谱梯度法被证明是求解大规模无约束优化问题的有效方法。最近，它被扩展并与投影梯度法相结合，用于解决凸集上的优化问题。这种组合包括使用非单调线搜索技术来保持快速的局部收敛。在这项工作中，我们进一步扩展了步长的谱选择，以便在有好的预处理器的情况下接受预处理方向。我们提出了一种将谱投影梯度方法与预处理策略相结合的算法，以提高局部收敛速度，同时保持全局性质。我们讨论解决大规模问题的实现细节。 

在各向异性Sobolev类$W{infty}^{bfr}（[0,1]^d）$和Hölder-Nikolskii类$H{infty}^{bfr}（[0,1]^d）$中，我们获得了量子计算模型中高维积分复杂性的最优阶次。证明了对于这类函数，由于因子$n^{-1}$，量子算法比确定性经典算法有更快的速度，而由于因子$n ^{-1/2}$，则比随机经典算法有更高的速度。此外，我们给出了类$H_{infty}^{Lambda}（D）$中的最优查询复杂度的估计，该类的光滑度指标是$mathbb中某个完备集的边界{Z}（Z）_+^d美元。 

对于由离散数据在任意曲面上构造光滑函数的问题，我们建议使用Loop的细分函数作为插值函数。建立了插值函数的存在性、唯一性和误差界的结果。提出了一种高效的插值渐进计算算法。

本文的主要目的是研究各向异性网格下具有超收敛结果的非协调有限元的误差估计。通过使用一些新的方法和技术，分别获得了各向异性插值误差和一致性误差估计。此外，在不需要网格上的正则性假设和拟一致性假设的情况下，也得到了单元中心点的超收敛估计和超收敛估计。最后，进行了数值试验，这与我们的理论分析相吻合。

本文分析了正、对称线性双曲方程组的线性有限元逼近，在强正则三角剖分和精确解的$h^3$-正则性条件下，建立了$O（h^2）$阶误差估计。收敛性分析基于本文导出的一些超闭估计。我们的方法和结果也适用于一般双曲型问题。最后，我们讨论了线性化的浅水方程组。

本文通过非定常Stokes方程的谱近似，分析了压力修正方法的旋转形式。给出了全离散情形的有限时间误差估计。利用谱和谱元方法进行了数值实验，以验证理论结果。 

研究了非对称代数Riccati方程最小非负解的扰动界和结构条件数，得到了尖锐的扰动界及精确的条件数。利用矩阵符号函数方法，给出了求该代数Riccati方程最小非负解的一种新方法。基于这种新方法，我们证明了如何通过将二次矩阵方程$X^2-EX-F=0$与非对称代数Riccati方程相连接来计算二次矩阵方程式$M$的期望$M$矩阵解，其中$E$是对角矩阵，$F$是$M$-矩阵。

在输运理论中，内迭代格式对球形中子输运方程的收敛性一直是一个悬而未决的问题。本文考虑了一个正阶跃函数格式的内迭代，并证明了其在球面几何中的收敛性。 

提出并分析了不可压磁流体动力学方程组的最小二乘混合有限元方法，其中引入了两个涡度作为自变量，将原始方程转化为一阶系统。我们证明，对于所考虑的所有变量，在适当的范数中都存在强制性和最佳误差界，这些范数可以用各种连续元来近似。因此，避免了Babuška-Brezzi条件（即inf-sup条件）和不确定性，这是经典混合方法的基本特征。