《计算数学杂志》的这期特刊是为了纪念杰出的数学家、中国科学院院士群林教授70岁生日而发行的。 

本文基于双网格离散化，针对定常不可压缩Navier-Stokes问题，提出并分析了一些新的局部和并行有限元算法。这些算法的动机是，为了解决Navier-Stokes问题，低频分量可以用相对粗糙的网格很好地近似，而高频分量可以用一些局部并行程序在精细网格上计算。分析的一个主要技术工具是本文对一般形状规则网格上的有限元解也获得了一些局部先验误差估计。 

本文进一步探索并应用我们最近针对守恒定律[18]的反扩散通量修正高阶有限差分WENO格式来计算具有污染物传播的Saint-Venant浅水方程组，该方程组由传输方程描述。其动机是守恒定律的高阶反扩散WENO格式在保持解的光滑区域近似的高阶精度的同时，对接触不连续性产生了尖锐的分辨率。将反扩散高阶WENO格式应用于具有污染物输运的圣维南浅水方程组，获得了高分辨率。 

在这项工作中，我们提出了一种有效的数值方法来计算由非线性泊松-玻尔兹曼方程控制的两个类带电球形粒子之间的静电相互作用。非线性问题通过单调迭代法求解，从而得到一系列线性化方程。提出了一种改进的中心差分格式，用统一的笛卡尔网格求解外部不规则区域上的线性化方程组。使用统一的网格，该方法简单，因此可以使用多重网格求解器加快收敛速度。利用该方法对两个孤立球体和两个球体分别限制在带电圆柱孔内的情况进行了数值实验。我们的数值格式是有效的，数值结果与以前发表的结果一致。

在本文中，我们研究了最近提出的由弹性弯曲能量变化控制的囊泡膜变形相场模型的数值近似。为了克服高阶非线性微分系统的挑战和与此问题相关的非线性约束，我们提出了嵌套鞍点公式中的相场弯曲弹性模型。然后采用混合有限元方法计算具有规定体积和表面积的囊泡膜的平衡构型。将相关线性化问题的近似结果与Brezzi-Rapaz-Raviart的一般理论相结合，得到了相场模型有限元近似的最优阶误差估计。提供的数值结果证实了导出的估计。

本文考虑二阶椭圆问题的混合有限元方法。在矩形平行六面体上的最低阶Brezzi-Douglas-Marini元（如果$d=2$）或Brezzy-Douglas-Duran-Fortin元（如果$d=3$）的情况下，我们证明了通过合并某些求积规则，混合方法系统可以写成一个简单的以单元为中心的有限差分方法。这导致了对于标量未知的稀疏半定线性系统的解。对于对角张量系数，如果$d=2$，标量未知的稀疏模式为五点模板，如果$d=3$，稀疏模式为七点模板。对于一般张量系数，它是一个九点模板，和十九，分别。介绍了将混合方法实现为有限差分法在多孔介质中非等温多相多组分流动中的应用。

本文讨论无界区域上Burgers方程的数值解。引入了两个人工边界，并在人工边界上获得了非线性形式的边界条件。然后将原问题简化为有界域上的等价问题。将有限差分方法应用于简化问题，并给出了一些数值算例，证明了新方法的有效性。

本文提出了关于$\textrm{R}^d$中一些非传感器积域的著名Fourier方法，包括单纯形和由$（d+1）！$组成的所谓超复形简单。作为两个示例，在$2$-D和$3$-D情况下，超复合体分别显示为平行六边形和平行四边形十二面体。我们将传统傅里叶方法的大多数概念和结果扩展到了多元情况，例如傅里叶基系统、傅里叶级数、离散傅里叶变换（DFT）及其在超复形上的快速算法（FFT），以及广义正弦和余弦变换（DST，DCT）和在单纯形上的相关快速算法。研究了基本正交系与这些域上类拉普拉斯算子的本征函数之间的关系。

本文研究平面内外部传输问题的非重叠区域分解方法（DDM）。基于自然边界积分算子，我们将DDM与Dirichlet-to-Neumann（DtN）映射相结合，并用非匹配网格进行数值分析。界面上近似解的弱连续性是由对偶基乘数施加的。我们证明了该乘法器空间可以产生最优误差估计并获得相应的收敛速度。最后，通过几个数值算例验证了理论结果。 

