给定两点比的点的轨迹

给定两个点A和B以及一个数字r。点P的轨迹是什么AP/BP=r?

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阿波罗圆定理

给定两个点A和B以及一个数字r。点P的轨迹是什么AP/BP=r?

轨迹是一个圆,除非r=1,在这种情况下,它是AB的垂直平分线。该证明利用了角平分线的特性:内部的外部的

看看这个(还有一个额外的证据),在直线AB上构造点M和N,以便AM/BM=AN/BN=r。对于r≠1,M和N总是存在的。注意,M和N都位于所寻找的轨迹上。

阿波罗纽斯圆

手边的圆的直径为MN。实际上,M是三角形APB在顶点P的内平分线的底脚,PN是外平分线。因此,项目经理(PN)。弦PM和PN垂直,因此定义为90°内切角该角度指向180°弧,这意味着MN是圆的直径

对于圆上的任何P,角度APB的内平分线和外平分线穿过(不动点)M和N。

我们刚才构建的圆圈称为阿波罗纽斯圈对于r和不动点A和B的不同值获得的所有这样的圆的族被称为阿波罗圈子家族由点A和B定义。注意这些圆中的一个(对应于r=1)实际上是一条直线。通常很容易将直线与公共圆一起视为广义圆s、 无限半径和有限半径的圆。

因为对于相同的A和B,每个阿波罗圆对应不同的r,所以没有两个阿波罗圆相交。对于0<r<1,圆圈更靠近A并围绕着它。对于r的较小值,它们越来越接近B。对于r>1,圆圈围绕着B,并且随着r的增长,它越来越接近它。因此,点A和B通常被视为圆,现在点圆半径为0的圆。

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