利用非局部近似人工边界条件，从相应的无界域问题出发，得到了线性椭圆问题的非协调有限元近似的后验误差估计。我们的方法可以很容易地扩展，以获得具有不同人工边界条件问题的各种协调和非协调有限元近似的一类后验误差估计。我们的后验误差估计的可靠性和效率得到了严格的证明，并通过数值例子进行了验证。

新的恢复操作程序$P:Q^{光盘}_n（\mathcal{T}）→问^{光盘}_导出了间断Galerkin的{n+1}（\mathcal{M}）$。它基于将给定网格$\mathcal{T}$上的不连续分段多项式解投影到宏网格$\mathcal{M}$上高阶多项式空间的思想。为此，我们使用多项式矩定义局部自由度，并在宏网格上提供全局自由度。我们证明了关于局部$L_2$-投影的一致性、几个范数的稳定性结果和最佳各向异性误差估计。作为一个例子，我们将这种新的恢复技术应用于使用双线性元素的奇摄动对流扩散问题的稳定解。

本文发展并分析了求解偏积分微分方程的移动网格有限差分方法。首先，用空间上的分段二次多项式和时间上的分段线性函数逼近坐标变换的时间相关映射。然后，利用移动网格方法设计了一种有效的方程存储项离散化方法。在每个时间片中，使用被积函数的简单分段常数近似，从而为记忆项构造求积。使用了空间的中心有限差分格式和时间的后向欧拉格式。本文证明了正交误差的累积是一致有界的，并且该方法的收敛性在空间上是二阶的，在时间上是一阶的。进行了数值实验以验证理论预测。

我们利用傅里叶方法分析Yee差分格式的稳定性贝伦格PML（完美匹配层）和UPML（单轴完美匹配层）二维麦克斯韦方程组。使用实用的频谱稳定性概念，我们发现在相同的条件下，这两个方案对于网格尺寸。此外，我们证明了两种情况下具有相同阻尼的UPML格式方向稳定。给出了数值算例，以验证PML方法。

本文将Xu和Zhou（Math.Comput.，70（2001），pp.17-25）提出的协调有限元的双网格离散格式推广到特征值问题的非协调有限元。特别地，提出了两种基于瑞利商技术的双网格离散化方案。通过使用这些新格式，将细网格上特征值问题的解简化为粗网格上的特征值问题以及细网格上线性代数系统的解。所得解仍保持渐近最优精度。与协调有限元的双网格离散格式相比，当网格尺寸足够小时，新格式的主要优点是双重的。首先，可以得到我们的两网格离散格式中精确特征值的下界。其次，与直接在细网格上求解特征值问题相比，新格式给出的第一特征值具有更好的精度。 

本文提出了矩形几何中离散阶输运方程的一阶一致收敛数值方法。首先，我们通过由单元平均值确定的分段常数来近似散射系数和源项。然后，对于每个单元，按照De Barros和Larsen[1,19]的工作，将单元边缘的解近似为其沿边缘的平均值。因此，可以解析地获得每个单元中单元边缘平均值的方程组的解。最后，我们利用界面条件将数值解与相邻单元拼凑在一起。当没有界面层或边界层时，该方法是渐近的，这意味着可以使用粗网格（不解析平均自由程的网格）来获得良好的数值近似。此外，数值计算表明了关于平均自由程的一致一阶收敛性，并提供了严格的证明。 

我们考虑一个逆二次规划问题，其中给定的二次规划（QP）问题的目标函数中的参数调整得尽可能少，从而使已知可行解成为最优解。该问题可以表示为具有半正定锥约束的极小化问题，其对偶（表示为IQD（$a；b$））是一个变量比原问题少的半光滑可微（SC$^1$）凸规划问题。本文采用平滑牛顿法求出IQD（$a；b$）的卡鲁什-库恩-塔克点。该方法每次迭代只需求解一个线性系统，并实现二次收敛。数值实验表明，光滑牛顿法是求解这类二次规划反问题的有效方法。 

给定一组带有导数的分散数据。如果数据有噪声或数据量非常大，我们使用von Golitschek和Schumaker的惩罚最小二乘法的扩展[Serdica，18（2002），pp.1001-1020]来拟合数据。我们表明，惩罚最小二乘法的扩展产生了一个唯一的样条曲线来拟合数据。同时给出了扩展方法的误差界。通过数值算例验证了该方法的有效性。 

我们发展了一种矩形完全匹配层（PML）有限元方法来计算二维腔体的波散射。通过在开口处使用矩形完全匹配层，将无界计算域截断为有界计算域。通过尖锐的后验误差估计确定PML参数，如层厚和虚拟介质特性。通过数值实验说明了该方法的竞争行为。