双中心四边形II的简易构造：
这是关于什么的？
数学机器人

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如果applet不运行怎么办？

解释

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双中心四边形的简易构造

四边形是双中心的如果两者都是可铭文的和可限制的. (可刻字的意味着承认一个内圆。可加分词意思是环状的，即接受外接圆。）双中心四边形可能看起来很奇怪，但小程序显示了如何轻松构建这种四边形。（另一种结构出现在其他地方.)

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如果applet不运行怎么办？

设ABCD是一个顶点位于给定圆上的循环四边形w个设P表示对角线AC和BD的交点。从P中减去垂线PK、PL。。。我们的第一个断言是四边形KLMN是可铭文的。（如证明所示，如果我们从任意四边形ABCD开始，那么KLMN是可铭文的，如果ABCD是循环的。）

提议1

KLMN是可铭文的。

证明

通过构造，四边形KBLP是循环的。因此，

∠KLP=∠KBP，

对向同一弦KP。注意∠KBP=∠ABD。由于LCMP也是循环的，因此我们类似地获得

∠MLP=∠MCP=∠BCD。

对于循环四边形ABCD，∠ABD=∠ACD，因此∠KLP=∠MLP。因此，LP是角度L的平分线。同样，KP、MP和NP分别是角度K、M和N的平分。由于他们都在P中相遇，P是KLMN的核心。

为了使KLMN成为双中心，它必须是可限定的-循环的。其条件如下所示

提议2

KLMN是循环的，当ABCD是正交对角的。

证明

假设ABCD是正交对角线即。，AC（基本类）以及循环。由布拉马古普塔、PK、PL、PM和PN为麦芽糖在四边形ABCD中，也就是说，它们在P以外的延伸部分在它们的中点处穿过对边。设为K'、L'、M'和N'。四边形K'L'M'N'正是Varignon平行四边形四边形的ABCD。因为后者是正交对角的，所以K'L'M'N'实际上是一个矩形。

矩形是一种循环形状，其圆心位于对角线的交点处，这两条对角线都是内圆的直径q个例如，在ΔLL'N'中，角度L是右的，而斜边L'N'是圆的直径q个因此，L位于q个当然，K、M和N也是如此。

综上所述，四边形KLMN内切在以K’M’和L’N’交点O为中心的圆上。

相反，假设KLMN是循环的，让我们计算ΔAPB中的角度。我们会展示的∠APB=90°。（请注意，下面的参数实际上是可逆的，并不取决于ABCD是循环的假设。）

首先，KLMN的周期性等价于

(1)	∠LKN+∠LMN=180°。

通过构造，四个四边形MPND、MPLC、LPKB和KPNA也是循环的。从中我们陆续获得

(2)	∠NDP=∠NMP， ∠LCP=∠LMP， ∠LBP=∠LKP， ∠NAP=∠NKP。

显然

(3)	∠NDP+∠NAP=∠CPD， ∠LBP+∠LCP=∠APB， ∠NMP+∠LMP=∠LMN， ∠LKP+∠NKP=∠LKN。

（2）和（3）一起导致

(4)	∠LKN+∠LMN=∠APB+∠CPD=2∠APB。

所需∠APB=90°现在由（4）和（1）得出。

小程序还建议三个点O、P和E共线。这是真的，可以用总体框架.

工具书类

R.Honsberger，在Pólya的足迹中，MAA，1999年，第60-64页
A.A.Zaslavsky，四边形的正交对角映射,量子，n 4，1998，pp 43-44（俄语），pdf可在https://kvant.mccme.ru/1998/04/.