本文回顾了有限元方法分析的最新进展用于具有局部投影稳定（LPS）的不可压缩流问题。这些方法保持经典残差基的良好稳定性和逼近性质稳定（RBS）技术，但避免了稳定条件。LPS方法属于对称稳定技术的一类可以用变分多尺度方法来描述。在这项工作中，我们总结了在过去6年。我们考虑斯托克斯方程、Oseen线性化和Navier-Stokes方程。此外，我们将其应用于具有线性（ize）的最优控制问题流动问题，因为稳定的对称性导致了操作“离散化”和“优化”通勤。

我们考虑一种自适应有限元方法（AFEM）来解决相关障碍物问题线性二阶椭圆边值问题及其一个约化证明离散化误差的能量范数导致R线性收敛。这个结果表明，由于离散变量的扩展，结果能够保持一致性误差乘数（点泛函）到$H^{-1}$以及连续函数之间可能的不匹配离散重合集和非重合集。AFEM基于残差类型由元素残差和边缘残差组成的误差估计器。后验误差分析揭示了与无约束情况的显著区别在于只需在离散非一致集内考虑残差。这个利用可靠性和离散局部效率证明误差减少特性估计量和扰动Galerkin正交性。给出了数值结果说明AFEM的性能。

众所周知，在偏微分方程或变分问题是将其施加在定义最低阶有限元空间的三角剖分。本文追求这一点逼近并讨论由此产生的离散非线性系统的迭代解将调和映射定义为球体的简单模型问题的方程组。安将全局收敛且能量递减的迭代格式与局部快速收敛逼近格式。一个显式示例证明局部方法可能会导致不适定问题；数值实验表明如果起始值为没有仔细选择。全局和局部方法的组合定义了一个可靠的在实践中执行非常有效并提供数值近似的算法低能量。

研究了空间齐次Boltzmann方程的初值问题。该问题的确定性数值格式是通过使用三个未知函数和碰撞积分的分解方法。关于这个这样，算法的复杂度几乎达到了线性。一些数值示例如下提出了。

采用人工边界法求解三维外部问题。选择两种旋转椭球体作为人工边界和精确人工边界边界条件是根据无穷级数显式导出的。然后得到了耦合变分问题的适定性。发现误差估计推导结果取决于网格大小、截断项和人工网格的位置边界。文中给出了三个数值算例来证明其有效性和该方法的准确性。

[18，21–23]中开发了统一的后验误差分析，以分析通用屋盖下的有限元后验误差。本文为有限局部网格细化所需的具有悬挂节点的单元网格。二维1−将不规则三角剖分为三角形和平行四边形及其组合采用名为在Courant、$Q_1$、Crouzeix Raviart、Han、Rannacher Turek和其他人之后泊松方程、斯托克斯方程和纳维-拉美方程。本文提供了一个统一的先验和悬挂节点≤1的三角剖分的后验误差分析自适应有限元离散化中局部网格细化的基础。

本文研究约束最优控制的变分离散化由对流占优扩散方程控制的问题，其中状态方程由边缘稳定Galerkin方法近似。先验误差估计如下导出状态、伴随状态和控制。此外，残留的a型后遗症得到了$L^2$-范数的误差估计。最后，两个数值实验是以说明理论结果。

我们提出了一种新的求解具有消失项的时滞微分方程的数值方法基于谱方法的比例延迟。采用勒让德配置法以获得精确解的高度精确的数值近似。它是从理论上证明了该方法的收敛性指数型提供了给定受电弓延迟微分方程中的数据是光滑的。

标准Galerkin有限元方法在对流扩散问题中的应用问题导致离散解中的振荡，因此稳定性似乎是必要的。我们讨论了几种最新的稳定方法，特别是其与层自适应网格上的Galerkin方法。获得的超封闭性结果允许使用回收技术改进离散解决方案。

本文考虑用局部间断Galerkin方法（LDG）求解一维和二维环境中的奇摄动对流扩散问题。验证了LDG解的存在唯一性。数值实验证明似乎不可能获得一致的超收敛均匀网格下的数值通量。由于实施了两种不同的类型在一维和二维各向异性网格（即Shishkin网格和改进的梯度网格）中，数值观察到均匀的$2p+1$阶超收敛案例。

针对一类非线性Sobolev方程，提出了一种各向异性非协调有限元方法。与传统的有限元方法一样，对半离散和全离散近似格式都获得了最优误差估计和超封闭性。此外，通过后处理技术导出了全局超收敛性。通过数值实验验证了该方法的可行性。

本文提出了一种双尺度高阶有限元离散格式并分析了张量积域上的薛定谔方程。有了这个方案精细网格上特征值问题的求解可以简化为特征值问题在更粗的网格上，以及在部分精细网格上的一些特征值问题。它理论和数值计算表明，所提出的两尺度高阶格式不仅大大减少了自由度的数量，而且还产生了精确近似。

投影方法是一种有效的算子分裂格式，用于近似解不可压缩的Navier-Stokes方程。作为一个主要缺点，它们引入了虚假空间和时间层面。在这项工作中，我们考察了高阶的收敛结果投影法，仅存在极限问题的强解；在里面特别是，我们强调了施工过程中伴随而来的困难高阶格式，例如极限解的有限正则性，以及缺少压力的准确初始数据。包括计算实验以进行比较提出的方案，并说明了提到的困难。

在本文中，我们报告了边界元法（BEM）的$hp$版本的最新发展。作为模型问题，我们考虑平面开放曲面上第一类弱奇异和超奇异积分方程。我们证明了Galerkin解（在几何网格上用$hp$-版本计算）以指数速度收敛到积分方程的精确解。给出了一种$hp$自适应算法，并讨论了$hp$版本边界元法的实现，以及对有条件边界元刚度矩阵选择有效的预条件。我们还评论了$hp$版本边界元法用于求解线性弹性中的Signorini接触问题，其中接触条件仅在离散的Gauss-Lobatto点集上实施。数值结果与理论结果相符。

本文分析了三种相关的预条件最速下降算法，在Hartree-Fock和Kohn-Sham理论以及不变量中部分流行子空间计算，从相应泛函最小化的角度出发，受到正交条件的约束。我们利用可容许的几何流形，即关于酉变换的不变性，以重新表述作为容许集的格拉斯曼流形上的问题。然后证明渐近性相应拉格朗日函数的Hessian在Grassmann流形的切空间上是椭圆的条件下算法的线性收敛性最小化。

本文提出了一种求解非线性奇异点的有效移动网格方法具有最优控制约束条件的问题。物理问题得到治理由Luo等人使用Prandtl提出的圆管中湍流的新模型混合长度理论。我们的算法是由一个用于处理最优控制条件及内自适应网格重分布算法求解奇异控制方程。我们使用上卷方法离散非线性问题，并使用Newton-Raphson方法求解得到的非线性方程。使用弧长均匀分布原理。数值结果表明该算法在捕捉与湍流模型相关的边界层方面是有效的。

在本文中，我们考虑奇点的低阶矩形有限元方法扰动Stokes问题。模型问题简化为线性Stokes问题当扰动参数较大且退化为泊松混合公式时方程的摄动参数趋于零。我们建议两个2D和两个三维非协调矩形有限元，并导出稳健的离散误差估计。通过数值实验验证了理论结果。