搜索： a267486-编号：a267488
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A267482型
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| 高斯多项式[2n+1,1]_q系数的三角表示为有限项之和（1+q^2）^k*q^（g-k），其中k=0,1，。。。，g，其中g=n。 |
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1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -2, 1, 1, 1, -2, -3, 1, 1, 1, 3, -3, -4, 1, 1, -1, 3, 6, -4, -5, 1, 1, -1, -4, 6, 10, -5, -6, 1, 1, 1, -4, -10, 10, 15, -6, -7, 1, 1, 1, 5, -10, -20, 15, 21, -7, -8, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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条目a（n，k），n>=0，k=0,1，。。。，g、 其中g=n，这个不规则三角形的系数是高斯多项式[2n+1,1]_q=Sum_{k=0..g）a（n，k）*（1+q^2）^k*q^（g-k）表示中的（1+q ^2）。
序列产生于秩N和次数L的稳定性多项式B（x）=Sum_{i=0..N}d_i T（iM，x）的形式推导中，其中T（iM-x）表示第一类次数iM的切比雪夫多项式。系数d_i由稳定性多项式上的阶条件确定。
猜想：更一般地，高斯多项式[2*n+m+1-（m mod 2），m]_q=Sum_{k=0..g g（m；n，x）=（d^m/dt^m）g（m，n，t，x）/m|_{t=0}，其中G（m；n，t，x）=（1+t）*Product_{k=1..n+（m-m（mod 2））/2}（1+t^2+2*t*t（k，x/2）（切比雪夫t多项式）。因此，a（m；n，k）=[x^k]G（m；n，x），对于k=0..G（m；m）。当前条目是实例m=2。（感谢_Wolfdieter Lang澄清了关于a（m；n，k）的一般处方的文本。）
猜想：第n行是U（n，x/2）+U（n-1，x/2”），其中U是第二类切比雪夫多项式的序列_Thomas Baruchel_，2018年6月3日[有关证据，请参阅以下评论。]
2019年10月19日自沃尔夫迪特·朗（Wolfdieter Lang）：（开始）
行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}a（n，k）*x^k=[2*n+1]_q/q^n具有q数[2*n+1]_q:=（1-q^n）/（1-q），对于q=1，它变为2*n+1，并且x=x（q）=q+q^（-1）。请参阅简化名称和第一条注释。根据切比雪夫S多项式(A049310型)这个q-number写为[2*n+1]_q=q^n*S（2*n，q^（1/2）+q^[-1/2）），因此R（n，x）=S（2xn，sqrt（2+x））=S。
R（n，x）的o.g.f.见公式部分。
我研究这个序列的动机来自于Brändli和Beyne论文对多项式P_m（s）的递归，它与R（n，x）、m->n和s->x重合
A294099号2023年6月19日，Z.-Michael Somos_中所有n，k的（n，k）=总和{j=0..k}n^j*T（n，j）
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链接
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Gerod Brändli和Tim Beyne，剩余量减半的修正同余模n，arXiv:1504.02757[math.NT]，2016-2017年。定义6.多项式P_m。
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公式
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对于行多项式：G（n，x）=（d^2/dt^2）（（1+t）*Product_{i=1..n+1}（1+t^2+2t*t（i，x/2））|_{t=0}。
2019年10月19日自沃尔夫迪特·朗（Wolfdieter Lang）：（开始）
行多项式R（n，x）=S（2*n，sqrt（2+x））=S。（参见Thomas Baruchel_猜想和上述证明。）关于S（n，x）系数，请参见A049310型.
