搜索： a245109-编号：a245109
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A226775号
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| 由x*exp（x）=-2/e^2定义的除-2以外的数字x的十进制展开式。 |
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4, 0, 6, 3, 7, 5, 7, 3, 9, 9, 5, 9, 9, 5, 9, 9, 0, 7, 6, 7, 6, 9, 5, 8, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 3, 9, 7, 5, 8, 2, 1, 0, 9, 9, 7, 5, 7, 5, 1, 8, 1, 1, 4, 0, 6, 3, 5, 0, 0, 0, 4, 9, 5, 4, 8, 8, 3, 0, 3, 9, 1, 5, 0, 1, 5, 1, 8, 3, 8, 1, 2, 0, 4, 9, 7, 6, 7, 2, 5, 0, 0, 7, 2, 3, 3, 8, 1, 5, 5, 9, 2, 8, 5, 8, 2, 9, 3, 8
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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链接
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公式
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等于LambertW（-2*exp（-2））。
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示例
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-0.4063757399599599076769581241248397582109975751811406350004954883....
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数学
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RealDigits[N[ProductLog[-2/E^2]，105]][[1]（*由更正瓦茨拉夫·科特索维奇，2014年2月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）求解（x=-1，x=0，x*exp（x）+2*exp\\G.C.格鲁贝尔2017年11月15日
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交叉参考
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参见。A106533号,A187655型,A187657号,A217899型,A217900型,A226750型,A243227型,A245109型,A247238号,A258467型,A337458型.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A049020美元
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| 数字a（n，k），0<=k<=n的三角形：{1,2，…，n}的集合分区数，其中精确区分了k个块。 |
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 10, 6, 1, 15, 37, 31, 10, 1, 52, 151, 160, 75, 15, 1, 203, 674, 856, 520, 155, 21, 1, 877, 3263, 4802, 3556, 1400, 287, 28, 1, 4140, 17007, 28337, 24626, 11991, 3290, 490, 36, 1, 21147, 94828, 175896, 174805, 101031, 34671, 6972, 786, 45, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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按行读取三角形a（n，k）；由[1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，1，…]DELTA[1，0，1，0，0A084938号.
指数Riordan数组[exp（ex（x）-1），exp（x）-1]-保罗·巴里2009年1月12日
这个下单位三角形阵列是Hankel矩阵（Bell（i+j-2））_i，j>=1的LU分解中的L因子，其中Bell（n）=A000110号（n） ●●●●。U系数为A059098型（见Chamberland，第1672页）-彼得·巴拉，2023年10月15日
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链接
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M.Aigner，贝尔数的一个特征，离散。数学。，205 (1999), 207-210.
詹纳尔·贝里克基（Zhanar Berikkyzy）、帕梅拉·哈里斯（Pamela E.Harris）、潘安娜·潘（Anna Pun）、凯瑟琳·燕（Catherine Yan）和赵晨晨（Chenchen Zhao），摆动表的组合恒等式，arXiv:2308.14183[math.CO]，2023年。见第11页。
汤姆·哈尔弗森和西奥多·雅各布森，集部分表与图代数的表示，arXiv:1808.08118[math.RT]，2018年。
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公式
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a（n，k）=a（n-1，k-1）+（k+1）*a。
a（n，k）=和{i=0..n}斯特林2（n，i）*二项式（i，k）-弗拉德塔·乔沃维奇2001年1月27日
例如，第k列为（1/k！）*（exp（x）-1）^k*exp（exp）-1）-弗拉德塔·乔沃维奇，2001年1月27日
通用公式：1/（1-x-xy-x^2（1+y）/-保罗·巴里2009年4月29日
例如：exp（（y+1）*（exp（x）-1））-杰弗里·克雷策2012年11月30日
请注意A244489号（本质上是同一个三角形）的公式为T（n，k）=和{j=k.n}二项式（n，j）*Stirling_2（j，k）*Bell（n-j），其中Bell（n）=A000110号（n） ，对于n>=1，0<=k<=n-1-N.J.A.斯隆2016年5月17日
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示例
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三角形开始：
1;
1, 1;
2, 3, 1;
5, 10, 6, 1;
15, 37, 31, 10, 1;
...
