考虑阻抗边界障碍物$D\subset\mathcal{R}^2$的逆散射问题。我们研究了用点源方法从远场模式重建散射场。首先，通过应用边界积分方程方法，我们利用经典势理论为Potthast的点源方法提供了一种新的途径。这将点源方法的范围从平面波扩展到任意波的散射。其次，通过分析Hankel函数的行为，我们获得了一种选择正则化参数的改进策略，从中可以获得改进的收敛速度（与[15]的结果相比），用于重建散射波。第三，通过数值实现验证了阻抗障碍物反演方法的有效性和稳定性。

本文使用Hermite加权本质非振荡（HWENO）格式和Lax-Wendroff时间离散程序（称为HWENO-LW格式）求解Hamilton-Jacobi方程。HWENO方案中的重建思想来自于原始的WENO方案，然而函数及其一阶导数值都是随着时间的推移而演变的，并在重建中使用。HWENO方案的一个主要优点是其在重建中的紧凑性。我们探索了在部分过程中避免非线性权重的可能性，从而降低了成本，但对于具有强不连续导数的问题仍然保持非振荡性质。因此，与邱和舒[19]针对Hamilton-Jacobi方程的HWENO和Runge-Kutta时间离散格式（HWENO-RK）相比，HWENO-LW格式的主要优点是节省了计算成本，并且在重构中具有紧凑性。通过大量的数值实验验证了该方法的有效性。

在脑磁图（MEG）中，初级电流在有界导电介质（即头部）内被激活。初级电流激励感应电流，总（初级加感应）电流在导体外产生无旋螺线管磁场。因此，外部磁场可以表示为谐波函数的梯度，即磁势。我们表明，对于三轴椭球体导体，通过沿椭球体系统的几何特征所规定的特定路径进行积分，以及利用椭球体谐波的特殊特性，可以获得该电势。得到了磁场的矢量位表示。

本文提出了一种基于边界积分法的计算各向异性和各向同性极化张量的系统方法。然后，我们使用此方法计算椭圆和椭球的各向异性极化张量。计算揭示了产生相同极化张量的一对各向异性和椭圆。

我们介绍了一种基于逆迭代法的自适应有限元方法，用于计算给定频率下封闭、非均匀、柱撑三维波导中的电磁导波。该问题被表示为广义特征值问题。通过修改特征值问题的精确逆迭代算法，我们设计了一种新的自适应逆迭代有限元算法。众所周知，基于后验误差估计的自适应有限元方法能够成功地解决特征函数的奇异性问题，而这些奇异性会恶化有限元的收敛性。我们构造了电磁导波问题的后验误差估计器。数值结果表明了自适应逆迭代有限元方法的准最优性能。

研究了一维奇异摄动模型问题的间断Galerkin（DG）方法的收敛性和超收敛性。通过采用适当选择数值轨迹的DG方法，建立了DG解的存在唯一性、最优阶误差界和数值轨迹的$2p+1$-阶超收敛性。数值结果表明，即使在均匀网格下，DG方法也不会产生任何振荡。数值实验表明，在均匀网格下，似乎不可能获得数值轨迹的均匀超收敛。然而，由于所谓的Shishkin型网格的实现，在数值上观察到了一致的$2p+1$阶超收敛。

本文研究了径向基函数插值方法，并在Sobolev空间$H^k（\Omega）$$（k\geq1）$中给出了一些误差估计。利用一种特殊的径向基函数，在$H^k（\Omega）$中构造了一个基，并导出了求解椭圆偏微分方程的无网格方法。我们还提出了一种计算全局数据密度的方法。

通过同时应用广义奇异值分解和正则相关分解，我们导出了X$处最优近似解的解析表达式，它既是矩阵方程$a^TXA=B$的最小二乘对称正交反对称解，也是给定矩阵$X^*$的最佳逼近。此外，本文还详细描述了求解该最优近似解的数值算法，并给出了一个数值算例来证明该算法的有效性。

本文给出了求解凸约束极小化问题的精确步长梯度投影法的一些收敛性结果。特别地，我们证明了如果目标函数是凸的且其梯度是Lipschitz连续的，则该方法产生的具有有界精确步长的整个迭代序列收敛于相关问题的解。

非精确牛顿法是通过将牛顿法与另一种用于不精确求解牛顿方程的迭代方法相结合来构造的。本文建立了不精确牛顿法的两个半局部收敛定理。当这两个定理被指定为牛顿方法时，我们得到了关于牛顿方法的一个不同的Newton-Kantorovich定理。当求解牛顿方程的迭代方法被指定为分裂方法时，我们得到了关于特殊不精确牛顿方法迭代步长的两个估计。