本文导出了一类由Stokes方程控制的边界控制问题的超收敛结果。我们得到了控制近似和状态近似的超收敛结果。基于超收敛结果，我们获得了渐近精确的后验误差估计。

本文研究了0-1有限域上的扰动稀疏线性方程组。由于问题的特殊结构，可以通过这种方式实现标准交替坐标法，从而产生快速高效的算法。我们的交替坐标算法利用了系数矩阵的稀疏性和方程的当前残差。一些混合技术，如随机重启和遗传交叉也被用于改进我们的算法。 

本文对无网格方法家族中的单元划分有限元法（PUFEM）进行了理论分析。通常的误差分析仅显示与局部近似值相同的误差估计阶数[12]。利用标准线性有限元基函数作为单位分解，多项式作为局部逼近空间，在一维情况下，我们导出了PUFEM插值的最优阶误差估计。我们的分析表明，误差估计比局部近似高一个数量级。插值误差估计产生椭圆边值问题PUFEM解的最优误差估计。

对一类线性偏微分方程引入了一些双尺度有限元离散化。研究了边值问题和特征值问题。基于双尺度误差分解技术，提出并分析了几种双尺度有限元算法。结果表明，这种双尺度算法不仅显著减少了自由度的数量，而且产生了非常精确的近似值。

我们回顾了我们最近在开发用于模拟非均匀多孔介质中流动输运的放大方法方面所做的一些努力。特别是，将考虑通过采油井驱动的高度非均质多孔介质的稳定流动输运和通过非饱和多孔介质的流动输运。

研究了MOS电容器的高频CV曲线。结果表明，当氧化层较厚时，半经典模型是量子模型的良好近似，接近经典模型。这一结论为我们提供了一个有效的（半经典）模型，其中包含了量子力学效应，可以对超薄氧化物器件进行参数提取。本文设计了有效的提取策略，并通过数值实验验证了该策略的有效性。

本文讨论求解非线性抛物方程隐式格式的加速迭代方法。介绍了两种新的非线性迭代方法，即隐式显式拟牛顿法（IEQN）和无导数隐式显性拟牛顿法，其中线性化得到的线性方程组可以保持原偏微分方程的抛物线特征。证明了迭代法的迭代序列可以二次收敛到隐式格式的解。此外，与Jacobian Free Newton-Krylov（JFNK）方法相比，DFIEQN方法具有一些优点，例如实现简单，并且给出了一个具有显式系数矩阵的线性代数系统，因此线性（内部）迭代不限于Krylof方法。给出了IEQN、DFIEQN、JFNK和Picard迭代方法的计算结果，证实了这些方法的理论并比较了它们的性能。

应用四种原始间断Galerkin方法求解反应输运问题，即Oden Babuška Baumann DG（OBB-DG），非对称内部惩罚Galerkin（NIPG）、对称内部惩罚Galerkon（SIPG）和不完整内部罚款加勒金（IIPG）。推导了一种统一的后验残差型误差估计对于这些方法显式地。从计算出的解和给定的数据中，可以直接有效地计算出显式估计量，它可以用作适应。与参考文献[10]不同，我们通过以下公式获得了$L^2（L^2）$范数的误差估计使用对偶技术代替$L^2（H^1）$范数。

在这项工作中，我们尝试将所谓的分段常数水平集方法（PCLSM）用于Mumford-Shah分割模型。对于图像分割，Mumford-Shah模型需要找到用于分割的区域和区域内的常量值。为了使用PCLSM实现这一目的，我们需要使用水平集函数和常量值作为最小化变量来解决最小化问题。在这项工作中，我们在一个模型上进行测试，这样我们只需要对水平集函数进行最小化，即不需要对常量值进行最小化。针对最小化问题，采用梯度下降法和牛顿法求解欧拉-拉格朗日方程。数值实验表明了新模型和算法的有效性和优越性。

本文证明了南部力学是无源的一个基本事实。基于这一性质，通过延拓的思想，将有限维Nambu系统延拓为差分射流束。建立了Nambu方程的保结构数值方法。最后进行了数值实验，验证了保结构方案的优越性。