生产阵列开始
1, 1;
1, 2, 1;
0, 2, 3, 1;
0, 0, 3, 4, 1;
0, 0, 0, 4, 5, 1;
…（结束）
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MAPLE公司
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a： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k<0或k>n，0，
`如果`（n=0，1，a（n-1，k-1）+（k+1）*（a（n-1k）+a（n-1,k+1）））
结束时间：
seq（seq（a（n，k），k=0..n），n=0..15）#阿洛伊斯·海因茨2012年11月30日
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数学
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a[n_，k_]=总和[StirlingS2[n，i]*二项式[i，k]，{i，0，n}]；压扁[表[a[n，k]，｛n，0，9｝，｛k，0，n｝]]
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=如果（k<0||k>n，0，n！*polceoff（经验（（1+y）*（经验（x+x*O（x^n）），n），k））
（鼠尾草）
M=矩阵（ZZ，dim，dim）
对于n in（0..dim-1）：M[n，n]=1
对于n in（1..dim-1）：
对于k in（0..n-1）：
M[n，k]=M[n-1，k-1]+（k+1）*M[n-1，k]+（k+1）*M[n-1、k+1]
返回M
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A245110型
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| G.f.：Sum_｛n>=0｝（exp（-1/（1-n*x））/（1-n*x）^n）/n！。 |
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1, 1, 4, 23, 161, 1302, 11810, 117889, 1277890, 14894043, 185226966, 2442933979, 33998594943, 497207012018, 7613797641286, 121711037138949, 2025687745708717, 35020194893837462, 627586143525936866, 11636932722633705392, 222893347544826491780, 4403534468187986689781
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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将g.f.与：Sum_{n>=0}exp（-（1+n*x））*（1+n*x）^n/n！=进行比较1/（1-x）。
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链接
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公式
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a（n）=Sum_{k=1..n}斯特林2（n，k）*C（n+k-1，k-1），n>0，a（0）=1。
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示例
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通用公式：A（x）=1+x+4*x^2+23*x^3+161*x^4+1302*x^5+11810*x^6+。。。
哪里
A（x）=经验（-1）+经验（-1/（1-x））/（1-x）+经验！
+（经验值（-1/（1-3*x））/（1-2*x）^3）/3！+（经验（-1/（1-4*x））/（1-4*x）^4）/4！
+（经验（-1/（1-5*x））/（1-5*x）^5）/5！+（经验（-1/（1-6*x））/（1-6*x）^6）/6！
+（exp（-1/（1-7*x））/（1-7*x）^7）/7！+（经验（-1/（1-8*x））/（1-8*x）^8）/8！+。。。
简化为x中具有整数系数的幂级数。
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黄体脂酮素
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（PARI）/*来自定义（需要设置合适的精度）*/\p100
{a（n）=局部（a=1+x，x=x+x*O（x^n））；a=总和（k=0，exp（-1/（1-k*x））/（1-k*x）^k/k！）；圆（polcoff（a，n））}
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）
（PARI）/*从a（n）=和{k=1..n}箍筋2（n，k）*C（n+k-1，k-1）*/
｛Stirling2（n，k）=和（j=0，k，（-1）^（k+j）*二项式（k，j）*j^n）/k！｝
{a（n）=如果（n==0，1，和（k=1，n，Stirling2（n，k）*二项式（n+k-1，k-1））}
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）
{A245111型（n，k）=局部（A=1+x*y）；A=总和（k=0，n，1/（1-k*x+x*O（x^n））^k*y^k/k*exp（-y/（1-k*x+x*O（x^n））+y*O（y^n）；polceoff（polceof（A，n，x），k，y）}
{对于（n=0，10，对于（k=0，n，打印1(A245111型（n，k），“，”）；打印（“”）}
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, 2, 12, 130, 2216, 52078, 1558219, 56524414, 2406802476, 117575627562, 6478447651345, 397345158550386, 26842747368209994, 1980156804133210116, 158365138356099680582, 13647670818304698139989, 1260732993182758276252088, 124273946254095006307105363
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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链接
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公式
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a（n）~2^（2*n-1/2）*n^（n-1/2）/（sqrt（Pi*（1-c））*exp（n）*c^n*（2-c）^n），其中c=-A226775号=-朗伯W（-2*exp（-2））=0.4063757399599999-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年5月31日
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i，k）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
b（n，i-1，k）+`如果`（i>n，0，k*b（n-i，i，k）））
结束时间：
T： =（n，k）->加（b（n$2，k-i）*（-1）^i/（i！*（k-i）！），i=0..k）：
a： =n->T（2*n，n）：
seq（a（n），n=0..20）；
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数学
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b[n_，i_，k_]：=b[n，i，k]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，b[n、i-1，k]+如果[i>n，0，k*b[n-i，i，k]]]；T[n_，k_]：=总和[b[n，n，k-i]*（-1）^i/（i！*（k-i）！），{i，0，k}]；a[n_]：=T[2n，n]；表[a[n]，｛n，0，20｝](*Jean-François Alcover公司，2017年2月6日，翻译自枫叶*）
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关键词
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非n
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