问题解决的策略和策略

“……较小的已解决和未解决问题会导致较大的已解决或未解决问题,进而导致重要的数学结果。”

默里·S·克拉姆金

“我解决的每一个问题都成了一条规则,后来又用来解决其他问题。”

笛卡尔

投入使用

解决问题不是数学独有的活动。有一些解决问题的策略适用于解决任何人类努力中的问题。但每个领域和每个情况都需要特定的知识和特定的思维习惯来应用于解决问题。因此,我将通用策略与特定领域的策略区分开来。

作为一名年轻的助理教授,我一直在找一张桌子。我在一家木匠店找到了一张尺寸合适的新普通桌子,据我估计,它的价格甚至不足以支付材料成本。对于我的指出,店主回答说:“没关系。这是因为我知道怎么做。”35年后,我仍然保留着那张桌子,尽管它现在在我们家扮演着不同的角色。

乔治·波利亚(George Polya)的四个问题解决阶段中没有具体的数学:

  1. 了解问题
  2. 制定计划
  3. 执行计划
  4. 回顾过去

除此之外,我还可以考虑将特殊情况作为理解问题的垫脚石;寻求类似或相关问题;将问题分解为较小的问题(也可以被视为进入波利亚的第二阶段)。泛化是专业化的反义词,通常会揭示问题的真实本质。这些都是解决问题的战略工具。然而,实施细节必须针对具体领域。

在撰写本文时,该网站包含约5500页,其中至少三分之一用于解决问题奥运口径。根据所采用的解决问题的策略对它们进行分类可能需要时间,但我计划以系统的方式进行分类。

我在Murray Klamkin的一篇文章中找到了详细的分类,引用如下。我补充了一些,对于一些人来说还没有找到合适的例子。我将寻找填补空白。

我非常感谢您的评论和其他示例。

解决问题总是令人满意的。解决问题的最常见方法是确定问题所属的一般类,并使用适用于该类问题的方法(如果存在)。解决问题的乐趣更多的是检测和利用问题的特性的结果。通常,这些曾经被观察到的特性定义了一类经过改进的问题,这些问题采用相同的解决方法。这实际上是一个问题解决者的学习过程:回顾刚刚解决的问题,记下是什么特征使你使用的方法可以解决问题。

解决问题的最佳策略之一是做点什么; 如果你没有马上找到解决问题的方法,不要慌张(并且保持)。试试其中的一种策略,强迫自己大声说话——总会有结果的。雷·布拉德伯里(Ray Bradbury)在缺乏想法时,学会了使用字典挑选随机的单词,试着把它们组合成有意义和相关的东西。所以试试看。

此外,请注意,一些战术之前在短期化验证明的内容。

进一步阅读

我强烈推荐1981年的文章乔治·波利亚的启发式及其与人工智能的关系作者Alan Newell,在讨论Polya的问题解决启发法对人工智能的适用性之前,对其进行了深入分析。

  1. R.Gelca、T.Andreescu,普特南及其他地区,施普林格,2007年
  2. A.恩格尔,问题解决策略,施普林格出版社,1998年
  3. M.S.Klamkin,问题解决中的数学创造力II,英寸在伊夫斯的圈子里J.M.Anthony(编辑),MAA,1994年
  4. G.波利亚,如何解决普林斯顿大学出版社,1973年
  5. G.波利亚,数学发现约翰·威利父子公司,1981年
  6. G.波利亚,数学与猜想,v 1,普林斯顿大学出版社,1954年
  7. P.Zeitz,问题解决的艺术和技巧,John Wiley&Sons,1999年

特殊情况

Specializaton,即考虑特殊情况或引入附加限制,同时尝试解决问题可能会突出最初问题的某些方面,而这些方面可能第一眼就被忽略了。成功解决特殊情况可能会再次保证原始索赔的有效性,而未能解决特殊情况则可能会促使解决者寻找反例这也将有助于反驳更大的问题。

专业化与一般化; 这两种工具都是解决问题工具库中的宝贵工具,这真是太棒了。

一般化

有一个整页在致力于G.Polya论文的网站上,通常更一般或更严格的问题比更特殊的问题更容易解决。该页解释了概念,并列出了几个已解决的示例问题列表。

类比

这个勾股定理在$3D$空间中有两个不同的类似物。对于边为$a、b、c$和对角线为$d的平行管,我们有$a^{2}+b^{2{+c^{2neneneep=d^{2neneneei对于在共享顶点和区域$a、B、C、$$a^{2}+B^{2{+C^{2neneneep=D^{2neneneei处具有直角的三个面的四面体,$其中$D$是剩余面的面积。

存在相似的非常接近相似,但后者通常更具体。

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    放松

    对称

    连续性

    连续性变元假设存在一个连续函数,其属性可用于解决给定问题。例如,可以假设(并最终证明)面积是几何形状的连续函数(但请注意,并非所有平面形状都可以以任何合理的方式指定数字面积。常见的多边形、圆、椭圆的面积都持续依赖于其形状。)

    相似性

    在数学中,“相似性”一词可能在几种不同的上下文中出现。有一个特殊的页面,其中包含解释和各种示例:什么是相似性?

    WLOG(WLOG)

    不失通用性-WLOG(WLOG)简而言之,是解决问题的常用策略。虽然乍一看,它的威力令人难以置信,但通常看起来是无害的。WLOG的本质是在许多可用的变量中进行随机选择,因为所有可能的变量都是等效的,即导致完全相同的过程和结果。有关进一步的解释、示例和链接,请查看单独的文件

    荒诞还原

    方法之一证明是“荒诞的还原”——假设要证明的是错误的,结果产生了矛盾。

    解释和示例

    数学归纳法

    单独的页面

    鸽子洞原理

    单独的页面

    正在生成函数

    单独的页面

    液位曲线

    线性

    极值原理

    什么是极端原则?

    凸度

    不平等

    反向工作

    替代

    等价类

    不变式

    转型

    角度追逐

    追逐角度的方法在单独的页面

    反例

    反例是一个具有负面含义的例子。虽然一个例子可以用来支持或说明一个主张,但反例可以用来反驳一个主张。如何使用示例通常取决于目的或公式。例如,单词“nth”是一个没有元音的英语单词。这是对每个英语单词都包含元音的说法的反例。

    有关更多单词和更多示例,请参见单独的文件

    坐标和分析方法

    无限下降

    固定点

    投影和仿射方法

    快捷方式

    通常情况下,尤其是当一个问题在奥运会或数学界被提出时,首先想到的解决方案并不一定是最好的——最容易贯彻到底。至少有时,有一些捷径可以大大简化问题的解决。

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