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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A282628号 按行读取的三角形T(n,k):n行给出了n>=0时用于{Sum{j=1..m}(1+2*j)^n}{m>=0}的指数母函数的指数分子多项式的系数。 1
1,1,1,1,1,1,1,1,1,9,16,8,1,27,98,120,48,1,81,544,1231232,1152,384,1,243243,2882,10800 10800,17760,17760,13440,3840,1,729,14896 14896,87128 87128,224640224224640289920 184320,184320,46080,184320,46080,1,2187,75938,669480,254528,4986240 240,5295360,5295360,2903040,645120,1,6561,384064 4064,4990112,26912697176322691204864,1187020808080808080808080808080808080808080107089920、51609600、10321920 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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-1,5个

评论

T(-1,0)=1的n=-1行已被添加以形成三角形,并且未使用。

对于n>=0,指数行多项式是R(n,t)=和{k=0..n+1}t(n,k)*t^k/k!。

e.g.f.Eodd(n,t)=和{m>=0}Sodd(n,m)*t^m/m!其中Sodd(n,m)=和{j=0..m}(1+2*j)^n是R(n,t)*exp(t),对于n>=0。

这个三角形是A060187型给出了{Sodd(n,m)}{m>=0}的o.g.f.s的行多项式的系数,其中

G(n,x)=和{k=0..n}A060187型(n+1,k+1)*x^k/(1-x)^(n+2),对于n>=0。

拉普拉斯逆变换L^[-1]用于从A060187型. 为此,使用以下重新排序标识:

(Sum{j=0..n}a(n,j)*x^j)/(1-x)^(n+1)=和{k=0..n}(b(n,k)*x^k/(1-x)^(k+1)),其中b(n,k)=和{p=0..min(k,n)}二项式(n-p,k-p)*a(n,p),对于n>=0。这可以通过与(1-x)^(n+1)相乘并使用二项式定理首先求出a(n,j)=和{i=0..min(n,j)}(-1)^(j-i)*二项式(n-i,j-i)*b(n,i)。然后利用Graham等人的二项式恒等式(5.24)进行了反演。169,用a来求b。

这最终得到了拉普拉斯逆变换公式L^[-1]{(Sum{j=0..n}a(n,j)*x^j)/(1-x)^(n+1)}=exp(t)*Sum{k=0..n}b(n,k)*t^k/k!,对于n>=0,使用给定的b(n,k)表达式。然后将其应用于上面给出的o.g.f.g(n,x)。

On可以用两种方法从S(n,m)=Sum{j=1..n}j^n得到Sodd(n,m)=S(n,2*(m+1))-2^n*S(n,m+1)=S(n,2*m+1)-2^n*S(n,m)。

三角形的第一列是A000012号,A000244号,2*A005059号,8*A017389号,48岁*A028060型, ...

n>=0的对角线为A000165号. 这与下面给出的T(n,k)的第二个公式兼容。

对于n=0..4生成的序列,请参见A000027号,A000290型,A000447号,A002593号,A002309号.

(具有不同的偏移量)。

参考文献

罗纳德·L·格雷厄姆、唐纳德·E·克努斯和奥伦·帕塔什尼克,《混凝土数学》,第二版。;艾迪生·韦斯利,1994年,p。169,等式(5.24)。

链接

n=-1..53的n,a(n)表。

公式

当k>n+1时,T(n,k)=0,T(-1,0)=1,以及

T(n,k)=和{j=0..min(n+1,k)}二项式(n+1-j,k-j)*A060187型(n+1,j+1),对于n>=0和k=0..n+1。

T(n,k)=和{j=0..k}(-1)^(k-j)*二项式(k-1,j-1)*(2*j+1)^n,对于n>=0和k=0..n+1(如果这里放二项式(-1,-1)=1)。

例子

三角形T(n,k)开始(n=-1行不使用):

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1: 1

+0:1 1 1

+1: 1 3 2

+2: 1 9 16 8

+3: 1 27 98 120 48

+4: 1 81 544 1232 1152 384

+5: 1 243 2882 10800 17760 13440 3840

+6: 1 729 14896 87128 224640 289920 184320 46080

+7: 1 2187 75938 669480 2544528 4986240 5295360 2903040 645120

...

n=8行:1 6561 384064 4990112 26917632 75204864 118702080 107089920 51609600 10321920,

n=9行:1 19683 1933442 36467040 2721939360 1042594560 2295175680 3030773760 2376622080 1021870080 185794560。。。

n=0:Eodd(0,t)=R(0,t)*经验(t)=(1+1*t)*经验(t)。G(0,x)=1/(1-x)^2。

n=2:Eodd(3,t)=(1+9*t+16*t^2/2!+8*t^3/3!)*exp(t),G(2,x)=(1+6*x+x^2)/(1-x)^4。

数学

表[Sum[(-1)^(k-j)二项式[k-1,j-1](2 j+1)^n,{j,0,k}],{n,-1,8},{k,0,n+1}]//展平(*迈克尔·德维列格2017年3月17日*)

黄体脂酮素

(PARI){for(n=-1,8,for(k=0,n+1,print1)(if(k==0,1,sum(j=0,k,(-1)^(k-j)*二项式(k-1,j-1)*(2*j+1)^n)),“,”);print(););}\\印度教2017年3月18日

交叉引用

囊性纤维变性。A060187型,A000165号(对角线)。

柱:A000012号,A000244号,2*A005059号,8*A017389号,48岁*A028060型.

Cf.生成的序列(偏移量不同):A000027号,A000290型,A000447号,A002593号,A002309号.

上下文顺序:A162976年 A336977飞机 A106338号*A262554号 A129964号 A267328号

相邻序列:A282625号 邮编:A282626 邮编:A282627*A282629号 A282630 邮编:A282631

关键字

,容易的,

作者

狼牙2017年3月14日

状态

经核准的

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上次修改时间:2021年10月20日07:04。包含348099个序列。(运行在oeis4上。)