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亚历克斯·博戈莫尼

双中心四边形的共线性

2004年1月

以下问题的自然框架是什么?

证明了在双中心四边形中,其对角线的内点I、外圆心O和交点E共线。

这个问题是印度为1989年国际奥林匹克运动会提出的,但没有被使用[霍斯伯格,第100页]。它出现在数学难题1989年、226年和俄罗斯量子,由解决V.N.杜布罗夫斯基使用三角学。罗斯·洪斯伯格[霍斯伯格第100-105页]根据[多丽]致力于Fuss问题(找出半径与双中心四边形的内圆和外圆中心之间的距离之间的关系。)

在谈到提交给数学奥林匹克运动会的申请时,洪斯伯格写道:“我发现这是一个非常困难的问题。我不知道提案人希望选手如何解决这个问题……”

下面我改写了一个注释A.扎斯拉夫斯基其解决问题的框架使其几乎无足轻重。坦白地说,我无法想象提议者会想到这种方法,因为它需要比任何一种三角解更深入地了解问题的本质。尽管如此,事后看来,没有什么比这更自然的了,因为因此,这个问题被剥夺了所有的神秘性。

因此,与其解决有关双中心四边形的具体问题,不如考虑它们是如何产生的。如何构造双中心四边形?这里有一种方法非常适合手头的问题。

从四边形ABCD开始。(扎斯拉夫斯基建立了一个任意四边形的理论。在本专栏中,我将假设ABCD循环。虽然不重要,但这个假设使编写说明性小程序变得不那么混乱。当然,哪一个引发了一个合理的问题,哪个先出现?小程序说明了理论,还是理论说明了小程序?)

假设ABCD的对角线AC和BD在P处相交。从P到ABCD侧面的垂直线确定第二个四边形KLMN[霍斯伯格第60-64页]。我们将感兴趣的是这个四边形KLMN。是什么使KLMN双中心?答案是以下两个命题的组合。

 

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提议1

KLMN是可铭文的。

证明

通过构造,四边形KBLP是循环的。因此,

 ∠KLP=∠KBP,

对向同一弦KP。注意∠KBP=∠ABD。由于LCMP也是循环的,因此我们类似地获得

 ∠MLP=∠MCP=∠BCD。

对于循环四边形ABCD,∠ABD=∠ACD,因此∠KLP=∠MLP。因此,LP是角度L的平分线。同样,KP、MP和NP分别是角度K、M和N的平分。由于他们都在P中相遇,P是KLMN的核心。

要使KLMN成为双中心,必须做到可限制的-循环。其条件如下所示

提议2

KLMN是循环的iff ABCD是正交对角的,即iff交流电(交流电)

证明

假设ABCD是正交对角线。布拉马古普塔、PK、PL、PM和PN为麦芽糖在四边形ABCD中,也就是说,它们在P以外的延伸部分在它们的中点处穿过对边。设为K'、L'、M'和N'。四边形K'L'M'N'正是Varignon平行四边形四边形的ABCD。由于后者是正对角的,所以K'L'M'N'实际上是一个矩形。

矩形是一种循环形状,其圆心位于对角线的交点处,这两条对角线都是内圆的直径q个例如,在ΔLL'N'中,角度L是右的,而斜边L'N'是圆的直径q个因此,L位于q个当然,K、M和N也是如此。

综上所述,四边形KLMN内切在以K’M’和L’N’交点O为中心的圆上。

相反,假设KLMN是循环的,让我们计算角度APB。我们会证明的∠APB=90°。

首先,KLMN的周期性等价于

(1)∠LKN+∠LMN=180°。

通过构造,四个四边形MPND、MPLC、LPKB和KPNA也是循环的。由此我们陆续获得

(2)∠NDP=∠NMP,
∠LCP=∠LMP,
∠LBP=∠LKP,
∠NAP=∠NKP。

显然

(3)∠NDP+∠NAP=∠CPD,
∠LBP+∠LCP=∠APB,
∠NMP+∠LMP=∠LMN,
∠LKP+∠NKP=∠LKN。

(2)和(3)一起导致

(4)∠LKN+∠LMN=∠APB+∠CPD=2∠APB。

所需∠APB=90°现在由(4)和(1)得出。

让我们重述一下我们所知道的双中心四边形KLMN。其中心位于“相关”四边形ABCD对角线的交点处。其圆心与端点位于ABCD两侧的两条直线K'M'和L'N'的交点重合。KK’、LL’等线在ABCD对角线的交点P处相交。这就是证明三个点P、E和O的共线性所需的全部内容。

 

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这个断言确实是投射性(我认为这证明了符号的一点变化是合理的。)很明显,平行四边形也是如此。因此,其他四边形也是如此。

Zaslavsky称,所有从(循环)四边形ABCD中获得的双中心四边形都解决了这个问题正交对角线映射但是,所有的双中心四边形都可以通过这种方式获得,这是真的吗?答案是是的,如下所示

提案3

让KLMN是双中心的。通过其每个顶点绘制一条垂直于该顶点与其内点P相连的线的线。四条线形成一个循环四边形ABCD,带有穿过P的垂直对角线。

证明

通过构造,PK、PL等是KLMN中相应角度的平分线。三角形KLP、LMP、MNP和NKP中的角度计数给出

(5)∠KPN+∠LPM=∠KPL+∠MPN。

由于四边形MPND、MPLC、LPKB和KPNA是循环的,(5)意味着

(6)∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC。

(6)中的每个总和都等于180°。这表明ABCD是一个循环四边形。

现在让我们证明,例如,APC是一条直线。从(2)和PK、PL等是KLMN中的角平分线的事实来看,我们有

(7)∠KBP=∠MCP,以及
∠KAP=∠MDP。

比较三角形ABP和CDP中的角度并应用(7)给出

(8)∠APB=∠CPD。

类似地

(9)∠BPC=∠APD,

从中可以看出∠APC=180°。

工具书类

  1. H.Dorrie,初等数学100大问题,多佛出版社,纽约,1965年
  2. V.N.Dubrovsky,问题M1154的解决方案量子,n 8,1989,pp 34-35(俄语),pdf可在https://kvant.mccme.ru/1989/08/p34.htm
  3. R.Honsberger,在Pólya的足迹中,MAA,1999年
  4. A.A.Zaslavsky,四边形的正交对角映射量子,n 4,1998,pp 43-44(俄语),pdf可在https://kvant.mccme.ru/1998/04/

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