R（n，x）=和{j=0}（-1）^e（n，j）*二项式（e（n、j）+j，j）*x^j*，其中e（n）：=楼层（（n-j）/2）。参见Brändli and Beyne论文的等式（12）。
对于行多项式R（n，x）（即三角形）：G（x，z）=（1+z）/（1-x*z+z^2）。
R（n，x）的递归：R（-1，x）=-1，R（0，x）=1，R（n、x）=x*R（n-1，x）-R（n-2，x），对于n>=1。（参见定义6中的Brändli和Beyne链接，多项式P_m（s）。）
（结束）
T（n，k）=（-1）^（楼层（n-k）/2））*二项式（楼层（（n+k）/2），k）_弗朗索瓦·马尔克斯，2021年9月28日
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示例
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三角形开始：
1;
1, 1;
-1, 1, 1;
-1，-2，1，1；
1, -2, -3, 1, 1;
1、3、-3、-4、1、1；
-1, 3, 6, -4, -5, 1, 1;
-1, -4, 6, 10, -5, -6, 1, 1;
1, -4, -10, 10, 15, -6, -7, 1, 1;
1, 5, -10, -20, 15, 21, -7, -8, 1, 1;
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MAPLE公司
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A267482型：=过程（n，k）局部y:y：=展开（子（t=0，diff（（1+t）*积（1+t^2+2*t*切比雪夫t（i，x/2），i=1。。n） ，t））：如果k=0，那么subs（x=0，y）else subs（x=0，diff（y，x$k）/k！）结束if:end proc:seq（seq(A267482型（n，k），k=0。。n） ，n=0。。20);
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数学
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行[n_]：=D[（1+t）*积[1+t^2+2*t*ChebyshevT[i，x/2]，{i，1，n}]，t]/。t->0//系数列表[#，x]&；表[第[n]行，{n，0，20}]//扁平（*_Jean-François Alcover_，2016年1月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=（-1）^（（n-k）\2）*二项式（（n+k）\ 2，k）\\_弗朗索瓦·马尔克斯，2021年9月28日
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交叉参考
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关键词
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作者
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_斯蒂芬·奥沙利文，2016年1月15日
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状态
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经核准的
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A267120型
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| 高斯多项式[2n+3,3]_q的系数三角表示为有限项之和（1+q^2）^k*q^（g-k），其中k=0,1，。。。，g，其中g=3n。 |
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1、0、-1、1、1、-1、0、5、-2、-4、1、1、0、2、-2、-15、7、17、-5、-7、1、1、0、-15、6、53、-23、-67、22、38、-8、-10、1、1、0、-3、3、55、-28、-189、81、261、-90、-182、46、68、-11、-13、1、-1、0、30、-12、-229、106、691、-292、-1010、359 817、-229、-387、79、107、-14、-16、1、1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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条目a（n，k），n>=0，k=0,1，。。。，g、 其中g=3n，这个不规则三角形的系数是高斯多项式[2n+3,3]_q=和{k=0。
第n行的长度为3n+1。
序列出现在秩N和次数L的稳定性多项式B（x）=Sum_{i=0..N}d_i T（iM，x）的形式推导中，其中T（iM-x）表示第一类次数iM的切比雪夫多项式(A053120号). 系数d_i由稳定性多项式上的阶条件确定。
猜想：更一般地，高斯多项式[2*n+m+1-（m mod 2），m]_q=Sum_{k=0..g g（m；n，x）=（d^m/dt^m）g（m，n，t，x）/m|_{t=0}，其中G（m；n，t，x）=（1+t）*Product_{k=1..n+（m-m（mod 2））/2}（1+t^2+2*t*t（k，x/2）（切比雪夫t多项式）。因此，a（m；n，k）=[x^k]G（m；n，x），对于k=0..G（m；m）。当前条目是实例m=3。（感谢_Wolfdieter Lang澄清了关于a（m；n，k）的一般处方的文本。）
2016年1月15日，来自以色列罗巴特：（开始）
a（2n，2）=5*（-1）^（n+1）*A000217号（n） ，a（2n+1,2）=（-1）^n*（n+1）。
看起来和{j=0..k+1}C（k+1，j）*a（n+2*j，k）=0。
（结束）
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链接
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公式
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对于行多项式：G（n，x）=（d^3/dt^3）（（1+t）*Product_{i=1..n+1}（1+t^2+2t*t（i，x/2））/3！）|_｛t＝0｝。
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示例
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不规则三角形a（n，k）开始于：
电话：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0: 1
1: 0 -1 1 1
2: -1 0 5 -2 -4 1 1
3: 0 2 -2 -15 7 17 -5 -7 1 1
4: 1 0 -15 6 53 -23 -67 22 38 -8 -10 1 1
...
