几何平均数的简短构造

这个几何平均值两个正数b条是(正数)其平方等于乘积ab公司:

  2=ab公司

几何平均值经常出现在几何情况.最简单的一种方法是对金三角后一种配置允许泛化。事实上,如果两个等腰三角形OTB和OAT相似,如下图所示,则它们对应的边满足比例OT/BO=AO/OT,OT是AO和BO的几何平均值,适用于任意两段AO和BO。

  两个相似等腰三角形的几何平均值

基于此配置,C.O.塔克1929年提出了两条线段的几何平均值的简短而优雅的构造。

  具有两个相似等腰三角形的几何平均数的短构造

假设三个点O、A、B放在一条线上,A和B相对于O位于同一侧。塔基的结构包括画三个半径相同的圆R=OB:

 
  1. 画圆C(B,R),
  2. 绘制圆C(A,R),并将其与穿过O的线OAB的交点标记为K,
  3. 画圆C(K,R),让T是C(K,R)C(B,R)。

然后是OT=AO·BO公司


实际上,BT=BO是同一圆C(B,R)的两个半径OT=自动变速器,通过结构的对称性(AB=KO),它将生成的配置放在前面提到的两个类似等腰三角形的框架中。

1929年文章和结构的背景是Lemoine在他的Géomé记录通过基本操作的总数来评估结构的简单性(将罗盘或直尺的一个尖端对准一个点或一条线,画一个圆或一条直线)。根据D.E.史密斯考虑了LemoineLa Géomé文字他最伟大的作品,尽管他在19世纪末三角几何的重生中扮演的角色获得了更多的赞誉。推导或构造的大小可能在数学中发挥重要作用的概念似乎直到最近才吸引数学家,随着复杂性理论的出现,例如,参见O.Goldreich在数学无限-2001年及以后普林斯顿大学数学助理

C.O.Tuckey以一个含蓄的挑战结束了他的论文。“如果设计出一种不太复杂的结构,我希望一些读者数学公报“说实话,我不知道在这80年来是否有人接受了挑战。我仍然被建筑的优雅所吸引。

工具书类

  1. O.Goldreich,计算复杂性,英寸数学无限-2001年及以后,B.Engquist,W.Schmid(编辑),Springer,2001年
  2. O.Goldreich、A.Wigderson、,计算复杂性,英寸普林斯顿数学指南,T.Gowers(编辑),普林斯顿大学出版社,2008年
  3. C.O.Tuckey,平均比例的构造数学公报第14卷第203号(1929年10月),第542-544页
  4. D.E.Smith,传记:Emile-Michel-Hyacinth Lemoine美国数学月刊第3卷第2期(1896年2月),第29-33页

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