具有并行成对根轴的六个圆

问题

构造六个非电流不全相等的圆,使所有圆对的根轴平行。

具有并行成对根轴的六个圆

施工

设$ABC$是三角形,$AA',$$BB',$$1CC'$是其内角平分线。设$A_b$是$A$在$BB'.$上的正交投影(类似地,定义从其他顶点到其他角平分线上的投影。)一个圆是圆$(A_{b})=(A_{b},A_{b} A类),$,即中心为$A_b$、半径为$A的圆_{b} 答:。$类似地,圆圈$(A_{c})=(A_}c},A_{c} A类)$其中$A_c$是$A$在$CC上的正交投影。$其余4个圆以类似方式定义。

任何一对这些圆的根轴都通过$\Delta ABC的正中心$

提示

圆圈$(A_{b})$穿过,例如$H_A$——$\Delta ABC的$A$高度的底部事实上,$(A_{b})$在两个点上与$BC$交叉。比如说,$A''是直径$AA''的末端。$另一个通过$A$和$A''$与腿形成直角,这肯定定义了$H_A$

圆$(A_b)$和$(A_c)的证明$

$(A_b)$和$(A_c)$都通过$A$和$H_A,$意味着$AH_A$是它们的根轴。这是$\Delta ABC$的$A$-高度,因此通过它的正心

具有并行成对根轴的六个圆-步骤1

圆$(A_b)$和$(b_A)的证明$

绘制直径为$AB$的圆$(C')$$AH_a$是$(C')$和$(a_b)的根轴,$(BH_b)$是$二者在$\Delta ABC的正中心相遇,意味着后者是三个圆的根中心。因此,第三对$(A_b)$和$(b_A)$的根轴也通过该点。

具有并行成对根轴的六个圆-步骤2

圆$(A_b)$和$(C_A)的证明$

具有并行成对根轴的六个圆-步骤3

随着索引和顶点的变化,已经显示$(a_b)$和$(a_c)$(案例#1)的根轴以及$(a_c)$和$c_a(案例#2)的根轴都通过$\Delta ABC$的正中心,第三对$(a_ b)$与$(c_a)的基轴也通过$

圆$(A_b)$和$(C_b)的证明$

与前一个案例相同。

确认

问题和构造已由$\alpha\nu\tau\rho\epsilon\alpha \varsigma\space\chi\alpha\tau\zeta\eta\pi o\lambda\alpha\ kappa\eta\ varsigma \space$发布在CutTheKnotMath脸书页面他还观察到,有一个简单的例子,即允许六个圆全等。如果是,简单的解决方案是将圆放置在正六边形的顶点。

根轴和根中心

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