打结!

使用Java小程序的交互式专栏
亚历克斯·博戈莫尼

四大建设问题

2000年7月

最近,我的士气受到了鼓舞(我们通过了吗?)

哥们,我真的很讨厌数学,但那玩意儿太棒了!不过,我真的很想知道,即使是4-d,是否有可能构建一个物理模型,或者它只能作为一种计算存在?

(我为信息中的口语道歉。与面对面交流相比,一个人在网络上可能没有那么谨慎。这个被认为是电子邮件交流不客观的例子是否表明了技术会如何影响我们的文化四度空间第页)

受到鼓励,让我们继续前进。

在简介中[亚格洛姆]我们发现3个施工问题:

  1. 构造一个三角形,给定平面上的三个点,这些点是在所需三角形的边上向外构造的等边三角形的外部顶点。

  2. 构造一个三角形,给定平面上的三个点,这些点是在所需三角形的边上向外构造的正方形的中心。

  3. 构造一个七边形(由7条边组成的多边形),给定7个点中点它的侧面。

为了更好地理解以下内容,尝试解决问题。(或者考虑在MAA书店以与运输和处理成本相当的折扣价格购买Yaglom的经典作品。)在书中,解决方案立即遵循公式。在导言的末尾,亚格罗姆将三个问题放在一把伞下(我的解释):

给定n点M1,男2, ..., M(M)n个(n>2)和角度12, ...,n个,构造多边形a1,A2, ..., A类n个A类n+1=A1这样三角形AM(M)A类i+1(输入+1)是等腰的(A)M(M)=Ai+1(输入+1)M(M))具有顶角∠AM(M)A类i+1(输入+1)=

第一个问题是用n=31=2== 60°,在第二个问题中n=31=2== 90°,在第三节n=7= 180°, i=1、2、3。。。,7

下面的小程序用于帮助解决一般问题:

小程序有三种模式。在“放置点”模式中,您定义(通过单击)并移动(通过拖动)一系列点M。创建点的顺序决定了遍历的顺序(方向)序列的。点集可能有两个不同的方向。另一方面,角度始终是在坐标系的正方向上测量的——在小程序中为左手方向,这意味着角度是顺时针测量的。

在“更改角度”模式中,角度显示在相应点的旁边,可以通过单击(慢速)或将光标拖离中心线一点进行修改。

在“拖动光标”模式下,光标位置将按顺序围绕给定点旋转给定角度。显示的是一条虚线,其起点和终点由相同的字母表示。可能有几个这样的行。


此小程序需要Sun的Java VM 2,您的浏览器可能会将其视为弹出窗口。事实并非如此。如果您想看到小程序的工作,请访问Sun的网站:https://www.java.com/en/download/index.jsp,下载并安装Java VM并使用小程序。


这是建筑的轮廓。假设A1A类2……An个是所需的多边形。拾取点a。旋转线段AA1单位:M1通过角度1.自旋转是保留形状和距离的平面运动,即AA段的图像1长度等于段本身。按M顺序旋转该图像段2,男,最后是Mn个所有中间段具有相等的长度。最后一个再次以A结束1让它的另一端是A'。我们有AA公司1=A’A1这意味着A1位于与A和A'等距的点的轨迹上,A'是线段AA'的垂直平分线。选取另一个点B,类似地构造B'。AA'和BB'的垂直平分线在A处相交1.(如果角度加起来是360°的倍数,结构就崩溃了。为什么?)

在一般情况下,特别是因为小程序中三角形的顶点是动态定义的从表面上看构建的三角形变得很笨拙。概念方向挽救了这一天。具有正角度的顶点位于正确的对于所需多边形,负角的顶点位于其左边如果顶点的方向是逆时针的,则前者看起来是向外构造的,后者看起来是向内构造的,位于多边形的两侧。对于顺时针方向外部成为里面反之亦然。

因此,我们选择哪个方向并不重要,重要的是所选择的方向和角度的符号处于所需的关系中,而事实上,正好有两个可能的方向。

一个定理约瑟夫·纽伯格[霍斯伯格第273页]与此相关:

在ΔABC的两侧,首先向外(向内)构造三个以X、Y和Z为中心的正方形。在ΔXYZ的两侧,构造接下来三个以P、Q和R为中心的向内(向外)正方形。然后点P、Q、R与ΔABC中点重合。

纽伯格定理很容易用线性多边形变换.(还有一个综合证明.)其中一种结构由循环矩阵

另一个循环

哪里c(c)= (1 +)/2,是-1的平方根之一。上面的酒吧c(c)表示其共轭,(1-)/2. 对于我们得到的转换的乘积

从而证明了该定理。

工具书类

  1. I.M.Yaglom,几何变换I,MAA,1962年
  2. R.Honsberger,在Pólya的足迹中,MAA,1997年

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