仅使用指南针的几何构造

你可以用尺子和指南针做任何事,你可以只用指南针。

嗯,不是所有的。例如,你不能用指南针画直线。没有但是,你可以做任何合理的事情。我希望你能发现这一点非同寻常。

在所谓的指南针的几何形状,直线由任意一对定义两个点。从两个点开始,其他点可以单独使用指南针构建。因此,在下面构造一条直线意味着找到属于该直线的两个点。

备注

有些几何图形从不使用标尺开始。例如,英寸有限几何它只包含有限数量的点和线,而线只是点的(有限)集合。在球体上,直线的作用是由大圆发挥的。仅用指南针进行几何构造的问题与此类几何学无关。罗盘几何只处理欧几里德平面上的结构,其基本问题可以表述为,单靠指南针就能完成什么样的规则和指南针结构?

洛伦佐·马斯切罗尼(Lorenzo Mascheroni,1750-1800)在1797年的论文中提出,每一种规则和罗盘结构都可以用罗盘完成罗盘的几何学。

有趣的是,1928年,丹麦数学家赫耶姆斯列夫在哥本哈根的一家书店发现了一本书通过G.莫尔有头衔的欧几里德Danicus(丹麦欧几里得)并于1672年在阿姆斯特丹出版。令他大吃一惊的是,赫耶姆斯列夫在书的第一部分中发现了对马斯切罗尼结果的完整处理。因此,仅带指南针的结构通常称为莫尔-马斯切罗尼构造

受马斯切罗尼结果的启发,雅各布·斯坦纳(Jacob Steiner,1796-1863)试图证明类似的结果用直尺代替罗盘。在他的书中使用直线的几何构造和固定圆斯坦纳于1833年出版了这本书,他证明了给定一个固定的圆及其中心,平面上的所有构造都可以只用直尺完成。只使用初等射影几何可以显示出圆圈是不可或缺的

关于马斯切罗尼的结果,我们没有检查飞机上的每一个结构同意这样的施工可以通过四个基本施工顺序来完成:

  1. 使用给定的圆心和半径绘制圆的步骤
  2. 求两个圆的交点
  3. 求直线与圆的交点
  4. 找到两条直线的交点

困难显然在于最后两个问题。罗盘几何学即使对于简单的问题,结构也可能非常模糊。为了避免事情复杂化把一个问题分解成几个简单的步骤总是很有用的。马斯切罗尼结果的证据将出现以下问题的组合。(然而,并非所有问题都与证明。)

问题(仅使用指南针)

在下面的所有问题中,线段AB由其端点a和B给出。

  1. 建造比AB大一倍的线段2、3、4等。
  2. 已知点C位于直线AB之外。构造一个相对于AB与C对称的点D。
  3. 圆由半径R和圆心O给出。假设O不在AB上。求圆与线段AB的交点。
  4. 找到一个点C,使AC垂直于AB。
  5. 确定三个给定点A、B、C是否位于同一条线上。
  6. 给定三个点A、B和C。已知C位于直线AB之外。完成平行四边形ABCD。
  7. 设两个点A和B属于一个中心为O的圆。将圆的两条弧平分由点A和B定义。
  8. 圆由半径R和位于AB上的圆心O表示。找到圆与线段AB的交点。
  9. 用AB边建一个正方形。
  10. 将量a、b、c定义为三个给定线段的长度。找到x,这样a/b=c/x。
  11. 找出两条直线的交点,每条直线分别由一对点AB和CD给出。
  12. 构造比AB小2、3、4等倍的线段。
  13. 构造给定圆的中心。
  14. 将给定线AB平分。
  15. 建造正规五角大楼

工具书类

  1. R.Courant和H.Robbins,什么是数学?,牛津大学出版社,1996年
  2. H.Dorrie,初等数学100大问题,多佛出版社,纽约,1965年。
  3. M.加德纳,数学马戏团,Vintage Books出版社,纽约,1981年
  4. R.Honsberger,数学的灵巧性,MAA,新数学图书馆,1970年
  5. A.科斯托夫斯基,仅使用指南针的几何构造,Mir Publishers,莫斯科,1986年
  6. G.E.Martin,几何构造1998年,施普林格
  7. S.K.Stein,数学:人造宇宙第3版,多佛,2000年。

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