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矩阵跟踪


一个n×n 平方矩阵 A类定义为

 Tr(A)=sum_(i=1)^na_(ii),
(1)

即对角线元素的总和。矩阵跟踪在Wolfram语言作为Tr公司[列表].群论,记录道称为“字符."

对于平方矩阵 A类B类,确实如此

Tr(A)=Tr(A^(T))
(2)
Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)
(3)
Tr(字母A)=αTr(A)
(4)

(Lang 1987,第40页),其中A ^(T)表示转置. The相似性转型

 A^'=BAB^(-1)
(5)

(朗1987年,第64页)。

 (bab^(-1))(ij)=b(il)a(lk)b(kj)^(-1)
(6)

(其中爱因斯坦总和此处用于求和重复指数),因此

Tr(BAB^(-1))=b(il)a(lk)b^(-1)(ki)
(7)
=(b^(-1)b)(kl)a(lk)
(8)
=δ(kl)a(lk)
(9)
=a(kk)
(10)
=Tr(A),
(11)

哪里增量(ij)克罗内克三角洲.

两个方阵乘积的迹与乘法的顺序无关,因为

Tr(AB)=(ab)_(ii)
(12)
=a(ij)b(ji)
(13)
=b(ji)a(ij)
(14)
=(ba)_(jj)
(15)
=Tr(BA)
(16)

(再次使用爱因斯坦总和). 因此换向器属于A类B类由提供

 Tr([A,B])=Tr(AB)-Tr(BA)=0。
(17)

另一方面,三个或三个以上方阵乘积的迹只有在循环置换订单的矩阵相乘的一个类似的参数。

a的乘积对称的和一个反对称的矩阵具有零轨迹,

 Tr(A_SB_A)=0。
(18)

的跟踪值3×3非奇异矩阵可以通过以下事实找到矩阵始终可以转换为坐标系,其中z(z)-轴沿旋转轴放置。在新坐标系中(假设也已适当重新缩放)矩阵

 A^'=[cosphi sinphi 0;-sinphi cosphi0;0 0 1],
(19)

所以痕迹是

 Tr(A^')=Tr(A)=A_(ii)=1+2磷,
(20)

哪里a_(ii)被解释为爱因斯坦总和符号。


另请参见

分组字符,矩阵,方形矩阵,张索尔收缩,张量轨迹

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朗,S。线性代数,第三版。纽约:Springer-Verlag,第40和64页,1987年。蒙克雷斯,J.R.公司。元素代数拓扑。纽约:珀尔修斯出版社。,第122页,1993年。

引用的关于Wolfram | Alpha

矩阵跟踪

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“矩阵跟踪”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/MatrixTrace.html

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