给定两点比的点的轨迹

给定两个点A和B以及一个数r。点P的轨迹是什么，使得AP/BP=r？

给定两个点A和B以及一个数字r。点P的轨迹是什么AP/BP=r？

轨迹是一个圆，除非r=1，在这种情况下，它是AB的垂直平分线。该证明利用了角平分线的特性：内部的和外部的.

看看这个(还有一个额外的证据)，在直线AB上构造点M和N，以便AM/BM=AN/BN=r。对于r≠1，M和N总是存在的。注意，M和N都位于所寻找的轨迹上。

阿波罗纽斯圆

手边的圆的直径为MN。实际上，M是三角形APB在顶点P的内平分线的底脚，PN是外平分线。因此，项目经理（PN）。弦PM和PN垂直，因此定义为90°内接角该角度指向180°弧，这意味着MN是圆的直径.

对于圆上的任意P，角APB的内外平分线穿过（固定点）M和N。

我们刚才构建的圆圈称为阿波罗纽斯圈.对于r和不动点A和B的不同值获得的所有此类圆族称为阿波罗圈子家族由点A和B定义。注意这些圆中的一个（对应于r=1）实际上是一条直线。通常很容易将直线与公共圆一起视为广义圆s、半径无限和有限的圆。

因为对于相同的A和B，每个阿波罗圆对应不同的r，所以没有两个阿波罗圆相交。对于0<r<1，圆圈更靠近A并围绕着它。对于r的较小值，它们越来越接近B。对于r>1，圆圈围绕着B，并且随着r的增长，它越来越接近它。因此，点A和B通常被视为圆，现在点圆,半径为0的圆。

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