如何构造根轴

给定两个圆（A（B））和（C（D）），圆心分别位于（A）和（C\），并分别通过点（B）和（D\）。下面我们讨论它们的欧几里德构造径向轴两个圆的根轴是两个圆切线相等的点的轨迹。它也可以定义为与给定两个圆同时正交的圆心轨迹。结构惊人地简单：

画任意一个与（A（B）和（C（D））相交的圆（C（E，F）），一个在点（G，H，）中，另一个在点子（I，J.）中。

给定两个圆的根轴的构造

这种结构适用于任何一对非同心圆。有充分的理由定义无穷远处的直线作为共享一个中心的两个圆的根轴。

下面的小程序说明了构造。点\（A、B、C、D、E、F）可拖动。

为什么这座建筑能起作用？最简短的解释源于平等的及物性并且根据两个相交圆的根轴是通过两个相交点的线这一事实。可以通过使圆\（A（B）\）和\（C（D）\）相交来验证后者。及物性意味着根中心三个圆圈。实际上，取两对圆圈，比如（A（B），E（F））和（C（D），E。值得注意的是，从两个根轴的交点\（K\）开始，所有三个圆的切线都相等，这意味着该点位于第三根轴上。根据对称性，后者垂直于中心线（AB）。另一个简短的解释是基于点的力量，或相交弦定理。事实上，在圆圈\（E（F），\）\（KH\cdot KG=KI\cdot KJ\）中。但第一个乘积是\（K）相对于\（A（B）\）的幂，而第二个乘积则是\（K\）的功率，代表\（C（D）\）。

这就是您在小程序中看到的内容。然而，在小程序中，构造是作为一系列代数步骤来实现的。下面我解释如何。

为了便于计算，我选择了一个特殊的圆（E（F））。为了强调那个圆的属性，我改变了符号。圆的中心（L）是（a（B）和（C（D）的根轴上的一个点\)选择与（A（B））和（C（D）正交的圆\)设（LN）和（LP）与（A（B））、（LM）和（LR）相切\)由于（L）不是（A（B）和（C（D）的根轴，所以所有四个线段都相等，因此点（M，N，P，R）是以（L）为中心的共环点。它们的圆与\（A（B）\）和\（C（D）\）都正交，因为例如\（CM\perp LM\）。

给定两个圆根轴的构造代数

设（T）是从（L）到（AB）的垂足。这一点是计算的核心，或者说是目标，因为在（T）处与（AC）的垂线正好是（A（B）和（C（D）的根轴\)通过以下几种应用勾股定理,

\(LN^{2}+AN^{2{=AL^2=AT^{2neneneep+LT^{2neneneei\\LM^{2}+CM^{2{=CL^2=CT^{2}+LT^{2{。\)

这两个方程的差得出

\(AN公司^{2} -构型管理^{2} =在^{2} -CT^{2} =AC\cdot（AT-CT），\)

对于，正如所指出的，\（LM=LN\）。因此，我们有一个系统：

\（\显示样式AT-CT=压裂{AN^{2} -构型管理^{2} }{AC}\\AT+CT=交流，\)

其中，\（\displaystyle AT=\frac{1}{2}\bigg（\frac{AN^{2} -构型管理^{2} }{AC}+AC\bigg）。\）

根轴和根中心

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