行n=5:0-3 3 55-28-189 81 261-90-182 46 68-11-13 1 1；
第n=6行：-1 0 30-12-229 106 691-292-1010 359 817-229-387 79 107-14-16 1 1。
行n=7:0 4-4-134 70 896-416-2561 1073 3903-1415-3529 1057 1991-467-709 121 155-17-19 1 1。
…重新格式化和扩展。-_Wolfdieter Lang，2016年2月13日
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MAPLE公司
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A267120型：=过程（n，k）局部y:y：=展开（子（t=0，diff（（1+t）*积（1+t^2+2*t*切比雪夫t（i，x/2），i=1。。n+1），新台币3）/3！）：如果k=0，那么subs（x=0，y）else subs（x=0，diff（y，x$k）/k！）end-if：结束进程：seq（seq(A267120型（n，k），k=0。。3*n），n=0。。20);
#更高效：
N： =20:#以获取行0到N
P[0]：=（1+t）*（t^2+t*x+1）：
B[0]：=1：
对于从1到n的n do
P[n]：=展开（级数（P[n-1]*（1+t^2+2*t*正交[t]（n+1，x/2）），t，4））；
B[n]：=系数（P[n]，t，3）；
操作：
seq（seq（系数（B[n]，x，j），j=0..3*n），n=0..n）；#_罗伯特·伊斯雷尔，2016年1月15日
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数学
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行[n]：=1/3！D[（1+t）*积[1+t^2+2*t*ChebyshevT[i，x/2]，{i，1，n+1}]，{t，3}]/。t->0//系数列表[#，x]&；表[行[n]，｛n，0，6｝]//压扁（*_Jean-François Alcover_，2016年1月16日*）
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交叉参考
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关键词
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签名,标签
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作者
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_斯蒂芬·奥沙利文，2016年1月10日
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状态
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经核准的
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A267483型
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| 高斯多项式[2n+3,2]_q的系数三角表示为有限项之和（1+q^2）^k*q^（g-k），其中k=0,1，。。。，g，其中g=2n+1。 |
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1, 1, 0, -1, 1, 1, 1, 2, -2, -3, 1, 1, 0, -2, 4, 7, -4, -5, 1, 1, 1, 3, -6, -13, 11, 16, -6, -7, 1, 1, 0, -3, 9, 22, -24, -40, 22, 29, -8, -9, 1, 1, 1, 4, -12, -34, 46, 86, -62, -91, 37, 46, -10, -11, 1, 1, 0, -4, 16, 50, -80, -166, 148, 239, -128, -174, 56, 67, -12, -13, 1, 1, 1, 5, -20, -70, 130, 296, -314, -553, 367, 541, -230, -297, 79, 92, -14, -15, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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条目a（n，k），n>=0，k=0,1，。。。，g、 其中g=2n+1，这个不规则三角形的系数是高斯多项式[2n+3,2]_q=Sum_{k=0..g）a（n，k）*（1+q^2）^k*q^（g-k）表示中的（1+q ^2）。
第n行的长度为2n+2。
序列产生于秩N和次数L的稳定性多项式B（x）=sum_{i=0..N}d_i T（iM，x）的形式推导中，其中T（iM-x）表示第一类切比雪夫多项式(A053120号)iM级。系数d_i由稳定性多项式上的阶条件确定。
猜想：更一般地，高斯多项式[2*n+m+1-（m mod 2），m]_q=Sum_{k=0..g g（m；n，x）=（d^m/dt^m）g（m，n，t，x）/m|_{t=0}，其中G（m；n，t，x）=（1+t）*Product_{k=1..n+（m-m（mod 2））/2}（1+t^2+2*t*t（k，x/2）（切比雪夫t多项式）。因此，a（m；n，k）=[x^k]G（m；n，x），对于k=0..G（m；m）。当前条目是实例m=2。（感谢_Wolfdieter Lang澄清了关于a（m；n，k）的一般处方的文本。）
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链接
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公式
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G（n，x）=（d^2/dt^2）（（1+t）*Product_{i=1..n+1}（1+t^2+2t*t（i，x/2））/2|_｛t＝0｝。
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示例
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1,1;
0,-1,1,1;
1,2,-2,-3,1,1;
0,-2,4,7,-4,-5,1,1;
1,3,-6,-13,11,16,-6,-7,1,1;
0,-3,9,22,-24,-40,22,29,-8,-9,1,1;
1,4,-12,-34,46,86,-62,-91,37,46,-10,-11,1,1;
0,-4,16,50,-80,-166,148,239,-128,-174,56,67,-12,-13,1,1;
1,5、-20、-70130296、-314、553367541、-230、-297、79、92、-14、-15,1,1；
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MAPLE公司
