相应的无约束优化问题的局部性质。也报告了有限的数值试验。

我们用数学上严格的方式推导了板和声场之间的耦合振动。这导致了非标准特征值问题。抽象地考虑了有限元近似，并通过一些Ritz投影将近似特征值问题写成算子形式。根据Babuška和Osborn的结果证明了收敛阶。文中给出了该问题的一些数值例子，并计算了其精确解析解。结果表明，收敛阶与数值分析的收敛阶一致。 

我们将研究Schwarz交替法对凹区域的收敛性，其中凹区域被分解为凸子域。还证明了由Schwarz交替导出的正则预条件子的最优性。结果表明，收敛速度和条件数与网格大小无关，但与子域的相对几何位置有关。特别注意非均匀网格，只使用局部属性，如有限元的形状规则性。