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| A284861型 |
| 按行读取三角形：T（n，k）=S2[3,1]（n，k）*k！Sheffer三角形S2[3,1]=（exp（x），exp（3*x）-1）A282629型. |
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7
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1, 1, 3, 1, 15, 18, 1, 63, 216, 162, 1, 255, 1890, 3564, 1944, 1, 1023, 14760, 52650, 68040, 29160, 1, 4095, 109458, 659340, 1516320, 1487160, 524880, 1, 16383, 790776, 7578522, 27624240, 46539360, 36741600, 11022480, 1, 65535, 5633730, 82902204, 450057384, 1158993360, 1535798880, 1014068160, 264539520
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这是三角形的推广A131689型（n，k）=箍筋2（n，k）*k！，因为S2[3,1]是Stirling2三角形的推广，写成S2[1,0]。
这个三角形出现在幂{（1+3*m）^n}_{m>=0}的o.g.f.g（3,1；n，x）中，作为g（3,1；n，x）=Sum_{k>=0..n}T（n，k）*x^k/（1-x）^k。
该三角形还与行多项式rEu（3,1；n，x）=和{m=0..n}rEu。这是根据上述给定的功率g（3,1；n，x）=rEu（3,1；n，x）/（1-x）^（n+1）的o.g.f.得出的。欧拉三角形E[3,1]（反向行rEu[3,1）如下所示A225117型。请参阅下面的公式。
行多项式R（3,1；n，x）=Sum_{m=0..n}T（n，m）*x^m的e.g.f.来自Sheffer三角形的行多项式的e.g.fA282629型参见公式部分。
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链接
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配方奶粉
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行多项式R（n，x）（见上述注释）的示例f.为exp（z）/（1-x*（exp（3*z）-1））。这是三角形的例子。
T（n，k）=和{m=0..k}二项式（k，m）*（-1）^（km*）*（1+3*m）^n，0<=k<=n。
T（n，k）=和{m=0..k}二项式（n-m，k-m）*A225117型（n，n-m），0≤k≤n。
三项递推：如果n>=1，T（n，-1）=0，T（0，0）=1，T（n，k）=3*k*T（n-1，k-1）+（1+3*k）*T（n-1，k）=0。请参见A282629型.
列k序列具有例如f.exp（x）*（exp（3*x）-1）^k（来自Sheffer属性A282629型).
o.g.f.是A032031号（k） *x^k/产品{j=0..k}（1-（1+3*j）*x）。
第n行多项式R（n，x）=（1+3*x）o（1+3**）o。。。o（1+3*x）（n个因子），其中o表示Dukes和White的黑菱形乘法运算符。请参阅Bala链路中的示例E14。囊性纤维变性。A145901号.
R（n，x）=和{k=0..n}二项式（n，k）*3^k*F（k，x）其中F（k、x）是k阶Fubini多项式A019538年.（结束）
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例子
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三角形T（n，k）开始
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7。。。
0:1
1: 1 3
2: 1 15 18
3: 1 63 216 162
4: 1 255 1890 3564 1944
5: 1 1023 14760 52650 68040 29160
6: 1 4095 109458 659340 1516320 1487160 524880
7: 1 16383 790776 7578522 27624240 46539360 36741600 11022480
...
第8行：1 65535 5633730 82902204 450057384 1158993360 1535798880 1014068160 264539520，
行n=9:1 262143 39829320 879725610 6845572440 25294754520 50042059200 54561276000 30951123840 7142567040，
行n=10:1 1048575 280378098 9155719980 99549149040 507399658920 1406104706160 2251231315200 2083248720000 1035672220800 214277011200。
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数学
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表[和[二项式[k，m]（-1）^（k-m）（1+3m）^n，{m，0，k}]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*因德拉尼尔·戈什2017年4月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（总和（m=0，k，二项式（k，m）*（-1）^（k-m）*（1+3*m）^n），“，”）；）；打印（）；）\\因德拉尼尔·戈什2017年4月9日
从症状导入二项式
对于范围（11）中的n：
打印（[范围（k+1）中m的总和（[二项式（k，m）*（-1）**（k-m）*（1+3*m）**n）]）范围（n+1）中k的]）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000012号,A002450型,A016223号,A021874号,A032031号,111577英镑,A122803号,A131689型, |1199年1月|，A225117型,A282629型,A019538年,A145901号.
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关键词
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作者
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经核准的
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