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A267483型：=过程（n，k）局部y:y：=展开（子（t=0，diff（（1+t）*积（1+t^2+2*t*切比雪夫t（i，x/2），i=1。。n+1），t$2）/2）：如果k=0，那么subs（x=0，y）else subs（x=0，diff（y，x$k）/k！）end-if：结束进程：seq（seq(A267483型（n，k），k=0。。2*n+1），n=0。。20);
#更高效：
N： =20:#以获取行0到N
P[0]：=（1+t）*（t^2+t*x+1）：
B[0]：=1+x：
对于从1到n的n do
P[n]：=展开（级数（P[n-1]*（1+t^2+2*t*正交[t]（n+1，x/2）），t，3））；
B[n]：=系数（P[n]，t，2）；
操作：
seq（seq（系数（B[n]，x，j），j=0..2*n+1），n=0..n）；#发件人A267120型Robert Israel入境_
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数学
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行[n]：=1/2！D[（1+t）*积[1+t^2+2*t*ChebyshevT[i，x/2]，{i，1，n+1}]，{t，2}]/。t->0//系数列表[#，x]&；表[行[n]，{n，0，20}]//展平（*自267120元Jean-François Alcover_*）
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交叉参考
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关键词
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签名,标签
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作者
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_斯蒂芬·奥沙利文，2016年1月15日
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状态
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经核准的
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A267484型
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| 高斯多项式[2n+5,4]_q的系数三角表示为有限项之和（1+q^2）^k*q^（g-k），其中k=0,1，。。。，g，其中g=4n+2。 |
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+10
6
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-1, 1, 1, -1, 0, 5, -2, -4, 1, 1, -2, 2, 17, -9, -32, 12, 24, -6, -8, 1, 1, -2, 0, 31, -12, -121, 52, 187, -67, -143, 38, 58, -10, -12, 1, 1, -3, 3, 64, -37, -357, 168, 883, -361, -1154, 397, 875, -239, -399, 80, 108, -14, -16, 1, 1, -3, 0, 94, -36, -808, 366, 3019, -1312, -6023, 2351, 7182, -2415, -5439, 1512, 2686, -587, -863, 138, 174, -18, -20, 1, 1, -4, 4, 158, -94, -1720, 856, 8611, -3923, -23883, 10003, 40648, -15328, -45241, 14957, 34203, -9623, -17893, 4135, 6485, -1175, -1599, 212, 256, -22, -24, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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条目a（n，k），n>=0，k=0,1，。。。，g、 其中g=4n+2，这个不规则三角形的系数是高斯多项式[2*n+5,4]_q=Sum_{k=0..g）a（n，k）*（1+q^2）^k*q^（g-k）表示中的（1+q ^2）。
第n行的长度为4n+3。
序列产生于秩N和次数L的稳定性多项式B（x）=Sum_{i=0..N}d_i T（iM，x）的形式推导中，其中T（iM，x）表示第一类次数iM的切比雪夫多项式。系数d_i由稳定性多项式上的阶条件确定。
猜想：更一般地，高斯多项式[2*n+m+1-（m mod 2），m]_q=Sum_{k=0..g g（m；n，x）=（d^m/dt^m）g（m，n，t，x）/m|_{t=0}，其中G（m；n，t，x）=（1+t）*Product_{k=1..n+（m-m（mod 2））/2}（1+t^2+2*t*t（k，x/2）（切比雪夫t多项式）。因此，a（m；n，k）=[x^k]G（m；n，x），对于k=0..G（m；m）。当前条目是实例m=2。（感谢_Wolfdieter Lang澄清了关于a（m；n，k）的一般处方的文本。）
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链接
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公式
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对于行多项式：G（n，x）=（d^4/dt^4）（（1+t）*Product_{i=1..n+1}（1+t^2+2t*t（i，x/2））/4！）|_｛t＝0｝。
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示例
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-1,1,1;
-1,0,5，-2，-4,1,1；
-2,2,17,-9,-32,12,24,-6,-8,1,1;
-2,0,31,-12,-121,52,187,-67,-143,38,58,-10,-12,1,1;
-3,3,64,-37,-357,168,883,-361,-1154,397,875,-239,-399,80,108,-14,-16,1,1;
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MAPLE公司
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A267484型：=过程（n，k）局部y:y：=展开（子（t=0，diff（（1+t）*积（1+t^2+2*t*切比雪夫t（i，x/2），i=1。。n+2），新台币4）/4！）：如果k=0，那么subs（x=0，y）else subs（x=0，diff（y，x$k）/k！）结束if:end proc:seq（seq(A267484型（n，k），k=0。。4*n+2），n=0。。20);
