循环四边形的构造

构造一个环形四边形,按照规定的顺序给定其边的长度。

假设$4个数字$a、$$b、$$c、$$d$是四边形的连续边长,如果其中一个大于其余三个数字的总和,那么构造显然是不可能的。没有一个四边形的边满足,例如$a\gt b+c+d。撇开这种情况不谈,构造总是可能的。

施工

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构造一个循环四边形,给定其边长的规定顺序。

假设存在所需的循环四边形:

循环四边形的构造

在$AD,$的扩展上绘制$CM,$和$M$,以便$\angle DCM=\angle BAC.$这使得三角形$ABC$和$CDM$相似,因为

$\angle ABC=180^{\circ}-\angle ADC=\angle CDM$

三角形的相似性意味着比例$DM/b=c/a,$,因此

$DM=bc/a$

此外,$CM/f=c/a,$告诉我们$c$位于点的轨迹上,其到点$a$和$M$的距离为给定的比率$c/a阿波罗圆.

这些信息足以进行施工。(在下面的$C(O,r)$中,将用圆心$O$和半径$r表示圆。)$

设$d$为四个给定长度中的最大值。

  1. 绘制$AD=d$并将其扩展到$M$,以便$DM=bc/a$
  2. 在两个圆的交点处找到$C$:$C(D,C)$和$AC/CM=C/a定义的阿波罗圆$
  3. $B$位于两个圆$C(A,A)$和$C(C,B)的交点处$

Apollonius的圆圈在$K$点穿过$AM$,因此$AK$=(ad+bc)/(a+c)。$$(AM=d+bc/a,$,除以比率$c/a。)$

当$AK\le D$或等价的$b\le D.$时,$K$正好位于$D$的左侧或其上。通过选择$D$作为四个数字中的最大值,此条件成立。

如果是这样,$KD=d-(ad+bc)/(a+c)=(cd-bc)/(a+c).$这小于$c:$

$(cd-bc)/(a+c)-c=[c/(a+c)](d-b-a-c)\lt 0$

因此,我们可以确保在第二步中两个圆相交。

在第三步中,我们只需要得到两个三角形$ABC$和$CDM$,它们的边是成比例的,因此这两个三角形是相似的。特别是,$\angle ABC=\angle CDM$或,即相同的$\angleABC+\angle ADC=180^{\circ}.$因此,四边形$ABCD$是循环的。

该构造唯一地确定了四边形,然而,如果我们忽略边的顺序,原则上有6个不同的循环四边形(边为$a、$$b、$$c、$和$d)。所有这些四边形的面积都由布拉马古塔公式给出:

$S=\sqrt{(S-a)(S-b)(S-c)(S-d)}$

其中$s$是半周长四边形的:$s=(a+b+c+d)/2$

所有六个圆也共享外接圆,该外接圆由外接圆半径公式得出:

$16R^2=(ad+bc)(ac+bd)(ab+cd)/[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]$

工具书类

  1. R.A.Johnson,高级欧几里德几何(现代几何),多佛,1960年,第82-83页

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