我们研究竞争经济均衡计算。我们首次证明了以下两个市场的均衡集：1。具有齐次和对数凹效用函数的Fisher和Arrow-Debreu混合市场；2.具有几类凹非齐次效用函数的Fisher和Arrow-Debreu市场；是凸的或对数凸的。此外，平衡可以通过多项式时间内的内点算法作为凸优化来计算。

在早期的一篇论文中，我们证明了含斜反射的Skorohod问题在含时域中解的存在性，并随后将此结果应用于含时域随机微分方程斜反射解的构造问题。本文利用这些结果，通过投影Euler格式，在$\mathbb{R}^{d}$的含时区域中，构造了具有斜反射的随机微分方程解的弱逼近。我们证明了所构造的方法与正常反射域和时间无关域的情况一样，收敛阶等于1/2$，并且我们通过两个数值例子对该方法进行了经验评估。此外，利用Feynman-Kac公式对具有反射的随机微分方程的一个著名推广，我们的方法还给出了一个求解含Robin边界条件的二阶抛物型偏微分方程的Monte Carlo方法。

本文对[21]中设计的局部间断Galerkin（LDG）方法和Hunter-Saxton方程的耗散间断Galergin（DG）方法进行了进一步的发展。本文中LDG和DG方法的数值通量是基于上卷原理的。由此产生的格式提供了额外的能量耗散和更好地控制导数奇点附近的数值振荡。从理论上证明了这些格式的稳定性和收敛性，并提供了数值模拟结果，与[21]中的格式进行了比较。

本文研究了具有悬挂节点的1-不规则网格上一般非仿射等效四边形和六面体单元的自适应有限元方法的收敛性。基于拟正交性、估计约简和Döfler标记策略等基本要素，证明了一般二阶椭圆型偏微分方程自适应有限元方法的收敛性。我们的分析对所有符合条件的$Q_m$元素都是有效的，这些元素以统一的方式涵盖了二维和三维情况。

本文研究了一类参数估计问题的自适应有限元离散格式。我们建议使用自适应多网格为估计问题开发高效算法。我们推导了状态近似和控制近似的等效后验误差估计，特别适用于自适应多网格有限元格式。然后实现了误差估计器，并用有希望的数值结果进行了测试。

本文将参数相关问题的约化基方法推广到Lions等人[12]提出的准实时算法，并求解一个非线性演化抛物型偏微分方程。精细求解器基于空间有限元法或谱元法和时间半隐式Runge-Kutta格式。粗略求解器在时间上基于半隐式方案，在空间上基于缩减基近似。开发了离线-在线程序，并证明了在线阶段的计算复杂性仅取决于缩减基空间的维数（通常较小）。本文还提出了基于多网格有限元法和多自由度有限元法的准实时算法。报告了一些数值结果。

在本文中，我们考虑了含色散介质的时变麦克斯韦方程组。针对三种最常见的色散介质模型：各向同性冷等离子体、单极德拜介质和双极洛伦兹介质，发展了Crank-Nicolson混合有限元方法。证明了Raviart-Thomas-Nédélec空间求解的所有三个模型的最优误差估计。还介绍了对多极色散介质的扩展。

给出了一种基于变网格有限差分法的自共轭奇异摄动两点边值问题的数值方法。为了获得参数均匀收敛，构造了一个边界层区域密集、外部区域粗糙的可变网格。讨论了该方法的一致收敛性分析。将原始问题简化为其正规形式，并采用变网格的有限差分法求解简化后的问题。为了证明该方法的有效性，考虑了几个数值例子。