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数学
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行[n]：=1/4！D[（1+t）*积[1+t^2+2*t*ChebyshevT[i，x/2]，{i，1，n+1}]，{t，4}]/。t->0//系数列表[#，x]&；表[行[n]，{n，0，20}]//展平（*自A267120型Jean-François Alcover_*）
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交叉参考
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关键词
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签名,标签
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作者
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_斯蒂芬·奥沙利文，2016年1月15日
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状态
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经核准的
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A267485型
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| 高斯多项式[2n+5,5]_q的系数三角表示为有限项之和（1+q^2）^k*q^（g-k），其中k=0,1，。。。，g，g=5n。 |
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1、1、2、-2、-3、1、1、-2、2、17、-9、-32、12、24、-6、-8、1、-2、-6、25、71、-80、-218、126、284、-106、-190、48、69、-11、-13、1、3、-6、-70、101、506、-453、-1592、980、2658、-1201、-2608、886、1581、-400、-600、108、139、-16、-18、1、3、12、-888、-334、779、2774、-3226、-10389、7709、21620、-11108、-27865、11496、23591、-7645、-13512， 3427, 5276, -1020, -1385, 193, 234, -21, -23, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.3
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评论
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条目a（n，k），n>=0，k=0,1，。。。，g、 其中g=5n，这个不规则三角形的系数是高斯多项式[2n+5,5]_q=Sum_{k=0..g）a（n，k）*（1+q^2）^k*q^（g-k）表示中的（1+q ^2）。
第n行的长度为5n+1。
序列产生于秩N和次数L的稳定性多项式B（x）=Sum_{i=0..N}d_i T（iM，x）的形式推导中，其中T（iM-x）表示第一类次数iM的切比雪夫多项式。系数d_i由稳定性多项式上的阶条件确定。
猜想：更一般地，高斯多项式[2*n+m+1-（m mod 2），m]_q=Sum_{k=0..g g（m；n，x）=（d^m/dt^m）g（m，n，t，x）/m|_{t=0}，其中G（m；n，t，x）=（1+t）*Product_{k=1..n+（m-m（mod 2））/2}（1+t^2+2*t*t（k，x/2）（切比雪夫t多项式）。因此，a（m；n，k）=[x^k]G（m；n，x），对于k=0..G（m；m）。当前条目是实例m=2。（感谢_Wolfdieter Lang澄清了关于a（m；n，k）的一般处方的文本。）
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链接
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公式
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对于行多项式：G（n，x）=（d^5/dt^5）（（1+t）*Product_{i=1..n+1}（1+t^2+2t*t（i，x/2））/5！）|_{t=0}。
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示例
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1;
1,2,-2,-3,1,1;
-2,2,17,-9,-32,12,24,-6,-8,1,1;
-2,-6,25,71,-80,-218,126,284,-106,-190,48,69,-11,-13,1,1;
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MAPLE公司
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A267485型：=过程（n，k）局部y:y：=展开（子（t=0，diff（（1+t）*积（1+t^2+2*t*切比雪夫t（i，x/2），i=1。。n+2），新台币5）/5！）：如果k=0，那么subs（x=0，y）else subs（x=0，diff（y，x$k）/k！）end-if：结束进程：seq（seq(A267485型（n，k），k=0。。5*n），n=0。。5);
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数学
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行[n]：=1/5！D[（1+t）*积[1+t^2+2*t*ChebyshevT[i，x/2]，{i，1，n+1}]，{t，5}]/。t->0//系数列表[#，x]&；表[行[n]，{n，0，20}]//展平（*自A267120型Jean-François Alcover_*）
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交叉参考
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关键词
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签名,标签
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作者
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_斯蒂芬·奥沙利文，2016年1月15日
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