数学证明

证明对于数学来说就像拼写(甚至书法)对于诗歌一样。数学作品由证明组成,正如诗歌由文字组成一样。

弗拉基米尔·阿诺尔德

约翰·保罗斯引用伯特兰·罗素(Bertrand Russell)的以下引文:

纯数学完全由这样的断言组成,即如果某个命题对任何事物都是真的,那么某个命题对该事物都是真的。。。重要的是不要讨论这个命题是否真的是真的,更不要提什么东西应该是真的。。。如果我们的假设是关于任何事情,而不是关于某个或多个特定的事情,那么我们的推论就构成了数学。因此,数学可以被定义为我们永远不知道自己在谈论什么,也不知道自己所说的是否属实的学科。

保罗接着说

虽然无处不在的人既不知道自己在说什么,也不知道自己说的是不是真的,这可能会错误地暗示数学天才猖獗,但这句引言确实对数学的形式公理化方法进行了简明扼要的总结,尽管有些言过其实。

这两种观点都是令人愉快和发人深省的。对我来说,前者只是简单地说证明命题是数学的本质。在不同的程度上,带着不同程度的快乐或悲伤,我们大多数人都接触过数学定理及其证明。即使是那些对极其乏味的数学练习记忆犹新的人,也不会否认偶尔会被建立抽象数学真理的尝试难倒。

我不确定是否有可能将练习完全从数学教室中删除。但我希望,随着时间的推移,更多的重点将放在数学的抽象方面。演练不包含任何知识。充其量,在对同一基本运动的多种变化流汗之后,我们可能会对运动的意义有一些大致的概念。(最坏的情况是,汗水和精力都会流失,而对数学的恐惧会在我们的良心上站稳脚跟,在于数学概念的抽象性和普遍性。非专业人士可能既欣赏音乐又欣赏其他艺术,而不善于创作音乐或绘画。没有理由不让更多的人学习欣赏数学美。

根据康德,两种感觉崇高的美丽的唤起快乐,在崇高的情况下,这种快乐往往与恐惧交织在一起。按照这个标准,大多数人会把数学归类为崇高而非美丽。另一方面,康德也说崇高移动而美丽魅力我相信数学对普通人来说都不会产生这些影响。尝试为了充分利用这一点,我将引用康德的第三句话来寻求庇护:“崇高必须永远是伟大的,美丽也可以是渺小的。”

健康生物学,一篇优秀的高中课文J.E.迈凯轮L.Rotundo,谈到实验科学,关于证据有以下说法:“还要注意,科学家通常避免使用这个词证明证据可以支持假设或理论,但不能证明理论是正确的。在未来,一个新的想法总是有可能为证据提供更好的解释。“因此,我们看到证明是数学理论的一种特殊属性。证明可能只存在于B.Russell所描述的形式系统中。

值得注意的是,虽然证明和演绎推理在数学中起着重要且实际上是排他性的作用,但从一个证明到另一个证明,演绎步骤并不是数学的实现方式,例如,请参阅W.Thorston的一篇引人入胜的文章论数学的证明与进步

有了这些预备知识,我想开始收集数学证明。我将区分两大类。第一个特点是简单。证明被定义为从一个命题到另一个命题的推导。一步推导就足够了。如果需要,可以发明公理。这是我在一本书中发现的最好的证明I.斯图尔特我认为大多数证据都应该为中学生所用。

在第二组中,将主要根据证据的魅力来选择证据。简单是美的源泉,将证据选入第二组是困难的,而且必然是主观的。第一本藏书是我在一本书中偶然发现的约翰·康韦的作品R.洪斯伯格。许多数学家会坚持认为数学对象(即使是最抽象的)也有自己的物理对象。数学家可能只会发现它们并研究它们的属性。查看证据。想想那些黄金比率康威发明了它们吗?还是它们一直在填充网格?

  • 跳棋问题

    简单的证明

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    迷人的证据

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    35. 双面不平等——一个起源
    36. 不可计数的雷亚尔-通过游戏

    还有一些事实,一些数学陈述似乎隐藏着一些秘密,对大多数人来说是违反直觉的或令人惊讶的。通常,他们的证明要么直截了当,要么本身微不足道,这表明还有一个额外的列表

    吸引人的事实

    1. 一个古老的日本定理
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    3. 关于直线和三角形
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    11. Dan Sitaru的多变量循环不等式
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    16. 消失平面中的函数
    17. 梯形中的几何平均值
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    20. 相交弦定理
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    25. 五角大楼和十角大楼,均为常规
    26. 九点生成的点
    27. 普罗伊兹沃洛夫的身份
    28. 通过切点的圆的性质
    29. 托勒密定理
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    35. 另一个欧拉公式
    36. 尺寸在Beholder眼中
    37. 60度角的三个同时和弦
    38. 两座金字塔的体积
    39. 单位圆上的奇妙不等式

    证明意味着说服。更严格地说,证明是从公理或先前确定的事实中推论出事实的一系列过程。遵循逻辑规则的推论被默认为足够令人信服。然而,有时由于错误或疏忽,错误会突然出现在证据中。然后,证据可以提出一个令人信服的论据,证明事实的正确性,而事实本身可能是真的或假的。如果一个证明对一个不正确的陈述的有效性提出了令人信服的论点,那就叫做谬误的或a谬误有时,错误的演绎会导致正确的陈述。这种导致正确结果的残缺扣除,我将简单地指定为虚假、错误或无效的证据每一个都应该被判断为矛盾修饰法

    谬论

    1. 1 = 0
    2. 1 = 2
    3. 1=2通过连分数
    4. 1/2 = 1
    5. 有两个中心的圆
    6. 错误的解剖
    7. 所有整数都等于1
    8. 所有整数均为偶数
    9. x的所有幂都是常数
    10. 2的所有幂等于1
    11. 所有三角形都是等腰的
    12. 柯里悖论
    13. 解决了Delian问题
    14. $\pi^e$是合理的
    15. 每个平行四边形都是矩形
    16. 四重称量
    17. 高尔顿悖论
    18. 在微积分中1=0
    19. 朗曼悖论
    20. 家兔繁殖;整数不
    21. Rouse Ball的谬论
    22. 安全保障局
    23. 萨姆·洛伊德的儿子解剖
    24. 所有自然数之和
    25. 从一点到一条直线的两个垂线

    无效的证明

    哲学理解通过推理获得的知识,从任何事物的生成方式到属性。。。因此,我们也不会给任何错误的结论起这个名字;因为用自己理解的语言进行正确推理的人永远不会得出错误的结论。

    托马斯·霍布斯
    利维坦,第46章
    《企鹅经典》,1982年

    1. 古代问题=古代解决方案
    2. 勾股定理的微积分证明
    3. Delian问题
    4. 等边四边形I
    5. 眼球定理,证明#5
    6. 外角定理
    7. 对称性错误
    8. 费马最后定理
    9. 无论你如何解决。。。一个奇妙的方程式
    10. 每个梯形都是平行四边形吗?
    11. 三角形不等式是必要的吗?
    12. 莫利定理:一个需要修正的证明
    13. 勾股定理:一些伪证
    14. SSS系统
    15. 四边形何时可以刻字?
    16. 来自Marocco的不平等,有证据吗?

    工具书类

    1. R.Honsberger,数学宝石II,MAA,1976年
    2. 一、康德,美与崇高的情感观照,大学加州出版社,1991年
    3. J.A.Paulos,超越数字,复古图书,1992年
    4. S.Savchev、T.Andreescu、,数学模型,MAA,2003年
    5. 伊恩·斯图尔特,大自然的数字,BasicBooks,1995年

    宣言

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