针对四阶椭圆奇异摄动问题，提出了一种改进的Morley元方法。该方法也使用Morley元或矩形Morley元，但在双线性形式的下半部分使用有限元函数的线性或双线性近似。

本文通过投影基本偏微分方程（PDE）在每个局部时间步长的解增量，提出了一类非线性双曲守恒律和密切相关的对流扩散方程的高分辨率局部时间步法。其主要优点是它们具有良好的一致性，并且易于实现。该格式是稳定的，满足胞熵不等式，并可推广到具有高阶空间导数的一般非定常偏微分方程的初边值问题。将重建技术与二阶TVD Runge-Kutta格式或Lax-Wendroff型方法相结合，分别给出了高分辨率方案。这些格式用于求解线性对流扩散方程、非线性无粘Burgers方程、一维和二维可压缩Euler方程以及二维不可压缩Navier-Stokes方程。数值结果表明，这些格式具有较高的精度，并且能够有效地节省计算成本，特别是对于将现有格式与自适应网格方法相结合的情况[15]。虽然这些方案有点不保守，但也得到了缓慢运动或较强间断的正确位置。

本文给出了任意矩阵特征值的一些新的绝对和相对扰动界，改进了最近的一些结果。还讨论了特征值包含区域。

最速下降法是最简单的优化梯度法。众所周知，沿每个最陡下降方向的精确直线搜索可能收敛得很慢。Barzilar和Borwein给出了一个重要的结果，证明了该结果对于二维空间中的凸二次型是超线性收敛的，并且对于高维问题表现得很好。BB方法不是单调的，因此，除非应用某些非单调技术，否则不容易推广到一般非线性函数。因此，寻找能够快速收敛并具有单调性的步长公式是非常有必要的。本文提出了最速下降法的这种步长$\alpha_k$。提出了一种新的偶数迭代步长和奇数迭代精确线搜索算法。数值结果表明，新方法可以在3次迭代内找到二维问题的精确解。新方法对于小规模问题非常有效。文中还提出了新方法的改进版本，其中每两次精确的直线搜索后使用新的步长选择技术。对于大规模问题，改进的算法与Barzilar-Borwein方法相当，对于小规模问题，改进后的算法更好。

本文证明了非对称不定二阶椭圆问题非嵌套V循环多重网格方法的一致收敛速度（与网格层数无关）。

本文的主要目的是研究各向异性网格下非协调三角形板元-Morley元的收敛性。通过一种新的方法，推导了任意三角形网格（甚至不需要满足最大角度条件和坐标系条件）的插值误差的显式界，得到了一类各向异性梯度有限元网格的最优一致性误差。

本文讨论了固定步长下数值解的渐近行为和真解本身的渐近行为之间的关系。数值解被视为一个动力学系统，其中步长作为一个参数。我们提出了一种统一的方法，以寻求在步长变化时从稳定解到伪解的分岔。

本文研究了拉普拉斯方程在三维无界区域（即长椭球体的外部区域）中具有Dirichlet或Neumann边界条件的自然边界约化。我们将泊松积分公式和自然积分算子显式地表示为级数形式。因此，原始问题被简化为长球体上的边界积分方程。讨论了约化问题的变分公式及其适定性。文中还给出了变分问题的边界元近似及其误差估计，这些误差估计与网格尺寸和级数截断后的项有关。通过两个数值算例验证了该方法的有效性和误差估计。

针对$\boldsymbol{R}^N$（N=2,3）中的广义Stokes问题及其有限元近似问题，提出并分析了一种非重叠区域分解迭代方法。该方法基于两个参数作为传输条件的混合型一致性条件，以及人工界面上的无导数传输数据更新技术。该方法可以应用于一般的多子域分解，并在具有局部简单通信的并行机上自然实现。